量子磁流体方程弱解的全局存在性.pdf

Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(2),760-773 Published Online February 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.132075 文章引用文章引用:张帆,任永华,张建文.量子磁流体方程弱解的全局存在性J.应用数学进展,2024,13(2):760-773.DOI:10.12677/aam.2024.132075 量子磁流体方程弱解的全局存在性量子磁流体方程弱解的全局存在性 张张 帆帆，任永华任永华*，张建文张建文 太原理工大学数学学院，山西 太原 收稿日期：2024年1月28日；录用日期：2024年2月22日；发布日期：2024年2月29日 摘摘 要要 本文研究了三维环面上粘性依赖密度的量子磁流体系统，通过引入冷压处理对流项，运用本文研究了三维环面上粘性依赖密度的量子磁流体系统，通过引入冷压处理对流项，运用Fadeo-Galerkin方法和紧性定理等证明了该系统弱解的全局存在性方法和紧性定理等证明了该系统弱解的全局存在性。关键词关键词 冷压，量子磁流体，弱解冷压，量子磁流体，弱解 Global Existence of Weak Solutions for Quantum Magnetohydrodynamic Equations Fan Zhang,Yonghua Ren*,Jianwen Zhang Department of Mathematics,Taiyuan University of Technology,Taiyuan Shanxi Received:Jan.28th,2024;accepted:Feb.22nd,2024;published:Feb.29th,2024 Abstract This paper investigates a density dependent quantum magneto fluid system on a three-dimensional torus,and proves the global existence of weak solutions of the system by introducing cold pressure convection terms and using Fadeo-Galerkin method and compactness theorem.Keywords Cold Pressing,Viscous Quantum Magnetic Fluid,Weak Solution *通讯作者。张帆 等 DOI:10.12677/aam.2024.132075 761 应用数学进展 Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 本文主要研究如下的三维粘性量子磁流体系统：()tdivu+=3x (1)()()()()()22tudivuuPBBu+=+(2)()()tBuBB=(3)0divB=(4)初始条件：()()()()000,0,0,0 xuxmB xB=(5)相容性条件：()()()()()20323132323000001,mLLLLBL (6)其中，3是一个三维环面，未知函数()()123,x tuu u u=和()123,BB B B=分别表示流体粒子的质量 密度，速度和磁场；是普朗克常数；称为量子玻姆势；且物理参量,0，压力()P是两个分 量组成的密度函数，假设()()()12 PPP=+，其中等熵流()()210,1Paa=(7)是由玻义耳定律给出的经典压力分量：()()()2223021aP=(8)是冷压分量且是一连续的奇异函数，其中冷压的负性可以看作数学假设也可以看做为了保持稳定性而人为假设的。该类模型可以用于描述超流体1，量子半导体2，弱相互作用的玻色气体3和 Bohmian 力学的量子轨迹4等。若0B=且动量方程(2)不含冷压项，方程组(1)(4)称为量子流体力学(简称 QHD)模型。现在关于QHD 模型的研究相对成熟。Antonelli Paolo 5研究了 QHD 模型有限能量弱解的存在性，王光武和郭柏灵6 7建立了该模型强解的全局存在性和爆破，Zhang 8等研究了在任意维空间中等熵可压缩 QHD 模型局部光滑解的初始密度具有紧支集时，其局部光滑解将在有限时间内爆破。