稀疏相位恢复的改进GS和HIO算法.pdf
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1、Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(2),643-652 Published Online February 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.132062 文章引用文章引用:宋妍妍,王帅康.稀疏相位恢复的改进 GS 和 HIO 算法J.应用数学进展,2024,13(2):643-652.DOI:10.12677/aam.2024.132062 稀疏相位恢复的改进稀疏相位恢复的改进GS和和HIO算法
2、算法 宋妍妍宋妍妍,王帅康王帅康*吉首大学数学与统计学院,湖南 吉首 收稿日期:2024年1月28日;录用日期:2024年2月22日;发布日期:2024年2月29日 摘摘 要要 为了提高相位恢复的恢复度,保证恢复的唯一性,在这个基础上简化算法,提高恢复效率,本文在原有为了提高相位恢复的恢复度,保证恢复的唯一性,在这个基础上简化算法,提高恢复效率,本文在原有的的DFRFT算法以及算法以及GS算法和算法和HIO算法的基础上提出了两种二者结合的改进算法算法的基础上提出了两种二者结合的改进算法DFRFT_GS和和DFRFT_HIO算法,并通过大量仿真实验验证了两种算法的有效性和实用性。实验结果表明,这
3、两种算法算法,并通过大量仿真实验验证了两种算法的有效性和实用性。实验结果表明,这两种算法具有较高的相位精具有较高的相位精度和稳定性,在实际应用中具有很高的价值,且能够在较少的振幅测量度和稳定性,在实际应用中具有很高的价值,且能够在较少的振幅测量情况下达到比情况下达到比原有的原有的FFT算法更加优化的恢复效果算法更加优化的恢复效果。关键词关键词 相位恢复,相位恢复,DFRFT,GS,HIO,恢复概率,恢复概率 Improved GS and HIO Algorithms for Sparse Phase Retrieval Yanyan Song,Shuaikang Wang*College o
4、f Mathematics and Statistics,Jishou University,Jishou Hunan Received:Jan.28th,2024;accepted:Feb.22nd,2024;published:Feb.29th,2024 Abstract In order to improve the recovery degree of phase retrieval,ensure the uniqueness of recovery,sim-plify the algorithm on this basis,and improve the recovery effic
5、iency,this paper proposes two im-proved algorithms:DFRFT_GS algorithm and DFRFT_HIO algorithm,which combine two algorithms on the basis of the original DFRFT algorithm and GS algorithm and HIO algorithm.The effectiveness and practicability of the two algorithms are verified by a large number of simu
6、lation experiments.The experimental results show that these two algorithms have high phase accuracy and stability,*通讯作者。宋妍妍,王帅康 DOI:10.12677/aam.2024.132062 644 应用数学进展 and have high value in practical application,and can achieve more optimal recovery effect than the original FFT algorithm under the
7、condition of less amplitude measurement.Keywords Phase Retrieval,DFRFT,GS,HIO,Recovery Probability Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 相位恢复(Ph
8、ase Retrieval)是数字信号处理中的一个重要的问题,它在图像处理、音频处理以及通信系统等领域中得到广泛应用。传统的数字信号处理中,通常采用快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform,FFT)来计算信号的频率和相位信息。但是,FFT 算法在大量旋转时很容易出现不同程度的相位失真,因此,在复杂环境下,FFT 算法可能会出现错误估计,这种情况会导致恢复的相位精度降低,从而影响到整个系统的性能。相位恢复问题是从测量的强度信息出发来恢复信号的相位信息,从而达到恢复出已知信号的目的。这一问题长期以来一直是科研工作者的关注热点,已在工程物理领域、天文学观测等方面得到广泛普及。相位
9、恢复问题的经典算法有 Gerchberg-Saxton 算法(GS 算法)、误差减小算法(Error-Reduction Algorithm,ER)、最速下降法(Steepest-Descent Method,SDM)、混合输入输出算法(the Hybrid Input-Output Algorithm,HIO)等1。分数阶傅里叶变换(Fractional Fourier transform,简称 FRFT)是一种快速傅里叶变换(FFT)的变体,它使用任意复数值来代替傅里叶乘子。这种方法在信号处理、光学和物理学中是很常见的。该算法突破了经典傅里叶变换反映信号的局部特征的能力欠缺的不足之处,在传
