带遗产计划和非流动性资产的DC型养老金的最优投资组合问题.pdf
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1、Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(2),628-642 Published Online February 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.132061 文章引用文章引用:王西文,肖鸿民.带遗产计划和非流动性资产的DC型养老金的最优投资组合问题J.应用数学进展,2024,13(2):628-642.DOI:10.12677/aam.2024.132061 带遗产计划和非流动性资产的带遗产计划和非
2、流动性资产的DC型养老金型养老金的的 最优投资组合问题最优投资组合问题 王王西文西文,肖鸿民,肖鸿民*西北师范大学数学与统计学院,甘肃 兰州 收稿日期:2024年1月28日;录用日期:2024年2月22日;发布日期:2024年2月29日 摘摘 要要 本文本文探讨了当缴费探讨了当缴费确定确定(DC)型型养老金计划考虑非流动性资产投资时的养老金计划考虑非流动性资产投资时的最优投资组合最优投资组合问题,并研究非流动问题,并研究非流动性对投资组合选择的影响,性对投资组合选择的影响,同时同时还涉及养老金计划参与者的遗产还涉及养老金计划参与者的遗产计划、计划、退休前退休前随机随机劳动工资劳动工资、退休后的
3、、退休后的生活保障生活保障和通货膨胀的风险和通货膨胀的风险。建模时,假设投资者可投资于无风险资产、股票和指数债券外,还有一种建模时,假设投资者可投资于无风险资产、股票和指数债券外,还有一种非流动性资产,非流动性资产,我们考虑一个定期投资,即只我们考虑一个定期投资,即只能在时间能在时间0时进行交易,并在退休时提供回报。投资者同时进行交易,并在退休时提供回报。投资者同时表现出时表现出寻求寻求风险风险和厌恶损失和厌恶损失的行为,退休时投资回报的效用为的行为,退休时投资回报的效用为S型型。我们。我们首先应用首先应用Legendre-Fenchel变换得到最优终端财富,然后采用鞅方法得到完整市场中最优投
4、资策略和财富过程,并给出非流动性资变换得到最优终端财富,然后采用鞅方法得到完整市场中最优投资策略和财富过程,并给出非流动性资产产的最优的最优交易策略交易策略,解决了投资者的最优投资组合问题。,解决了投资者的最优投资组合问题。在此基础上,在此基础上,结合结合一些数字一些数字结论结论来分析模型参来分析模型参数和一些特征对投资策略的影响数和一些特征对投资策略的影响。关键词关键词 最优投资最优投资组合组合,非流动性资产非流动性资产,遗产计划遗产计划,损失厌恶,损失厌恶,DC型型养老金养老金 Optimal Portfolio Problem for a DC Pension Plan with Est
5、ate Planning and Illiquid Assets Xiwen Wang,Hongmin Xiao*College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou Gansu Received:Jan.28th,2024;accepted:Feb.22nd,2024;published:Feb.29th,2024 Abstract This paper explores the optimal portfolio problem when a defined contribution(DC)pen
6、sion plan considers investments in illiquid assets and examines the impact of illiquidity on portfolio choice,*通讯作者。王西文,肖鸿民 DOI:10.12677/aam.2024.132061 629 应用数学进展 as well as the risks of estate planning,stochastic pre-retirement labor wages,post-retirement liv-ing security,and inflation for pension
7、 plan participants.For modeling,it is assumed that an inves-tor can invest in an illiquid asset in addition to risk-free assets,stocks and indexed bonds,and we consider a periodic investment that can only be traded at time 0 and provides returns at retire-ment.The investor exhibits both risk-seeking
8、 and loss averse behavior,and the S-shaped utility from the investment return at retirement.We first apply the Legendre-Fenchel transformation to obtain the optimal terminal wealth,and then use the harnessing method to obtain the optimal in-vestment strategy and wealth process in the complete market