若0B=且动量方程(2)不含冷压项，考虑动量方程(2)添加2uudiv+或()()()2uudiv hgdivu+，方程组(1)(4)称为量子 Navier-Stokes 方程(简称量子 NS 方程)。Open AccessOpen Access张帆 等 DOI:10.12677/aam.2024.132075 762 应用数学进展 Jngel 9首先证明了当普朗克常数()大于粘性常数()时，可压缩量子 NS 方程弱解的全局存在性。之后，Dong 10和 Jiang 11分别证明了=,。进一步，文献12 13 14通过添加额外的冷压力或阻尼项证明了量子 NS 方程弱解的全局存在性。董建伟和琚强昌15证明了当,1 时，可压缩量子 NS 方 程光滑解在有限时刻爆破。Yang 16等通过引入不同的冷压()()222321aP=，证明了在标准定义的意 义下三维正压可压缩量子 NS 方程弱解的全局存在性。Antonelli Paolo 17等证明了具有非平凡远场行为的量子 NS 方程有限能量弱解的全局存在性。唐童和牛聪18通过构造含有冷压力与阻尼项的逼近系统证明了非单调压力情形下量子NS方程弱解的全局存在性。关于量子磁流体方程的研究近几年有显著进展。2014 年，Yang 19等利用 Fadeo-Galerkin 方法和紧性定理证明了三维粘性量子磁流体方程弱解的全局存在性。2017 年，Li 20等证明了三维环面量子磁流体方程弱解的全局存在性及大时间行为。2019 年，王光武和郭柏灵21将量子磁流体模型与 Eicksen-Leslie模型耦合，证明了二维粘性量子磁流体液晶方程有限能量弱解的全局存在性和光滑解的爆破。同时，王朋杰22研究了此模型经典解及其衰减。2020 年，杨莹和周妤23等利用拓扑度理论和抛物正则化方法证明了量子磁流体方程周期解的存在性。本文受文献16的启发，利用 Fadeo-Galerkin 方法和消失粘性的方法证明了粘性量子磁流体方程组(1)(4)弱解的全局存在性。值得指出的是，本文中我们将文献19定理 1.1 中的绝热指数3扩大到1。2.预备知识及主要定理预备知识及主要定理 本节先给出一些符号说明。(),3m pW和()3sH是 Sobolev 空间，()()30,;pqLTL是带有时间的Sobolev 空间，其中的元素关于时间变量 p 次可积，关于空间变量 q 次可积。然后给出了粘性量子磁流体模型弱解的定义及其主要定理。引理 1(Aubin-Lions 引理)24假设 Banach 空间,X Y Z满足XYZ并且XY，则有()()()()()()10,;:0,;0,;,10,;:0,;0,;,1qqttrTXTZLTYqTXTZCTYrLLLL 引理 2(Gagliardo-Nirenberg 不等式)25假设m和1,p q r+，那么存在常数0C，使得对()(),m pquWL 有()()(),1m pqrWLLDuuuC 其中，01,mm=满足 11133mrpq=+特别地，03,1mpm/上述不等式也成立。定义 1 设0，称(),u B是方程组(1)(4)的弱解，如果满足下列条件 张帆 等 DOI:10.12677/aam.2024.132075 763 应用数学进展 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()3232231322323223232130,;0,;,0,;0,;0,;110,;,0,;0,;0,;LTLuLTLuLTLLTHLTHLTLLTLBLTLLTH (),u B在分布意义()()30,T下满足连续方程()()()0,0tdivuxx+=(9)对任意试验函数()300,CT且(),0T=有()()()()()()()333333300000120020,0 dd d:d d:d dd dd d2:d d02TTTtTTTuxux tuux tux tPPdivx tBBx tdivx t+=()()333000,0 dd d:d d0TTtxuBBx tBx tB+=注 1：为便于定义 1 的计算，量子项可以写成()()1,1,2,div =()()()222,2,2,2,2,divdivdivdivdivdiv=+=+=+定理 1 对任意0,1T。假设初始值()000,uB满足条件(6)，则方程组(1)(4)在区域30,T 上存在全局弱解(),u B。接下来，我们构造逼近系统。受到文献21的启发，运用 Banach 不动点定理得到方程组(10)(13)近似解的存在性，在近似解一致先验估计的基础上，证明了近似解的极限就是方程组(1)(4)的弱解，进而证明了定理 1。