双尺度随机时滞微分方程的平均原理.pdf

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(2),788-805 Published Online February 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.132077 文章引用文章引用:贺鑫.双尺度随机时滞微分方程的平均原理J.应用数学进展,2024,13(2):788-805.DOI:10.12677/aam.2024.132077 双尺度随机时滞微分方程的平均原理双尺度随机时滞微分方程的平均原理 贺贺 鑫鑫 长安大学理学院，陕西 西安 收稿日期：2024年1月28日；录用日期：2024年2月22日；发布日期：2024年2月29日 摘摘 要要 本文研究了分数布朗运动驱动的非自治双尺度随机时滞微分方程的平均原理。首先，通过广义本文研究了分数布朗运动驱动的非自治双尺度随机时滞微分方程的平均原理。首先，通过广义Stieltjes积分和随机平均原理，推导了非自治双尺度系统的均方收敛定理。然后，结合均方收敛定理和停时理论，积分和随机平均原理，推导了非自治双尺度系统的均方收敛定理。然后，结合均方收敛定理和停时理论，分别得到了原系统和平均系统的矩估计。最后，证明了当时间尺度参数趋于零时，慢变量方程的解过程分别得到了原系统和平均系统的矩估计。最后，证明了当时间尺度参数趋于零时，慢变量方程的解过程在均方意义下收敛于平均方程的解过程。在均方意义下收敛于平均方程的解过程。关键词关键词 双尺度，随机时滞微分方程，平均原理，分数布朗运动双尺度，随机时滞微分方程，平均原理，分数布朗运动 The Averaging Principle of Two-Scale Stochastic Delay Differential Equation Xin He School of Sciences,Changan University,Xian Shaanxi Received:Jan.28th,2024;accepted:Feb.22nd,2024;published:Feb.29th,2024 Abstract The main goal of this article is to study an average principle of a class of non-autonomous two time-scale stochastic differential delay equations driven by fractional Brownian motion.Firstly,the mean square convergence theorem for non-autonomous scale systems was derived by means of Ge-neralized Stieltjes integral and Stochastic Average Principle.Then,combining the mean square con-vergence theorem and the Stopping-time theory,the moment estimates of the original system and the average system were obtained,respectively.Finally,it showed that when the time scale para-meters approach zero,the solution process of the slow variable equation converges to the solution process of the mean equation in the mean square sense.贺鑫 DOI:10.12677/aam.2024.132077 789 应用数学进展 Keywords Two-Time-Scale,Stochastic Differential Delay Equations,Averaging Principle,Fractional Brownian Motion Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 双尺度随机时滞微分方程最早可以追溯到 It 和 Gikhman 创立随机微积分理论的年代。由于在化学1、力学2、电子电路3和大气海洋学4等实际应用领域中表现出来的广泛应用，双尺度随机微分方程俨然已经成为一个重要的研究领域，越来越多的学者开始重视双尺度随机微分方程的研究。对于多尺度随机微分方程的定性分析，平均原理提供了极大帮助。多尺度随机微分方程的平均原理就是在一定的条件下，将快变量过程视为随机噪声并将其消除从而得到一个极限过程，使得极限过程的解逼近原始方程中慢变量的解。平均原理广泛应用于力学、物理、控制等领域，是简化动力系统从而得到微分方程近似解的有力工具。关于随机动力系统的平均原理有较长的历史，其奠基性工作由前苏联数学家 Bogoliubov 在文献5中完成。紧接着，Gikhman 6，Volosov 7和 Besjes 8研究了非线性常微分方程的平均问题。