具有双临界指数的分数阶Kirchhoff方程的正规化解的非存在性结果.pdf
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1、Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(4),1817-1826 Published Online April 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.134171 文章引用文章引用:张天晴.具有双临界指数的分数阶 Kirchhoff 方程的正规化解的非存在性结果J.应用数学进展,2024,13(4):1817-1826.DOI:10.12677/aam.2024.134171 具有双临界指数的分数阶具有双临
2、界指数的分数阶Kirchhoff方程的正规方程的正规化解的非存在性结果化解的非存在性结果 张天晴张天晴 辽宁师范大学数学学院,辽宁 大连 收稿日期:2024年3月28日;录用日期:2024年4月23日;发布日期:2024年4月30日 摘摘 要要 Kirchhoff模型源于研究一根有弹性的绳子在自由振动过程中绳长的改变量,而分数阶模型源于研究一根有弹性的绳子在自由振动过程中绳长的改变量,而分数阶Kirchhoff方程则方程则将局部问题延伸到了非局部问题。通过使用变分法,约束极小元思想和一些能量估计,本文证明了一类将局部问题延伸到了非局部问题。通过使用变分法,约束极小元思想和一些能量估计,本文证明
3、了一类具有双临界指数和混合非线性项的分数阶具有双临界指数和混合非线性项的分数阶Kirchhoff方程的正规化解的非存在性结果,即泛函在一个方程的正规化解的非存在性结果,即泛函在一个L2-约束流形上的能量极小元的不存在性。这些能量估计是本文的重点和难点内容,但本文仅针对非存在性约束流形上的能量极小元的不存在性。这些能量估计是本文的重点和难点内容,但本文仅针对非存在性结果进行了分析。对分数阶和非局部算子的研究不仅可以应用于数学领域,还能用于连续介质力学,相结果进行了分析。对分数阶和非局部算子的研究不仅可以应用于数学领域,还能用于连续介质力学,相变现象,博弈论等其他方面。变现象,博弈论等其他方面。关
4、键词关键词 分数阶分数阶Kirchhoff方程,双临界指数,混合非线性项,正规化解方程,双临界指数,混合非线性项,正规化解 A Nonexistence Result of the Normalized Solutions to a Fractional Kirchhoff Equation with Doubly Critical Exponents Tianqing Zhang School of Mathematics,Liaoning Normal University,Dalian Liaoning Received:Mar.28th,2024;accepted:Apr.23rd,2
5、024;published:Apr.30th,2024 Abstract The Kirchhoff model is derived from the study of the length change of an elastic rope during vibra-tion,fractional Kirchhoff equations,however,extend local problems to nonlocal ones.By using the 张天晴 DOI:10.12677/aam.2024.134171 1818 应用数学进展 variational method,cons
6、trained minimization technique and some energy estimates,a nonexis-tence result of the normalized solutions to the fractional Kirchhoff equation with doubly critical exponents and combined nonlinearities is obtained in this paper.In other words,the nonexistence of energy minimizers of the functional
7、 on the L2-constrained monifold is discussed.These energy estimates are the key and difficult points of this paper.Nevertheless,only the nonexistence result is analyzed here.Besides,the study of fractional order and nonlocal operators can be applied not only to the field of Mathematics,but also to c
8、ontinuum mechanics,phase transition phenomena,game theory,etc.Keywords Fractional Kirchhoff Equations,Doubly Critical Exponents,Combined Nonlinearities,Normalized Solution Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International Li