张帆 等 DOI:10.12677/aam.2024.132075 764 应用数学进展 3.Fadeo-Galerkin 近似近似 首先，由于方程组(1)(4)缺乏紧性，所以我们在动量方程(2)的右边添加正则性项uu。即()tdivu+=(10)()()()()()()()2122tudivuuPPBBuuu+=+(11)()()tBuBB=(12)0divB=(13)其中，是一个很小的参数，初值00,m按照文献26方法正则化()()()()3323230,0,0000,tttCumCBBL=(14)初值0,是()33C的光滑函数，且满足10,0，0,在()3L中强收敛于0，0,m在()13L 中收敛于0m。接下来，我们利用 Fadeo-Galerkin 方法构造方程组(10)(13)的近似解。设0T，定义有限维空间1=nnjjXspan，j是()13的标准正交基，方程组(10)(13)的近似 解定义为()()()()()()11,nnnsnsnsnsssux ttxBx ttx=未知函数()()(),1,2,;1,2,snsntttsn n+=是连续函数，且(),nux t在()00,;nCTX中的范数可以表示为()()00,;0,1maxnnsnCTXtnsTut=因此，对任意kN，nu在()()030,;kCTC中有界，并且存在常数()0C k，有()()()()030230,;0,;knnCT CCTLuC u (15)近似系统定义如下：设()()1330,;CTC是()()()0,0tdivuxx+=(16)的经典解。由()10,0 x和不等式(15)以及(),0 x t，根据最大值原理26可知，对任意()3,0,x tT()()()331000exp,d dexpd dttLLdivux sdivux tx s，j线性无关，故对任意0,tT，,i jM可逆，由 Peano 存在定理得在0,T存在唯一的()t连续。设映射()():0,;0,;nnnCTXCTX。下面我们证明映射n有且仅有一个点使得()nnnuu=。首先，设 I 为凸集，证明映射:nII。令方程(18)的试验函数i=同时乘i，且对1,2,in=时相加。()()()3321 ddd:2 d:dnnnnnnnnnnnnnnnnt uxGu xuu uuutuuuu uux=+对0,T积分，由有限维赋范线性空间中范数是等价的，我们可以得到()()()()13332220,0,0dddtnnLt utxC nGxux+张帆 等 DOI:10.12677/aam.2024.132075 766 应用数学进展 根据()()130,;LTLGC有界，在常数0M使得()()232300001LLuBM+当()T nT足够小时，对于任意()0,tT n，我们有()()230nLutM。定义()()()2300:0,;supnnnLt T nIuCTXuM=。易得到映射:nII，得证。然后，令i=为试验函数，用i乘(18)式并对1,2,3,in=相加，由有限维赋范线性空间范数是等价性得()()()()()()()()()()()()()()()()3331323232323222222dd:d,2nnnnnnnnnnnntttttnnnnttnnnnLLLLtLuxGuxuuuuuuuuuxuC nGuuuuu +因此，()()230,;ddnLTLuCt。根据 Aubin-Lions 引理知n将 I 映射到()()0,;nCT nX的紧子集。最后，我们证明 n的连续性。假设当 k 时，在()()0,;nCT nX中有1=nknnkuu成立。设,kkknnnuB为方程组(18)(19)的解，且()kknnnuu=。借助Aubin-Lions引理知kn在()()30,CT n中强收敛于n，,nknkuB在()()0,;nCT nX中强收敛于,nnuB。由方程的线性与解的唯一性推出 knnuu，且()nnuu=。根据 Banach 不动点定理可知，I 中存在一点是近似方程组(10)(13)的解，记为(),nnnuB。然而，方程的解与有关，令(),nnnuB为逼近系统(10)(13)的解。为了计算方便我们先省略上标，下标 n。同时，我们可将时间 t 延拓到0,T。4.先验估计先验估计 在本节，我们将推导出一系列的先验估计，即能量估计。目的是为了获得弱解的紧性。定理 2 对任意0tT。5.敛散性敛散性 根据在前一节先验估计的基础上，本节我们根据 Sobolev 嵌入定理，紧性理论和 Aubin-Lions 引理求近似解(),0nnnuBn的极限。