2022年线性代数题库及答案6套.doc
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线代参考一 线性代数题库一 一. 填空题(每小题3分,满分30分) 1. 写出4阶行列式中含因子的项为_________。 2. 行列式的充分必要条件为___________。 3. 设A为方阵,满足,则_________。 4. 同阶方阵,,若,必有,则应为_______矩阵。 5. 设A为n阶方阵,有非零解,则A必有一个特征值为_________。 6. 设相似于对角阵,则_________。 7. 设向量组是向量组的一个最大无关组,则与间关系为___________。 8. 由所生成的线性空间为_________。 9. 二次型的正定性为________。 10. 若,且,则_________。 二. (8分)计算2n阶行列式 三. (8分)解矩阵方程 求 四. (10分)设向量组A: 求向量组A的秩及一个最大无关组. 五. 12分)讨论方程组的解的情况 六. (16分)求正交变换,将二次型 化为标准形,并写出其标准形. 七. (8分)设且线性无关, 证明:线性无关. 八. (8分)为n阶方阵,且与均不可逆. 则可否对角化? 2010线性代数期末试题及参考答案 一、判断题(正确填T,错误填F。每小题2分,共10分) 1. A是n阶方阵,,则有。 ( ) 2. A,B是同阶方阵,且,则。 ( ) 3.如果与等价,则的行向量组与的行向量组等价。 ( ) 4.若均为阶方阵,则当时,一定不相似。 ( ) 5.n维向量组线性相关,则也线性相关。 ( ) 二、单项选择题(每小题3分,共15分) 1.下列矩阵中,( )不是初等矩阵。 (A) (B) (C) (D) 2.设向量组线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )。 (A) (B) (C) (D) 3.设A为n阶方阵,且。则( ) (A) (B) (C) (D) 4.设为矩阵,则有( )。 (A)若,则有无穷多解; (B)若,则有非零解,且基础解系含有个线性无关解向量; (C)若有阶子式不为零,则有唯一解; (D)若有阶子式不为零,则仅有零解。 5.若n阶矩阵A,B有共同的特征值,且各有n个线性无关的特征向量,则( ) (A)A与B相似 (B),但|A-B|=0 (C)A=B (D)A与B不一定相似,但|A|=|B| 三、填空题(每小题4分,共20分) 1. 。 2.为3阶矩阵,且满足3,则=______, 。 3.向量组,,,是线性 (填相关或无关)的,它的一个极大线性无关组是 。 4. 已知是四元方程组的三个解,其中的秩=3,,,则方程组的通解为 。 5.设,且秩(A)=2,则a= 。 四、计算下列各题(每小题9分,共45分)。 1.已知A+B=AB,且,求矩阵B。 2.设,而,求。 3.已知方程组有无穷多解,求a以及方程组的通解。 4.求一个正交变换将二次型化成标准型 5. A,B为4阶方阵,AB+2B=0,矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。(1)求矩阵A的特征值;(2)A是否可相似对角化?为什么?;(3)求|A+3E|。 五.证明题(每题5分,共10分)。 1.若是对称矩阵,是反对称矩阵,是否为对称矩阵?证明你的结论。 2.设为矩阵,且的秩为n,判断是否为正定阵?证明你的结论。 线性代数试题解答 一、 1.(F)() 2.(T) 3.(F)。如反例:,。 4.(T)(相似矩阵行列式值相同) 5.(F) 二、 1.选B。初等矩阵一定是可逆的。 2.选B。A中的三个向量之和为零,显然A线性相关; B中的向量组与,,等价, 其秩为3,B向量组线性无关;C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合,C、D中的向量组线性相关。 3.选C 。由, )。 4.选D。A错误,因为,不能保证;B错误,的基础解系含有个解向量;C错误,因为有可能,无解;D正确,因为。 5.选A。A正确,因为它们可对角化,存在可逆矩阵,使得,因此都相似于同一个对角矩阵。 三、1. (按第一列展开) 2. ;(=) 3. 相关(因为向量个数大于向量维数)。 。因为,。 4. 。因为,原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量,取为,由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。 5.( 四、 1.解法一:。将与组成一个矩阵,用初等行变换求。 = 。故 。 解法二:。 ,因此。 2.解:,, 。 3.解法一:由方程组有无穷多解,得,因此其系数行列式。即或。 当时,该方程组的增广矩阵 于是,方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个基础解系,原方程组的一个特解,故时,方程组有无穷多解,其通解为, 当时增广矩阵,,此时方程组无解。 解法二:首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。 由于该方程组有无穷多解,得。