随机平均原理首先由 Stratonovich 提出，此后，Khasminskii 9将平均原理发展到具有快慢尺度的随机常微分方程的研究中，证明了在较弱的收敛意义下成立的平均原理。值得一提的是，Freidlin 和 Wentzell 10 11给出了依概率收敛的平均原理。另外，Golec 和 Ladde 12以及 Givon 13等人又进一步将结果推广到均方意义下收敛的情形。然后，Cerrai 和 Freidlin 14研究了一类无限维随机反应扩散模型的平均原理。近年来，Fu 和 Duan 15深入研究了带有高斯噪声的双尺度随机偏微分方程，得到在 Lipschitz 条件下的均方收敛的平均结果。随后，Fu 和 Liu 16又进一步将结果推广为：慢方程的解强收敛于平均方程的解。Xu 17将以布朗运动为驱动的随机系统推广到非高斯噪声(带跳)的情形并得到了强收敛结果。之后，Xu 18等人又进一步证得由分数布朗运动驱动的双尺度随机微分方程的平均原理。然而，许多研究都是基于系统未来的状态与过去的状态是相互独立的假设下展开的，这与实际情况并不相符。事实上，滞后现象不可避免地出现在随机动力系统中，也就是说事物的发展趋势既依赖于当前的状态，还依赖于过去的历史状态。时滞是实际应用中许多系统的重要特征，在生物学、信号传输、随机控制等应用领域的很多数学模型中，都发挥着不可或缺的作用，许多学者都进行了研究19 20 21。文献19给出了随机时滞微分方程和带跳的随机时滞微分方程的平均原理，证明了平均方程的解在 p 阶矩意义下和依概率意义下收敛于随机微分方程的解。文献20讨论了基于 Hurst 参数(),11 2H 的分数布朗运动驱动的随机时滞微分方程的平均原理，原始方程的解依概率收敛和均方意义收敛于相应平均方程的解。双尺度随机微分方程的平均原理已经取得了很大的进展，但对于双尺度随机时滞微分方程的平均法的研究却很少。文献22利用随机平均原理研究了由布朗运动驱动的自治双尺度随机时滞微分方程，为一类自治双尺度随机时滞微分方程建立了一个平均原理的强极限定理。文献23则在文献22的基础上研究了 Hurst 参数(),11 2H 的乘法分数布朗噪声驱动的自治双时间尺度随机时滞微分方程的平均原理。受此启发，本文在文献20 23的研究基础上，研究由分数布朗运动驱动的非自治双尺度随机时滞微Open AccessOpen Access贺鑫 DOI:10.12677/aam.2024.132077 790 应用数学进展 分方程的平均原理，其中该非自治系统的慢变量过程由 Hurst 参数(),11 2H 的分数布朗运动驱动，快变量过程由布朗运动驱动。借助广义 Stieltjes 积分和停时理论，通过随机平均原理得到非自治双尺度随机时滞微分方程的平均方程，并证得平均方程和原方程的慢分量在均方意义下解的近似等价性。本文的其余部分组织如下：第 2 节预备知识。第 3 节是本文的主要结果及其证明过程，即证明慢方程的解是强收敛于平均方程的解。第 4 节总结了本文。2.预备知识预备知识 假设()0,tt是一个带流的完备概率空间，其中0,T=为实轴上的有限区间，T 是正常数，是概率测度，0tt满足通常条件，即是右连续的且0包含所有的零测集。符号表示n中的Euclidean 范数，表示矩阵范数。():;,0nC=表示所有从,0映到n的右连续且具有左极限的函数 f 构成的 Banach 空间，其范数为最大范数。对于()(),hC和0t，定义一个随机过程():,hh tt=，th 定义为()()thh t=+，,0。:,0,tWW tT=是定义在完备概率空间()0,tt T 上的 m 维布朗运动，():,0,1 21HHtBBtTH=的左侧和右侧 Riemann-Liouville 分数阶积分被定义为()()()()()()()()()111d,1d,tabbtIf ttfIf txf+=其中()1ei=，()10e drrr=是 Euler Gamma 函数。假设1 21H，11H，记(),1W;0,nT表示由可测函数:0,nfT ，且()()()()1,1000:dddTTsssssf sf sff=+(1)构成的空间。假设1 21H，11H，记(),0W;0,nT表示由可测函数:0,nfT ，且()()()()()1,0,:supdtstf trf tff=+(2)构成的空间。对任意0定义等价范数()()()()()1,0,:sup ed.ttstTff trf tf=+的广义 Riemann-Stieltjes 分数阶积分被定义为()()()()()()()()()()1000,0d1d,dd.TTTTtTs tsf rg rDf r Dgrrf rg rf rg r+=1 其中对于任意的0abT，()()():bgtg tg b=，且对于任意的atb 的左侧和右侧 Weyl 型分数阶积分被定义为()()()()()()()11:d,1taf tf tf sDf tstats+=+贺鑫 DOI:10.12677/aam.2024.132077 791 应用数学进展 ()()()()()()()()()()111211d.1bbbtg bg tg tg sDgtsbtst=+其中()是 Gamma 函数。