9、cense(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 本文,我们关注的是一类分数阶 Kirchhoff 方程如下:()()2222d,NspqsNabuxuuc uud uux+=+(1)其中,0a b,13N,01s,242sqpp,0d,1s=时,问题(1)被称为 Kirchhoff 模型。在过去这些年,这类模型吸引了很多关注,并且它与以下演化方程密切相关:()()()()2d,0,.Nttuabuxuf x ux u+=(2)在 1883 年,Kirchhoff 1首先介绍了这类方程。值得注意的是在2中,方程(
10、2)建模了几类物理模型。接下来我们将注意力转向这种方程:()()()22d,.NssNabuxuuf x ux+=(3)当1s=时,方程(3)是一类经典的 Kirchhoff 方程。与(3)这类 Kirchhoff 方程有关的文献有很多,此处不能全部列举,因此在本文我们仅列出其中几个。例如,3考虑了具有临界增长的 Kirchhoff 方程的多重解。此外,感兴趣的读者可以参考4 5以及其中的参考文献去了解更多的关于 Kirchhoff 方程的解的存在性结果。Open AccessOpen Access张天晴 DOI:10.12677/aam.2024.134171 1819 应用数学进展 此外,
11、当01s时,众所周知()1NN 上的()s是一个非局部的拉普拉斯算子。在6中,使用山路定理和下降流的不变集,作者得到了具有连续通项型非线性项的非线性分数阶 Kirchhoff 方程的一个正解、一个负解和多个变号解。进一步地,读者们可以参考7 8以及其中的参考文献来了解如方程(3)这类分数阶 Kirchhoff 方程的解的存在性结果。受到9的启发,本文致力于研究具有双临界指数和混合非线性项的方程(1)的具有指定 L2-范数的解的非存在性结果,这里的双临界包含 Sobolev 嵌入临界和 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式的临界这两种情况。如果取4Ns=,读者容易发现临
12、界 Sobolev 指数222sNNs=和分数阶 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev临界指数822sGNSsN=+相等,并且有28242NsNsN=+=。因此,本文考虑4Ns=的情况,换言之,11,412,233,4NsNsNs=若则若则若则 (4)并且224sqp=。显然,以下能量泛函()()()22222dddd244NNNNsspqcabcdIuuxuxuxuxq=+在约束集合21:d1NsSuHux=上的临界点与方程(1)的解相对应,这里的分数阶 Sobolev 空间()sNH定义为()()()()()2222:.sNNNNNsu xu yHuLLxy+=此空间中的
13、范数(的平方)为()()2222d,sNNsHuuux=+其中,()()()22222dd d.NNsNsu xu yuxx yxy+=换句话来说,考虑分数阶 Kirchhoff 泛函在 L2-约束流形()()1:infcu Sm cIu=(5)上的极小化问题等价于研究以上临界点问题。本文中.p代表空间()pNL中的范数,()pNL定义为dNpppuux=。主要结果主要结果 本文的主要结果是如下定理:张天晴 DOI:10.12677/aam.2024.134171 1820 应用数学进展 定理定理 1.1.令24qp,0b,0c,0d。那么,存在()*0,c+使得()()*0,0,.m ccc
14、m ccc=若若 此外,2*scbS=,并且泛函cI对于任何0c 都没有能量极小元,也就是说,下确界()m c不可达。本文的后续部分组织如下:在第 2 部分我们列出了一些预备知识,定理 1.1 的主要证明则在第 3 部分中给出,最后,在第 4 部分我们对本文的技术先进性和创新点进行了总结,并展望了今后的研究方向和改进方向。2.预备知识预备知识 在这一部分,我们首先收集了一些在本文后续将会频繁使用到的一些结果。引理引理 2.1.(10)令)*0,22sp,()sNuH,那么如下不等式成立:()()242424222ddd,NNNNpps NpssspsppppuxuxuxQ+(6)其中224ps
15、psNps=+,424NPsppsNpsNp+=,并且函数()Q x最优化不等式(6),且()Q x为以下分数阶非线性方程()0psQQQQ+=在N中的唯一非负径向解。引理引理 2.2.(11)令()0,1s,)1,p+使得spN,0Nx 为固定常数,sS为最佳 Sobolev 嵌入常数。根据引理 2.1 和引理 2.2,当4Ns=且21u=时,分数阶 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式(6)和分数阶 Sobolev 不等式(7)可以重新表达,也就是说,如果在(6)式中将 p 取为2p,那么分数阶Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式(6)变
16、成()()22222dd,NNpspsNppppuxuxuHQ (8)当()22NuQxQ=,这里的14pp=,()2422pppp=。类似地,分数阶 Sobolev 不等式(7)变成 ()()22422dd,.NNssNsSuxuxuH (9)张天晴 DOI:10.12677/aam.2024.134171 1821 应用数学进展 特别地,当12ssxUuS=时,其中*2suuu=,可以得到()422244ssUSU=,()242242ssSUU=。以下引理是对()m c的估计,主要思路类似于(9 Lemma 2.5,在此我们给出简略证明。引理引理 2.3.假设24qp,0d 时,()()1
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