因此,即。求通解的方法与解法一相同。 4.解:首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵 , 因此得到其特征值为,。 再求特征值的特征向量。 解方程组,得对应于特征值为的两个线性无关的特征向量,。 解方程组得对应于特征值为的一个特征向量。 再将,正交化为,。 最后将,,单位化后组成的矩阵即为所求的正交变换矩阵,其标准形为。 5. 解:(1)由知-1,2为的特征值。,故-2为的特征值,又的秩为2,即特征值-2有两个线性无关的特征向量,故的特征值为-1,2,-2,-2。 (2)能相似对角化。因为对应于特征值-1,2各有一个特征向量,对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量,所以有四个线性无关的特征向量,故可相似对角化。 (3)的特征值为2,5,1,1。故=10。 五、1.为对称矩阵。 证明: ===, 所以为对称矩阵。 2.为正定矩阵。 证明:由知为对称矩阵。对任意的维向量,由得, =,由定义知是正定矩阵。 线性代数参考题二 四. 填空题(每小题3分,满分30分) 1. 设都是5阶矩阵,且,则 2. 已知,则 (其中I是n阶单位阵) 3. ,已知矩阵A的秩r(A)=2,则 4.,又是的代数余子式, 则 5.若一向量组只有唯一的极大无关组,则该向量组 6.设是正定二次型, 则的取值区间为 7.设是阶正交矩阵,,则 8.设 相似于对角阵,则 9.设非齐次线性方程组的两个解为的秩为,则 的一般解 . 10.已知向量组的 秩为2,则 二.(8分)计算n阶行列式 三.(8分)求矩阵满足 四.(10分)设 求向量组的秩及其一个极大无关组. 五. (12分)问常数各取何值时, 方程组 无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解. 六. (16分)求正交变换,将二次型 化为 标准形,并写出其标准形. 七. (8分)设向量线性无关,且 证明向量组线性无关. 八. (8分)为n阶方阵,且与均不可逆。 试讨论是否相似于对角阵,并说明理由. 线性代数参考题三 一. 填空题(每小题3分,满分30分) 1. 设都是阶方阵,且则 . 2. 设是矩阵,是的转置矩阵,且的行向量组线性无关. 则秩 是 次多项式. 4.若 5.阶数量矩阵的相似矩阵是 6.若是实对称矩阵,则属于的不同特征值的特征向量一定 7.向量组线性 关. 8.设是可逆矩阵的一个特征值,则矩阵有一个特征值等于 9.设是矩阵,,则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 10.设是阶正定矩阵,则方程组的解的集合是 二.计算题(每题8分,共40分) 1. 计算阶行列式 3.用初等变换法求下列矩阵的逆 4.设中的两组基为:其中 求基到基的过渡矩阵 求 三.(10分)求下列向量组的秩和一个极大线性无关组.并说明该向量组是线性相关还是线性无关. 四.(6分)判断下面二次型是否正定二次型 五.(14分) ,求可逆矩阵,使得为对角矩阵,并且给出 线性代数参考题四 五. 填空题(每小题3分,满分30分) 11. 设 都是4维列向量,且4阶行列式 则4阶行列式______________ 12. 已知线性相关,不能由线性表示则线性 __________ 13. 设是阶矩阵 ,,是阶矩阵,,,且,则的取值范围是_______________ 4.设是43矩阵,且的秩且则_________ 5.设0是矩阵的特征值,则_____________ 6.设是正定二次型,则的取值区间为 7.矩阵对应的二次型是_______________ 8. 设 相似于对角阵,则 9.设为3阶方阵,为伴随矩阵,,则=___________ 10.设是不可逆矩阵,则____________ 六. (8分)计算行列式 三.(8分) 三阶方阵满足关系式:,且,求 四.(10分)设 求向量组的秩及其一个极大无关组. 五. (12分)问常数取何值时, 方程组 无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解. 六. (16分)求正交变换,将二次型 化为 标准形,并写出其标准形. 七. (8分)设 都是阶矩阵,且可逆,证明与有相同的特征值 八. (8分) 设向量组线性无关,向量可由向量组线性表示,而向量不能由向量组线性表示.证明:个向量必线性无关. 线性代数参考题五 一. 填空题 (每小题3分,满分30分) 1. = 2. 已知α= (0, -1 , 2)T , β=(0, -1 , 1)T , 且A =αβT , 则A4 = 3. 设A、B为4阶方阵,且=2,=81,则= 4. 设3阶方阵A的非零特征值为5,-3,则= 5. 与向量组α1= (,,,)T , α2= (,, -, -)T , α3= (, -,, -)T ,都正交的单位向量α4= 6. A是3×4矩阵,其秩rank=2, B=, 则rank= _____ 7. 设β1、β2是非齐次方程组Ax=b的两个不同的解,α是对应的齐次方程组的基础解系,则用β1 ,β2 ,α表示Ax=b的通解为 8. 