假设1 21H，11H，设(),0W;0,nTT是可测函数:0,mgT 构成的空间，且具有范数()()()()()()12,0,0d:sup.Ts t Ttggggustsustsusg =+引理引理 2.4 25 假设()1 2,1H 且对任意的()1,1 2H，函数(),1W;0,nfT和()1,W0,;ngT，且对于任意0,tT，积分0dtHsf B存在，则有以下不等式成立：(),10d.tHHssf BfB 其中()()(),0,1:1HHTBB=。进一步，根据 Fernique 定理，对于任何02，有()()eHB，,s tT，记(),0,W;ns t表示可测函数,nfs t :构成的空间且满足以下可积条件()()()()()()1,:supd.rs tsrs tff rruf rf uu=+(5)这里(),:sup errs tff r=，()()()()()()1:drssf rf rruf rf uu=+。对于任意0定义等价范数()()()()()()1,:sup edrrs tsrs tff rruf rf uu=+。(6)对于任意01，记(),;nCs t表示由-阶 Hlder 连续函数,nfs t :且()()()()()()1,:sup ed,1.prprs tsrs tff rruf rf uup=+(7)构成的空间。这里()(),:ppTff=，()(),:ppTff =和()(),:ppff =。当0=时，我们将省略对应范数的。引引理理 2.5 26 对于任意非负的 a 和 b，且1ab+，并且对于任意的1，存在正常数 C，使得()()10ed.tat rba btrrrC+当01a为正常数时滞，01是一个小的正参数，代表系统中的时间尺度比率。因此，根据这个时间尺度，变量tX称为慢分量，变量tY称为快分量。我们对系数做如下定义：:0,nfT ，1:0,nn mT，:nnng，2:nnn m。现在，假设方程(8)的各个系数满足以下条件：(H1)f 是可测函数，对于任意的(),1,2iix yi=和,0,s tT，存在常数()0,1,2,3,01ii=使得()()()()()()()()()()11311611121112412111111115(,);,1;,;,.xxxxxt xLt xLxt xt xt xt xL xxt xs xt xs xL ts+(H3)假设()()()()123,gggg=和()()()()1232222,=是有界的。(H4)对于任意的x，1212,ny yz z，存在0,1,2ii=，120且与 x 无关，使得()()()()()()()2221211222112221122122222342,2,1.yyg x y zg x yzx y zx yzyyzzy g x y zx y zyzCx+(H5)对于初值0X=，存在50，使得()()5tsts，,0s t。不难证明，在条件(H1)(H3)和(H5)下，方程(8)存在唯一解：()()()()()()()()()()()()()100200000,d,d,110,d,d,0,.ttHsssttsssXtf s XYss XsBYtg XYsYssXYsYsWXYtT=+=+=(9)接下来，我们推导当0+时，慢分量tX收敛于以下平均方程(利用随机平均原理，我们可以得到方程(8)的平均方程)的解：()()()()10d,d,d,0,.HttX tf t Xtt X tBtTX=+=(10)其中x是相应冻结方程的转移半群()0 xttP的唯一不变测度。显然，在条件(H1)(H5)下，方程(10)也有唯 贺鑫 DOI:10.12677/aam.2024.132077 793 应用数学进展 一解()()tX t 27。下面，我们来介绍冻结方程。对于任意0,tT，固定慢变量x()()()()()()()20d,d,d,.tY tg x Y tY ttx Y tY tWY=+=(11)在条件(H3)下，方程(11)有唯一的解()()tY t 22。在本部分最后，给出以下引理，这是证明本文结论的重要工具：定义定义 2.7 设t为,rYrt 生成的-域。对0sT，有()()()()(),sJ sf kYf kf kYf k =E (12)此时，存在独立于,s的常数,0C，使得()()()222,1esJ sC +。证明证明 由式(12)，调用,tY 的马尔科夫性质，Hlder 不等式、条件(H1)和文献22，可以证明。3.主要结果主要结果 在本节，我们给出本文的主要结论：定理定理 3.1 假设原始方程(8)和平均方程(10)都满足假设条件(H1)(H5)，则慢分量tX均方收敛于平均方程的解tX。即对任意的0,tT，对于所有的()0,1，有()2,0lim0.XX=证明证明 定理 3.1 的证明包括以下步骤：Step1：我们给出方程(8)的解(),XY的估计。首先，我们对快慢过程有如下估计：定理定理 3.2 假设条件(H1)(H5)成立，那么对任意0,tT，存在正常数 C，使得当()0,1时，有()2,.XC 证明证明 设():1HB=，对任意的1，首先，我们估计(),tX，由条件(H1)(H2)、引理 2.4 和引理 2.5，有以下估计()()()()()()()()()()()()()()()()()(),00,100,00,00,0,1,0:sup esup esup esup esup e,dd,supe1dsupe1ssststsstssssHrrrsstss rts ts uHts tXXssXssf r XYrBr XrCXrBXuX +=+()()()0,11,1,d1.stttuKXX +(13)其中常数1K且与(),0 有关。