9、,and give the optimal trading strategy for illiquid assets,which solves the optimal portfolio problem for investors.On this basis,some numerical conclusions are combined to analyze the effects of model parameters and some features on investment strategies.Keywords Optimal Portfolio,Illiquid Assets,E
10、state Planning,Loss Aversion,DC Pension Plan Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 养老基金计划是一种为了保障老年人生活权益的制度,通过向个人或企业征收养老金税或者由企业和个人共同缴纳的方式,它关系着居民在
11、退休后的生活水平和质量,是当前社会保障体系制度中重要的组成部分。随着中国老年人口的总数不断提高,收支规模不断扩大,养老金基金管理者面临着如何缓解社会保障体系承受的支付压力这一难题,那么提高资金运用的收益率,关注养老金的升值保值,进行多元化的投资,并且兼顾养老金风险管理,是管理者需要共同研究的问题。根据缴费和给付方式的不同,养老金主要分为两类:收益确定(DB)型养老计划和缴费确定(DC)型养老计划。在DC型模式下,企业年金计划的缴费比例或金额是确定的,投资风险由计划参与者自己承担,DC型养老金的运作比DB型更加透明,更方便有关部门实施监管。对于DC型养老金投资策略的研究方法主要有动态规划原理、极
12、大值原理以及凸对偶鞅方法等。动态规划原理是将最优控制问题与一个偏微分方程(即HJB方程)之间建立联系。极大值原理则是求解一个倒向随机微分方程,并使得广义哈密顿算子满足极大值条件。对于凸对偶鞅方法是由Cox和Huang 1在完备市场下,结合凸分析和随机分析,应用lagrange乘数理论和等价鞅测度及鞅表示定理,通过等价的静态规划根据既定目标来解决相应的问题。蔡晶晶和董迎辉等2应用最优化凹问题和鞅方法,在风险厌恶的基金管理者在最低保障和VaR约束下,研究了关于DC型养老金的最优投资策略问题。Bian和Li 3研究了DC型养老金成员退休前后的两个多周期均值方差投资问题,给出了具有随机利率和随机收入的
13、时间一致策略。Wang和Li 4利用滤波技术和动态规划原理,研究并得到了在不完全信息和模糊厌恶下DC型养老金的最优投资策略。王佩等5在均值方差准则下,利用随机最优控制方法研究和博弈论框架下研究了可投资衍生品的DC型养老金计划的均衡投资策略。史爱林和李仲飞6研究了在考虑遗产动机和最低业绩约束下的DC型养老金的优化投资问题。Chen等7研究了在通货膨胀和兼顾成员退休后的最低生活保障的基础上,损失厌恶型管理者的DC型养老金的资产配置问题。以上文献的工作都是研究养老基金仅投资于金融市场中的流动性资产时的最优投资问题,由于非流动性资产的持有体量占比不可忽略,因此在金融投资组合中考虑非流动性资产的交易是合
14、理并有趣的。非流动资产是指流动性资产以外的资产,主要包括持有到期投资、长期应收款、长期股权投资、投Open AccessOpen Access王西文,肖鸿民 DOI:10.12677/aam.2024.132061 630 应用数学进展 资性房地产、固定资产、长期待摊费用等,相较于流动性资产。由于养老基金投资周期时间长,Dirk W.G.A.Broeders等8认为非流动性资产是养老金投资的有效途径,其探究了DB型养老基金在流动性和资金需求下的非流动性资产配置问题,结果表明投资于非流动性资产类别。Bordag等9的工作研究了具有非流动性资产组合的最优分配消费问题。Desmettre和Seifr
15、ied等人10提出一个新的框架来研究含有定期证券的最优资产配置问题,这种非流动性的定期证券只在时间零点进行交易。基于这个框架,Chen和Li等11研究了损失厌恶型养老金投资者考虑非流动性资产时的投资组合选择。基于上述关于养老金计划的最优投资组合问题的相关文献研究,本文探究当损失厌恶的基金管理者带有对遗产计划需求,并且同时含有非流动性资产的交易时的DC型养老金的最优投资组合问题。这里我们的工作不光研究养老金计划在累计阶段的资产配置情况,同时还兼顾退休后的分配阶段。本文采用Legendre-Fenchel变换和鞅方法得到以下结果:(1)在兼顾遗产计划和确定非流动性资产交易策略的基础上,讨论了不同市
16、场环境和基准线下的三种情形的最优终端盈余和最优终端总财富;(2)给出了任意时刻的最优投资策略和财富过程,并进行数值分析,探讨非流动性对投资组合选择的影响及一些特征对投资策略的影响。2.模型建立模型建立 在本节中,本文为DC型养老金投资者建立了一个带有非流动性资产的资产组合配置模型,同时考虑到投资周期长所带来的通货膨胀风险。在这个模型中,研究了一个有限的时间跨度0,T,其中T是退休时刻。此外,还有一个投资非流动性资产的机会,这种定期投资与其他三种流动性资产股票、债券、无风险资产相比,它只能在投资期开始时进行交易,并在退休时提供一次性的回报。同时投资者表现出寻求风险和厌恶损失的行为,并且有随机的劳
17、动工资流。2.1.投资选择投资选择 设 0,tt 是完备的概率空间,其中()0=tt是代数,();0tW sst=是到 t时刻为止所掌握的所有市场信息,()()()()12,tW t Wt=为二维布朗运动,()1W t和()2Wt相互独立。由于养老金计划累积阶段的周期长的特点,通货膨胀会对养老基金的实际回报率有着很大的影响,因此本节引入指数债券来对冲通货膨胀风险。在这个带有非流动性资产的模型中,考虑通货膨胀所带来的风险是具有意义的,我们假设金融市场由无风险资产,指数债券和股票这三种可交易的流动性资产组成。无风险资产的价格满足常微分方程()()()0dd,0,B tR tBbB t=(1)其中0