首先令0，求n 时极限，然后再求0的极限。由上述估计，易得到下述收敛。定理 3 在定理 2 的假设下，当n 时，n在()()2130,;LTH中强收敛；()()11nPP在()()1130,;LTL 中强收敛；()()22nPP在()()1130,;LTL 中强收敛；11n在()()230,;CTL中强收敛；张帆 等 DOI:10.12677/aam.2024.132075 771 应用数学进展 nnuu在()()2230,;LTL中强收敛；n在()()230,;CTL中强收敛；nuu在()20203990,;LTL中弱收敛；nuu在()2020313130,;LTL中弱收敛；nBB在()()2130,;LTH中弱收敛；nBB在()()230,;LTL中弱*收敛；nBB在()()2230,;LTL中强收敛。证明：连续性方程(10)除以n()212ntnnnnnnndivudivu=+由引理 3 推导出右边第一项在()()*2130,;LTH中有界。根据引理 3 及(35)知其余项在()()2230,;LTL中有界，因此可以得到()()*2130,;tnLTHC。(35)及上式运用 Aubin-Lions 引理推 导出n强收敛于。首先，()31H到()23L 的插入是紧的，而()3pL的基本列nf可选取子序列几乎处处收敛于()3pfL，故存在序列n在()()1130,;LTL 几乎处处收敛。其次，由(36)知()()21,nnPP在()553330,;LTL弱收敛。因此()()21,nnPP在()()1130,;LTL 强收敛。引理 3 和(44)运用 Aubin-Lions 引理推导出1n强收敛。()()2nnnnnnnnnnnnuuuuu=+=+(47)推导出()31,2320,;nnuLT W结合(43)，借助 Aubin-Lions 引理得到nnu在()()2230,;LTL强 收敛于u。引理 3 和(47)推导出n在()()330,;LTL有界和tn在()3220,;LTL有界，借助 Aubin-Lions 引理可得到n在()()230,;CTL强收敛于。定理 3 最后一项的证明见参考文献19。nnuu在()()2230,;LTL中强收敛。(40)和nu几乎处处收敛推导出nu在()()220,;LTL强收敛，以及nnu在()()2230,;LTL中强收敛且几乎处处收敛，通过 Aubin-Simons 引理可知nnu在()()2230,;LTL中强收敛。接下来，在近似系统(10)(13)中求n 的极限且,nnnnnuuBBuu=。在弱解的意义上得到()tdivu+=。然后，我们逐项考虑方程组(11)(13)。根据定理 3 可知n在()()2130,;LTH中强收敛，从而推断出量子项nn，nn在()()1130,;LTL 中弱收敛。张帆 等 DOI:10.12677/aam.2024.132075 772 应用数学进展 接下来，我们考虑非线性项。根据定理 3 知nnu在()()2230,;LTL强收敛，n在()()2130,;LTH强收敛结合引理 3 推导出 nnnuuuu在()()1130,;LTL 中弱收敛；nnuu在()()1130,;LTL 中弱收敛。定理 3 中 B 分别在()()2130,;LTH弱收敛，()()2230,;LTL强收敛结合引理 3 推得：()()nnBBBB 在()()1130,;LTL 中弱收敛；nnuBuB在()()1130,;LTL 中弱收敛。根据上述收敛，我们得到逼近系统(10)(13)的弱解(),uB。我们可以利用同样的方式，证明当0时，存在解为(),u B且满足初始条件(5)和相容性条件(6)的系统(1)(4)。定理 1 得证。6.总结与展望总结与展望 本文研究了三维粘性量子磁流体系统，通过引入冷压处理对流项证明了该系统全局弱解的存在性。首先，利用 Galerkin 方法构造了逼近系统，其次通过能量不等式推导出一系列的先验估计，最后运用Sobolev 嵌入定理，Aubin-Lions 引理等证明了近似解(),nnnuB，,0n时，即原系统的弱解。本文的创新点在于通过引入不同的冷压处理对流项，将文献19定理 1.1 中的绝热指数3扩大到1。接下来可以考虑将冷压引入不同的粘性系统求解其弱解的存在性。基金项目基金项目 山西省国际合作基地与平台项目(202104041101019)。参考文献参考文献 1 Loffredo,M.I.and Morato,L.M.(1993)On the 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