向量组α1= (1, 1 , 1)T , α2= (1, 2 ,4)T , α3= (1, a , a2)T 线性无关的充要条件为a≠ 且a≠ 。 9. 设可逆方阵A的特征值为λ,则kA-1的特征值为 。 10. f(x1, x2, x3)= x12+ax22+2x32-2x1x2为正定二次型,则a的取值范围为 二.(10分)计算n阶行列式 Dn = 三'(8分)设A、B为3阶矩阵,且A2B = A + B – E , 其中A =,E为3阶单位矩阵,求矩阵B。 四.(8分)确定a、b的值,使矩阵 A=的秩为2。 五.(10分)设α1= (1, 0, 2, 1)T , α2= (1, 2, 0, 1)T , α3= (2, 1, 3, 0)T , α4= (2, 5, -1, 4)T , 求此向量组的秩及一个极大无关组。 六. (8分)设α1 ,α2 , … ,αn ,αn+1线性相关,而其中任意 n个向量均线性无关, 证明:必存在(n+1)个全不为零的数k1 ,k2 ,…, kn ,kn+1使得 k1α1 + k2α2 + … + knαn + kn+1αn+1 = 0 七、(10分)设齐次方程组 a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0 , a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0 , … … an1x1 + an2x2 + … + annxn = 0 , 的系数行列式=0,A的某一元素akj的代数余子式Akj≠0, 证明: x = (Ak1 , Ak2 , … , Akn)T为此方程组的一个基础解系。 八、(16分)求正交矩阵P,将二次型化为标准形并写出此标准形。 f(x1, x2, x3) = -x12-x22-x32+4x1x2+4x1x3-4x2x3 线性代数参考六 一.填空题(每小题3分,满分30分) 1. 设是3阶矩阵,且,其中均为3维行向量, ,则行列式 2.已知方阵满足(为常数),则 3.设,则应满足_______________. 4.设线性相关, 线性无关,则线性_______关. 5.设线性相关,则满足关系式___________ 6.设A满足,则A有特征值_____________ 7.设A为n阶方阵,且是的三个线性无关的解向量, 则的一个基础解系为______________. 8.二次型正定,则满足条件 _____________. 9.设方阵相似于对角矩阵,则__________. 10.设A是矩阵,,则________ 二.(8分)计算n阶行列式 三(8分)设 , 求矩阵,使满足下面的关系式: 四.(10分)设向量组 确定的值,使向量组的秩为2,并求一个极大线性无关组. 五. (8分)设线性方程组 的系数矩阵为A,设B为3阶方阵,已知,且,求的值. 六. (14分)设实二次型 1. 求正交变换,将二次型化为标准形. 2. 确定该二次型的正定性. 七. (8分)设列向量是一个n维实向量,已知是单位向量.令矩阵 证明:是一个对称的正交矩阵. 八.(14分)已知和是线性空间的两组基,其中 1. 求由基到基的过渡矩阵A. 2. 设向量在基下的坐标为,求在基下的坐标. 线性代数参考题一答案: 填空题(每小题3分,满分30分) 1.与;2.;3.;4.可逆阵或满秩阵或非奇异阵;5.特征根为0;6.;7.;8.;9.负定;10. 七. 陈治中版《线性代数》例题1.5.7(p.26)答案: 八. 令 则 九. 令,则 因而,构成一个极大无关组,且 十. 陈治中版《线性代数》习题4.6(p.121)答案:p.211 十一. 将二次型化成矩阵 ,显然为实对称阵,可以正交对角化的,即 由特征方程,得, 当 对应的特征向量为,标准化为; 当 对应的特征向量为和 正交化,标准化为 ,标准化 因而,且 十二. 令 由 以及线性无关得线性无关。 十三. 由已知有 及 ,显然有特征根分别为0和。故此可对角化。 线性代数参考题二答案: 当 当 单位化得正交矩阵 所以得到标准型: 线性代数参考题三答案: 二. 1);2);3); 4) 5) 三. 四. 五.特征根为: 当,当, 故 线性代数参考题四答案: 四. 线性代数参考题五答案: 二. 五. ; 且 线性代数参考题六答案: 一.填空题答案 1.-1;2. ;3.;4.线性相关;5.;6. 1;7.;8.;9.;10. 2 二. 居余马《线性代数》$1.2 例8(p.17):将按第一行展开,得 递推公式改写为 而 ,,于是有 ,整理得 将上述等式两端分别乘以,然后再相加,得到 即得,整理得 三.由于,再由已知得,,再由可得到 四. 令,则对其进行行的初等变换有 ,由得,其中一个极大无关组为: 五. 由以及知必为奇异阵,即(否则若为非奇异阵,必有,此与矛盾),而 ,得 六. 设此实二次型对应的矩阵为,则有 ,令得特征根为、、。 当时,特征向量为,标准化得; 当时,特征向量为,标准化得; 当时,特征向量为,标准化得; 令,则有,且,该二次型不是正定的。 七. 陈治中《线性代数》习题3.25(p.106) 由于,故此是对称阵,另外, 因此也是正交阵。 八.32学时不作为要求。 28- 配套讲稿:
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