对于()1,tX，有 贺鑫 DOI:10.12677/aam.2024.132077 794 应用数学进展 ()()()()()()()()()()()()()()()()11,011,00,01100,0,41:sup edsup edsup ed0sup edsup ed0:.sststssssstsssststiiXsrXsXrrsrrrrsrrsrrsrrXrXsXr =+=B (14)接下来，我们分别估计1B，2B，3B和4B。对于1B和2B，由条件(H5)，()12,0.BB+(15)对于3B，由引理 2.4，可以得到()()()()()()()()()()()()()()()()()30,0,0,0,1,0,2,0,1,0,21,e1supsupe1d01supe1dsupe1d1sss rtststss uHttstss uHttsttXrXsssBCXuXusBCXusuXuKX +B()()1,.tX (16)对于4B，由引理 2.6，可得()()()()()()()()()()()()()()()()()()1141000,0,00,2,001,0,sup ed dsup ed,d,1suped1supeded.ssssssHuuurrststss rtstsss us uHttstsrfu rsrru XYBu XuXsrrXCBsuusuXu +B(17)最后，将式(15)(17)代入不等式(14)，得到()()()()211,1,1.tttXKXX +(18)选取()()1 14K=，由式(13)，得到()()()1,1,41.3ttXKX +(19)将上式代入不等式(18)，进行简单变换，得到()()()()1 11 1,1,32.2TtXKKC+再将其代入不等式(19)，则()()1 1,tXC。因此，可以得到()()()()()()()()1 11 1,1,ee1.THTTXXXCB +贺鑫 DOI:10.12677/aam.2024.132077 795 应用数学进展 由于()01 12和引理 2.4 中的()()eHB，可以得到()2,.XC 定理 3.2 得证。此外，同理可证()()()()()()()1 11 1,e1.HCBHXXCB+(20)()()22,.XXC+(21)其次，慢过程有如下连续性：定理定理 3.3 假设条件(H1)(H5)成立，那么任意0,tT，存在正常数 C，使得对足够小的和()0,1，有()21 20,sup.tttTXXC 证明证明 首先，我们估计()()XtXs。对于任意的,0,t sT，存在正常数 C，使得()()()()()()()()()()()()()()()()()()1,1,1,d,d11dd d11.ttHrrrsstvHssHXtXsf r XYrr XrBCXtsCBXrsrXvXuvuu vCBXts+其次，小区间长度为:1N=+=+综上所述，()21 20,suptttTXXC。定理 3.3 得证。参考文献22中定理 3.1 和文献23中引理 3.10 的证明，易得如下结论：定理定理 3.4 假设条件(H1)(H5)成立，那么对任意0,tT，存在正常数 C，使得 20,sup.ttTYC Step2：根据文献9，我们先构造辅助过程(),ttXY，再对区间0,T进行分割，令小区间长 度为:1N=，使得对足够小的和()0,1，有 211 20,supe.tttTYYC 接下来，我们估计XX，得到以下引理：定理定理 3.6 假设条件(H1)(H5)成立，那么对任意0,tT，存在正常数 C 和独立于的0，使得对足够小的和()0,1，有()221 21,11e.XXC +E 证明证明 根据方程(8)和方程(22)，()()()()()()()()()()()()()()()22,0,2100,2010,123sup esup edsup ed:.ttTtttTttTXXCXtXtCtsXtXtXsXssCtsXtXtXsXss +=+DDD 首先，对于第一项1D和第二项2D，由条件(H1)(H2)，引理 2.6，定理 3.3 和定理 3.5 可得()()()()()()()()()()()()()()()21200,200,200,220sup e,dsup e,dsup e,ddttsssstTttsssstTttsssstTTssCf s XYf s XYsCf s XYf s XYsCf s XYf sXYsCYYXXs+DD221 2111e.CC+其次，对于第三项3D，有()()()()()()()()()()()()()()()()20130,2010,2010,sup e00 dsup e0000 dsup edttTttTttTCtsXtXtXXsCsXXsCtsXtXts+D 贺鑫 DOI:10.12677/aam.2024.132077 798 应用数学进展 ()()()()()()()()()()()()()()2200,2200,2200,21 20,supe,dsupe,dsupe,dsupettsssstTttsssstTttsssstTtssstTCtf s XYf s XYsCtf s XYf s XYsCtf s XYf sXYsCtXXY+22,021 21d11e.tsTYsCC+综上所述，()221 21,11e.sXXC +定理 3.6 得证。