18、R 是名义收益率。定义随机价格指数,满足随机微分方程()()()()10ddd,00,IIP ttW tPpP t=+=(2)其中0I是价格指数预期增长率,0I是波动率。指数债券价格满足下式()()()()()()1ddddd,III tP tr trtW tI tP t=+=+(3)王西文,肖鸿民 DOI:10.12677/aam.2024.132061 631 应用数学进展 其中()00Ii=,r是指数债券的实际回报率。股票的价格由下式给出()()()()()()()2120ddd1ddd,00,SSISISTSSS ttW tWtS tttSs=+=+=(4)其中0S表示股票的预期收益率
19、,0S是波动率,()2,1=SSISSIS。IS表示股票和指数债券价格的相关系数,1,1IS 是一个常数。定义波动率矩阵,它是非奇异的 20,1ISISSIS =(5)定义市场风险价格(指数债券和股票价格的夏普比率向量)()1122.11IIIISISSSIISrRrRrRRR+=+(6)定义价格核过程(随机贴现因子)()K t()()212e,RttK t+=(7)通过计算可得()()()()ddd,01.K tR ttKK t=(8)除了上述三种流动性交易资产外,我们考虑一种定期投资,投资者还可以投资于一种非流动性资产()F t。在初始时间0,非流动性资产的价格为()0F,随着时间的变化,
20、其价格满足以下动态方程()()()()()()()()221222dddd1ddd1d,FFIFSFIFSFFFFIFSFFF ttW tWtWtF tttWt=+=+(9)这里F表示收益率。()FWt是独立于()1W t和()2Wt的标准布朗运动。IF和SF分别表示非流动性资产与指数债券及股票之间的相关性。其中(),FFIFFSF =。投资者在初始时间0购买价格为()0F的非流动性资产,那么他在退休时获得()F T的随机回报。由于考虑到通货膨胀的风险和成员有随机的收入,则随机工资流满足以下动态方程()()()()()()212ddd1ddd,YYIYIYYYY ttW tWtY ttt=+=
21、+(10)其中0Y为工资的预期增长率,0Y是工资波动率,()2,1YYIYYIY=。IY表示指数债券和工资收入的相关系数。这里假设0IY,反映了当通货膨胀变大时,市场环境变恶劣,成员希望有更高的劳动收入。王西文,肖鸿民 DOI:10.12677/aam.2024.132061 632 应用数学进展 2.2.财富过程和投资者偏好财富过程和投资者偏好 设投资者在初始时刻0的初始总财富为0 x,她花费()0F的资产买入了的非流动性资产,在此之后参与流动性市场的交易。设()()()()12,ttt=,其中()1t、()2t分别表示投资于指数债券和股票的流动性资金比例。c是缴费率。故投资于流动性市场的流
22、动性财富过程(),Xt 的动态方程为()()()()()()()()(),0ddddd,00,XtRXttXttttcY ttXxF =+=(11)0,tT。特别地,在退休时,非流动性资产给予()F T的回报,因此带有非流动性资产交易的最终总财富为()(),TXXTF T=+。同时我们不能忽略人力资本对养老金计划有着很大的贡献。根据Chen等7的设定,T为退休时刻,T是死亡时刻(为确定的常数),则养老金计划成员未来预期贡献在时刻t的累积贴现值为()()()()d,TttK sM tcY ssK t=(12)其中|tt=表示在给定时刻t的信息t下的条件期望。通过计算可得到()()()()111e
23、1,T tM tcY t=(13)其中1YYR=,()M t求微分可得()()()()()()ddddd.YM tRM ttM tttcY tt=+(14)为了后续计算简化,记()00mM。同时定义养老金计划成员在退休后的最低生活水平为()l t,满足方程()()()ddd,lll tttl t=+(15)其中0l是平均增长率,0l是波动率,()2,1=llIllIl。由此可定义时刻t的最低生活保障()()()()d,TttK sL tl ssK t=(16)通过计算可得()()()()()2221ee,TtT tL tl t=(17)其中2llR=,对()L t求微分可得()()()()()
24、dddd.lL tRL ttL ttt=+(18)记()00LL。在研究流动性资产和非流动性资产的最优投资问题中,几乎大部分工作都采用CRRA型或CARA型效用函数来描述投资者的投资偏好,但大多数投资者是损失厌恶者,他们更加关注财富的变化而非最终状态,因此本文选择使用Kahneman和Tversky(1979)12提出的一个框架,即前景理论。因此S型偏好的投资者表现出损失厌恶和寻求风险的行为,其效用函数为 王西文,肖鸿民 DOI:10.12677/aam.2024.132061 633 应用数学进展 ()()()()()()()()12,AX TX TU X TX TX T=(19)其中,A为
25、正常数,1A 表明损失厌恶成立;1和2是损失和收益的曲率参数,1、2分别代表损失厌恶程度和风险厌恶程度,101和201时,成员对遗产计划有需求。定义定义 3.1(可容许策略)设投资策略()(),:0,ttT是可容许策略,0,0,那么下面的四个条件同时成立。(i)对于任意的0,tT,()t是关于t适应的;(ii)()(),K T ZT +;王西文,肖鸿民 DOI:10.12677/aam.2024.132061 634 应用数学进展 (iii)上述给定的流动性盈余过程(),Zt 满足问题(21)中的两个约束;(iv)(),min00Zz,其中()min0zK T=。记所有投资组合的可容许策略的集
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