具有时变时滞的Cohen-Grossberg神经网络的广义同步.pdf
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1、Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(2),832-847 Published Online February 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.132080 文章引用文章引用:李疏桐,蔡旭颖,胡湘涵,李婷,张川.具有时变时滞的 Cohen-Grossberg 神经网络的广义同步J.应用数学进展,2024,13(2):832-847.DOI:10.12677/aam.2024.132080 具有时变时
2、滞的具有时变时滞的Cohen-Grossberg神经网络的神经网络的广义同步广义同步 李疏桐李疏桐*,蔡旭颖,胡湘涵,李,蔡旭颖,胡湘涵,李 婷,张婷,张 川川#曲阜师范大学数学科学学院,山东 曲阜 收稿日期:2024年1月28日;录用日期:2024年2月22日;发布日期:2024年2月29日 摘摘 要要 本文利用辅助系统方法研究了一类具有时变时滞的本文利用辅助系统方法研究了一类具有时变时滞的Cohen-Grossberg型神经网络的广义同步问题型神经网络的广义同步问题。首先首先,基于李雅普诺夫稳定性理论基于李雅普诺夫稳定性理论,得到了保证响应系统和辅助系统之间实现指数同步的充分条件得到了保证
3、响应系统和辅助系统之间实现指数同步的充分条件。其次其次,利利用线性矩阵不等式用线性矩阵不等式,得到了响应系统和辅助系统有限时间混合外同步的充分条件得到了响应系统和辅助系统有限时间混合外同步的充分条件。随后,根据辅助系统随后,根据辅助系统方法得出驱动系统与响应系统广义同步。上述结果同样适用于延迟细胞神经网络方法得出驱动系统与响应系统广义同步。上述结果同样适用于延迟细胞神经网络,结果具有一般性结果具有一般性。最最后后,给出相应的数值模拟来验证所得结论的有效性给出相应的数值模拟来验证所得结论的有效性。关键词关键词 Cohen-Grossberg型神经网络,时变时滞,广义同步,指数同步,有限时间混合外
4、同步,辅助系统型神经网络,时变时滞,广义同步,指数同步,有限时间混合外同步,辅助系统 Cohen-Grossberg Neural Networks with Time-Varying Delays Generalized Synchronization Shutong Li*,Xuying Cai,Xianghan Hu,Ting Li,Chuan Zhang#School of Mathematical Sciences,Qufu Normal University,Qufu Shandong Received:Jan.28th,2024;accepted:Feb.22nd,2024;pu
5、blished:Feb.29th,2024 Abstract This paper investigates the generalized synchronization problem of a class of Cohen-Grossberg *第一作者。#通讯作者。李疏桐 等 DOI:10.12677/aam.2024.132080 833 应用数学进展 type neural networks with time-varying delays using the auxiliary system method.Firstly,based on Lyapunov stability t
6、heory,sufficient conditions are obtained to ensure exponential synchroni-zation between the response system and the auxiliary system.Secondly,using linear matrix inequa-lity,sufficient conditions for finite time mixed external synchronization between the response sys-tem and the auxiliary system are
7、 obtained,According to the auxiliary system method,the genera-lized synchronization between the driving system and the response system is obtained.The above results are also applicable to delayed cellular neural networks,and the results are general.Finally,corresponding numerical simulations are pro
8、vided to verify the effectiveness of the obtained con-clusions.Keywords Cohen-Grossberg Neural Network,Time-Varying Time Delay,Generalized Synchronization,Index Synchronization,Finite Time Hybrid External Synchronization,Auxiliary System Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work i