10、统的傅里叶变换基础上,通过引入一个实数参数 来泛化的一种傅里叶变换,是对传统傅里叶变换的拓展和推广,因此更适合处理非平稳信号。然而,原有的 FRFT 算法存在运行效率低下、恢复概率不高等缺陷,因此笔者尝试将 GS 算法和 HIO算法分别与 DFRFT 算法进行结合,即将这两种算法分别应用于 DFRFT 算法的预处理阶段。实验表明该方法提高了算法运行速度,提升了算法准确性以及相位恢复的恢复度,是一种满足要求且性能较好的改进算法。2.预备知识预备知识 2.1.分数傅里叶变换的定义分数傅里叶变换的定义 分数傅里叶变换的定义形式是多样的,且各个定义形式之间是彼此等价的2。它是对一般的傅里叶变换的扩展,
11、可以将信号在任意角度进行变换。目前常见的定义形式有以下几种:一方面是由 Ozaktas从积分变换给出的采样型 FRFT 3,另一方面是 Namias 从傅里叶变换的特征值与特征函数的角度给出的特征分解型 FRFT 4,这两种定义方式在本质上是彼此等价的。2.1.1.Ozaktas 采样型分数傅里叶变换采样型分数傅里叶变换 对于一维信号()x t来说,从积分变换的角度给出的 FRFT 的基本定义为:Open AccessOpen Access宋妍妍,王帅康 DOI:10.12677/aam.2024.132062 645 应用数学进展 ()()()(),daaaXufuKt u f uu+=其中
12、()02 0.a (1)2a=表示信号()x t在时频平面上旋转的角度,其中 a 为分数阶次,(),aKt u称为卷积核,它的形式为:()()()()221cotexpcot,22sin,2,21aiuttuiinKt utuntun+=+=+(2)其中,()t是狄拉克函数。经验证可知,当0a=时,()()0,Kt utu=;当2a=时,()()2,Kt utu=+。此定义很容易扩展到2,2之外的区间,对于虚数单位 i 来说,4i称为恒等算子,也就是说 FRFT 是周期为 4 的变换。用符号表示就是:()()()()()()()()()23243x tx txtx tx tFx tx tx t
13、=这一性质在下节介绍分数傅里叶变换性质时也有所涉及。2.1.2.Namias 特征分解型分数傅里叶变换特征分解型分数傅里叶变换 特征分解型分数傅里叶变换是傅里叶变换的另外一种扩展形式,最早是由 Namias 于 1980 年提出,他将一般的傅里叶变换特征值进行了推广,并重新定义了分数傅里叶变换的特征值以及特征函数,后来Lohmann 于 1993 年阐述了 FRFT 的物理意义,即可理解为时频平面的旋转,Lohmann 开创性的工作使得FRFT 首先在光学中得到应用。首先,先给出 Hermite-Gaussian 函数的傅里叶变换对应的特征方程5:()()2e,0,1,2,innnttn=(3
14、)其中,是傅里叶变换算子,2ein=是傅里叶变换的特征值,(),0,1,2,ntn=称为 Hermite-Gaussian函数,即为普通傅里叶变换算子特征值为2ein的特征函数,且构成有限能量信号空间的一组完备的标准 正交基。1980 年,Namias 从特征分解的角度将一般的傅里叶变换特征值推广至分数阶次,给出了分数傅里叶变换的特征值与特征函数的形式,从而得到一维信号()x t的 a 阶分数傅里叶变换的定义形式:()()()()20ed.inaannnXux ttut+=(4)或另外一种形式:()()()()20ed.inaannnXuux ttt+=(5)同理,可由一维信号的分数傅里叶变换
15、定义得到二维信号(),x s t的 FRFT 定义6:()()()1212,d d.a aa aXu vx s t Ks t u vs t+=(6)宋妍妍,王帅康 DOI:10.12677/aam.2024.132062 646 应用数学进展 信号(),x s t也可以通过二维分数傅里叶逆变换,将()12,a aXu v翻转角度()12,aa进行恢复:()()()1212,d d.a aaax s tXu v Ku v s tu v+=(7)2.2.分数傅里叶变换的性质分数傅里叶变换的性质 分数傅里叶变换的特点是可以在时域和频域之间进行无缝切换,具有更灵活的信号处理能力。同时,它还具备一系列优
16、良性质,如线性性质、阶数性质、周期性、对称性、平移性等。因此,它在信号处理中得到了广泛应用。(1)线性性质:()(),aannnnnnc xtcxt=(2)阶次可加性7:1212,aaaa+=(3)周期性:4,anan+=为整数(4)对称性:1221,aaaa=(5)酉性:()(),Haax tx t=式中()H表示共轭转置矩阵。除了上述基本性质之外,分数傅里叶变换与一般的傅里叶变换之间也有某种内在联系。一般的傅里 叶变换可以看作信号在时频平面上逆时针旋转2的角度,而分数傅里叶变换可以看成是任意角度的旋转,因此分数傅里叶变换是一般的傅里叶变换的推广形式。Ozaktas 于 1994 年指出分数
17、傅里叶变换与 Wigner-Ville 分布(WVD)之间的关系8,假设信号()x t的Wigner-Ville 分布记为(),axt vW,则()axt的 Wigner 分布是()x t的 Wigner 分布的旋转形式:()(),cossin,sincos.=+axxt vWWtvtv (8)若引入 Radon 变换算子,那么同样的性质也可以用另外一种形式表达9:()()()2,.xaaaWt vtxt=(9)可理解为将二维函数(),xWt v积分投影至与 x 轴成一角度2a=的轴上面,将此轴称为at轴或 a 阶分数傅里叶域。其中,0t轴是一般的时域,t 轴是一般的频域 v 10。3.数值算
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