Step3：对XX进行估计。对1R，我们定义以下停时R：,|0,:0:.HRtinf tBRT=(17)定理定理 3.7 假设(H1)(H5)成立，那么对任意0,tT，存在正常数 C 和独立于的0，使得对足够小的和()0,1，有()()2221 2111,0,11e.HTXXCCC RB +E 证明由方程(8)和方程(22)，有()()()222,.RRTTXXXXXX +11 (23)对于不等式(23)右侧的第一项，根据切比雪夫不等式，可得()()()()1 2241 2,.RRTXXXXT 1 很容易得到()()21,0,0,HHRTTTBRRB。根据文献25中的引理 7.5 中21,0,lim0HRTRB=，可以得到()221,0,.RHTTXXC RB 1 对于不等式(23)右侧的第二项，贺鑫 DOI:10.12677/aam.2024.132077 799 应用数学进展 ()()()()()()()()()()()()()()()22,0,2100,2010,123sup esup edsup ed:,tDDtTttDtTtDtTXXCXtX tCtsXtX tXsX ssCtsXtX tXsX ss +=+1111BBB 其中,0,:HTDBR=。对于前两项1B和2B，有()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()21200,200,200,200,sup e,dsup e,dsup e,dsup e,dttsDsstTttDsstTttsDstTttssDtTCf sXYf sXsCf sXf s XsCf s Xf s XsCf s Xf s Xs+BB1111()()()()()()()()()()()()()200,21100,21100,71sup e,dsup e,dsup e,d:.ttssDtTttHsDtTttHsDtTiiCf s Xf s XsCs Xss X sBCs Xss XsB=+=111C 第一项1C可写成()()()()()()()()()()()()()()()()2100,2100,1112sup,dsup,d d:.tssstTttsrrstTCf sXYf sXsCtsf rXYf rXrs+=+CCC 对于11C，由条件(H1)和基本不等式，有()()()()()()()()()()()2111100,20,sup,dsup,dtkkskkktTttssstTCf kXYf kXsCf sXYf sXs+=+C 贺鑫 DOI:10.12677/aam.2024.132077 800 应用数学进展 ()()()()()()()()()211200,212201222001sup,dmax,dmaxd d.,tkkskkktTkkskkTkkTktCCf kXYf kXsCCf kXYf kXsCCJss+=+对于12C，根据 Hlder 不等式和()1,1 2H，可以得到()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()211200,21322000,23200,sup,d dsupd,ddsup,ddsupcttsrrstTtttrrrstTttrrrlstTtCtsf rXYf rXrsCtsstsf rXYf rXrsCtsf rXYf rXrsC+C1()()()()()()()()23200,121122,dd:.ttrlrrsTtsf rXYf rXrs=+1CC 其中1是一个指示函数，:2slt=和:1ctj=，由条件(H1)和22stss和0r，设()(),kkXYYrYrk+=+，,0。令tW是布朗运动且与tW独立。构建过程,kkXYY()()()()()()()()()()()()()(),0,20,0,20,d,d1,d1,d,kkkkkkkkkkkkkkkkkksXYXYXYksXYXYkrsXYXYksXYXYkrYsYkg XYrYrrXYrYrWYkg XYrYrrXYrYrW=+=+(26)其中ttWW=。结合(25)和(26)，可得()(),+kkYks kksXYXY，)0,s，这里表示同分布。对于当)0,s时，由不等式(24)，有()()()()(),.kkkkXYXYkkskkkJsf kXYf kXf kXYf kX=设k是由,kkXY生成的-代数，它与,:0rYr 独立。由文献28中的定理 7.1.2，再结合引理 2.7，可以得到()()222,1ekskkYJsCX+。贺鑫 DOI:10.12677/aam.2024.132077 802 应用数学进展 因此，对于1C，()11C+C。