9、s licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 脑网络是由大量神经元相互连接而成的复杂结构。这些连接形成了广泛的通信网络,允许神经元之间传递电信号和化学信号,从而实现各种生理和认知功能。因此,研究脑网络对我们认识不同网络功能障碍在神经异常和神经障碍中所起的作用提供了新的见解。Cohen-Grossberg 型神经网络(CGNN)是 Cohen和Grossberg首次在1中提出的一种
10、神经网络,在保密通信,模型识别,优化问题等领域有广泛应用2 3。它同时也是用于描述神经元之间相互作用和信息处理的数学模型,对脑网络功能的实现不可或缺。由于信息处理的切换速度有限,在研究神经网络稳定性,收敛性等特性的过程中,时间延迟尤其是时变延迟是不可避免的,因此在神经网络的建模中应该考虑时变时滞4 5 6。如果复杂网络中各个节点的动态都相同,那么称这样的网络为同构网络。但相比同构网络,异构网络即网络中的节点具有不同的动态,更能代表一般情况。以生态群落中捕食者猎物的相互作用为例,捕食者和猎物相互影响彼此的进化,每个个体的行为和另一个个体总是不同。此外,捕食者群落的拓扑结构与被捕食者群落的拓扑结构
11、也不同7。同步是许多复杂网络中一种典型的集体行为。它关注的是网络中每个节点达到相同稳态的一致行为。直到最近几年,人们的兴趣才转向多层网络的同步8。根据同步方式的不同可分为完全同步,指数同步,聚类同步,反同步,混合同步等9 10 11 12。在许多实际问题中,完全同步以难实现。例如,在人类疾病网络中,疾病层和人类层无法实现完全同步。然而,疾病可以和宿主实现和谐共存,这种现象被称为“广义同步”13 14 15。广义同步在工程网络,生物系统,社会活动和许多其他领域发挥了重要作用。现实世界中的大量现象暗示着广义同步的出现。广义同步是完全同步的扩展,它意味着响应系统的状态通过非线性光滑的函数映射与驱动系
12、统的状态同步,但是在现实操作中,该映射是难以寻找的。因此,我们可以用辅助系统方法来巧妙地避开这一难题,当响应系统与辅助系统达到完全同步时,对于任意初始状态不同于辅助系统的响应系统,响应系统将和驱动系统到达广义同步。目前,辅助系统方法已经在实际应用中取得了一定成果,例如,Open AccessOpen Access李疏桐 等 DOI:10.12677/aam.2024.132080 834 应用数学进展 Abarbanel H D I 等人用辅助系统方法检测电路之间的混沌同步,展示了电路同步和非同步运动的现象4。通常,很多注意力都集中在网络内部的同步上,这被称为“内部同步”。除了内部同步之外,我
13、们还可以观察到复杂网络的其他类型的同步行为,比如两个耦合网络之间的“外部同步”,即无论内部网络是否同步,耦合网络的对应节点都将实现同步。这种现象跨越了多个领域,从果蝇时钟神经元群体之间的集体行为,到生态学中捕食者猎物群落之间的平衡,再到研究人员网络和教育工作者网络之间的拥塞。最近,人们报道了各种外部同步现象,包括完全外部同步(COS)、自适应外部同步(AOS)、逆外部同步(IOS)和广义外部同步(GOS)。在当前的工作中,我们提出了一种新的外部同步行为,即混合外部同步(MOS)。Wang 等16研究了具有相同拓扑结构和耦合延迟的两个复杂网络之间的混合外部同步。Zheng等17通过具有脉冲控制效
14、应的自适应反馈控制,分析了两个拓扑结构和输出耦合不相同的复杂网络之间的混合外同步。此外,在实际工程中,我们感兴趣的是在固定有限时间内的有界同步。因此,引入了有限时间稳定性或同步的概念。存在两个有限时间稳定性和同步的概念。第一个概念是指在初始条件下,对于给定的边界,系统的状态在固定的时间间隔内保持在规定的边界内,这也称为有限时间有界性。第二个概念指系统在有限时间内趋于 0。复杂网络的有限时间有界性在实际生活中应用广泛,例如,电网无法实现完全同步,因此希望在给定范围内获得条件,使发动机之间的转子相位差保持不变18。近年来,复杂动态网络的有界控制发展非常迅速,是控制理论和应用中的重要问题之一6。在现
15、有的研究结果中,大部分的同步都是定义在无限时间上的,然而,研究 CGNN 型神经网络的有限时间同步更有意义,也更合理。据我们了解,关于 CGNN 网络的有限时间稳定性或同步的研究很少。在本文中我们研究有关具有时变时滞的 CGNN 网络的有限时间混合外同步,填补了这一方面的空白。本文研究了一类具有时变时滞的 Cohen-Grossberg 型神经网络的指数同步和有限时间混合外同步问题。本文的创新点在于:(1)提出的模型更具有一般性。相比于文献8,本文研究了两层异构神经网络,更具有普遍性。同时利用了辅助系统方法,将证明驱动响应系统广义同步这一复杂抽象的问题转化为证明响应辅助系统的完全同步,使问题的
16、解决变得可行,提供了一种新的研究思路。(2)基于李雅普诺夫稳定性理论,研究了具有时变时滞的 Cohen-Grossberg 型神经网络的指数同步,推导了该网络的指数同步的充分条件。(3)利用线性矩阵不等式研究有限时间混合外同步,推导了上述网络有限时间混合外同步的新的稳定性判据。本文结构如下:第 1 节介绍了 Cohen-Grossberg 型神经网络模型,指数同步与有限时间混合外同步的定义,假设和引理。第 2 节基于李雅普诺夫理论和同步定义,在理论上证明了指数同步和有限时间混合外同步。作为特例,给出了延迟细胞神经网络同步的几个充分条件。第 3 节通过几个数值例子证明了结论的有效性和可行性。最后
17、,我们在第 4 节对全文进行总结。符号说明:nR表示n维欧氏空间。n nR是所有nn阶实矩阵。TA表示矩阵A的转置。()w t代表()w t相对于时间 t 的导数。给定向量TTTT12,nnxxxRx=,x表示 x 的范数。1,2,In=,e表示以e 为底的指数。2.网络模型的建立网络模型的建立 考虑一类具有时变时滞的 Cohen-Grossberg 神经网络,其动力学方程为 李疏桐 等 DOI:10.12677/aam.2024.132080 835 应用数学进展 ()()()()()()()()()()11nniiiiiijjjijjjijjx tpx tax tb fxtc fxttI=