通过定理 3.6，估计52iiC=，可以得到()()()()()()()()()()()()()()()()5200,2200,200,2200,sup e,dsup e,dsup e,dsup e,dttiDsstTittsDstTttssDtTttssDtTCtsf sXf s XsCtsf s Xf s XsCtsf s Xf s XsCtsf s Xf s Xs=+C1111()221 211,11e.DCCXX +1 对于6C，有()()()()()()()()()()()()()()()()2261100,221100,21000,111supe,dsupe,dsupe,ttDtTttDtTttrtTCtrrr Xrr X rrCtrrr Xrr X rrtrrCtur Xrr Xru+C11()()()()216162,dd:.DXuu X uur+=+1GG 对于61C，通过 Hlder 不等式，()()()()()22610,0221,supesup ed.tt rrDtTqrDCtrrXuX urCXX +G11 根据(H2)和文献25的引理 7.1，存在正常数 C，使得()()()()()1122132412341321131234,.t xtxt xtxC xxxxC xxttC xxxxxx+对于62C，有()()()()()()()()()()()()()()226210,2210,supeddsupeddtstDtTtstDtTXsX sXuX uCtsssusuXsXuCtsssXsX susu+C11 贺鑫 DOI:10.12677/aam.2024.132077 803 应用数学进展 ()()()()()()()()()()()()()2210,222,supedde1d,tstDtTttDX sX uCtsssXsX susuCtssXXXXs +11 其中()()()()1,supdssTXsX uXusu+=和()()()()1,supdssTX sX uXusu+=。由引理 3.4，在,0,HTBR的条件下，存在正常数 C，使得()()()()()()()()()()()11,11supd1.sHsTHXXCBXXsrrCBXXC +其中()10 且()0,2。因此，可得()22166162,DCXX +CCC1。同理，7C的估计如下()2217,DCXX C1。同理，3B的估计为()()212121 213,11e.DCCXXC +B1 综上所述，()()2221 2111,0,11e.HTXXCCC RB +引理 3.7 得证。Step4：对XX进行估计。应用基本不等式，由式(8)和(12)可以得到()()()222,22.XXXXXX +根据定理 3.6 和定理 3.7，有()()2221 2111,0,11e.HTXXCCC RB+综上所述，()()()22,221 2111,0,1e1e.THTXXXXCCC RB +取()1 2ln=，当R 时，有 贺鑫 DOI:10.12677/aam.2024.132077 804 应用数学进展 ()2,0lim0.XX=综上所述，即证明了定理 3.1。4.结束语结束语 在本篇论文中，我们研究了由分数布朗运动驱动的非自治双尺度随机时滞微分方程的平均原理，其中该方程的慢分量由 Hurst 参数(),11 2H 的分数布朗运动驱动，快分量由布朗运动驱动。首先，我们使用广义 Stieltjes 积分对快慢过程进行估计，得到方程(2.1)的解(),XY的矩估计。其次，我们利用Khasminskii 技巧，构造了辅助过程(),ttXY，估计了ttXX和ttYY这两项。然后，基于快方程的指数遍历性，我们引入停时序列来控制分数布朗运动的大小进而估计辅助过程tX与平均方程解tX之间的误差。最后，证明了慢分量tX在均方意义下收敛于平均方程的解tX。基金项目基金项目 长安大学中央高校基本科研业务费专项资金资助(CHD300102122113)，陕西省自然科学基础研究计划项目(2023-JC-QN-0009)。参考文献参考文献 1 Larter,R.,Steinmetz,C.G.and Aguda,B.D.(1988)Fast-Slow Variable Analysis of the Transition to Mixed-Mode Os-cillations and Chaos in the Peroxidase Reaction.Journal of Chemical Physics,89,6506-6514.https:/doi.org/10.1063/1.455370 2 Chow,P.L.(1973)Thermoelastic Wave Propagation in a Random Medium and Some Related Problems.International Journal of Engineering Science,11,953-971.https:/doi.org/10.1016/0020-7225(73)90010-4 3 Krauskopf,B.,Osinga,H.M.and Galan-Vioque,J.(2007)Numerical Continuation Methods for Dynamical Systems:Path Following and Boundary Value 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