18、.(1)其中1,2,in=,2n 表示神经网络中节点的数目,()ix t表示第 i 个神经元在时刻 t 的状态变量。()ip 表示放大函数,()ia 是一个适当的函数,ijb,ijc表示第 j 个神经元与第 i 个神经元的连接强度。()()jjfxt和()()()jjfxtt表示第 j 个神经元在时刻 t 和()tt的输出,()t表示时间延迟,并且满足()0t,(10)t,0使得()()21entiiyziy tz tM=,0t.其中()()021sup =tnyzyiziitt,则称系统(2)和(3)实现指数同步。定义定义 2 19 响应系统(2)和辅助系统(3)被认为是相对于12,c c
19、T实现了有限时间混合外同步,如果对于()210supec ,有()22,0,e tctT.其中12cc,且()()()()TTTT12,Ne tetetet=。定义定义 3 20 21 对于驱动系统和响应系统的解nxR和nyR,如果存在映射():nmxRR,使得()()()lim0ty tx t=,则说明驱动系统和响应系统达到了广义同步。设广义同步误差系统()()()()E ty tx t=,如果存在 一个时间常量0T,使得()lim0tTE t=,且当tT时有()0E t,则称驱动系统和响应系统关于向量 函数()x在 T 时刻达到有限时间广义同步,其中 T 称为同步时间。假设假设 1 22(
20、)id是一个可微函数,存在正数id,id,使得()0,使得()()1,iiiggLR.假设假设 3 24 存在常数iM,使得()iigzM,zR,1,2,in=.假设假设 425 对于1,2,in=,函数()id满足全局 Lipschitz 条件,即存在常数20iL,有()()2,iiiddLR.假设假设 5 26 对于函数()()()iiiwdm=,存在0i,使得()()iiiwywxyx.其中,x yR,且xy。假设假设 6()iIt是一个有界函数,即存在正数0iI+,使得()iiItI+。引理引理 1 19(柯西不等式)对于任意对称正定矩阵n nMR和,nx yR,有 TTT12x yx
21、 Mxy My+.3.主要结果主要结果 对于响应系统与辅助系统,本文定义误差向量()()()iiie ty tz t=,根据(2)(3)式,同步误差动力学为()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()11111112 =+niiiiiiiiiiiijijjnnnijijijjjijjjjjjnniiiiijijijjjijjiiiie tdy tmy tdz tmz tdy th gyth gzts gytts gzttdy tdz th gzts gzttIk e tk e tt (4)3.1.Cohen
22、-Grossberg 神经网络的指数同步神经网络的指数同步 定理定理 1:在假设 13 和假设 5 的条件下,响应系统(2)和辅助系统(3)实现指数同步,由辅助系统方法可知驱动系统(1)和响应系统(2)实现广义同步,如果存在正数12,0iikk,且满足()12111e0=+nnjjiiiijjjdsLkq,121220=+niiiiijjrPkkq.其中()11112nnnniiijjjjiiiijjiijijjijjjjPdh Ld hLds LdhsMI+=+。李疏桐 等 DOI:10.12677/aam.2024.132080 837 应用数学进展 证明:设 Lyapunov 函数为()
23、()()()()()()TT11eed=+nnttsiiijiittijV e tet e tqes e ss.将()()V e t沿误差系统关于时间 t 求导得()()()()()()()()()()()()()()()()TT1TT1e2ee1e=+nttiiiiintttijiiiijV e tet e tet e tqet e ttette tt()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()TT111112111e2e=+nttiiiiiiiiiiiinnniiijjjijjjijjjjjjn
24、ijjjiiiijnniiiiijjjijjjijjet e tetdy tmy tdz tmz tdy th gyth gzts gytts gzttk e tk e ttdy tdz th gzts gzttI()()()()()()()()()()TT1e1e=+ntttijiiiijqet e ttette tt 由假设 5 知()()()()()()()()()iiiiiiiii idy tmy tdz tmz te t.由假设 1 和假设 2 知()()()()()()()()()()()()()()()()()111111=+nniijjnniijjjijjijjjjjjjjij
25、jjjjdy thytztsyttzttdh LetsLettgggg 根据假设 3 与假设 6 可得()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()TTT111TT111TT12TTe2 e2e2e2e2e2ee1e=+=+nntttiiiiiiijjijijnnttiijjijiijijjiiijjttiiiiiitttijiiijiV e tet e tet e tdh Let etdsLet ettdhsMIet e tket e tket e ttqet e tqtette()()1=nijtt 由引理 1 知 李疏桐 等
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