2022年线性代数试卷及答案6套.doc

线性代数试卷及答案6套．

试卷(一):

一． 填空题（每小题4分，共20分）
1． 已知正交矩阵使得，则
2． 设为阶方阵，为的个特征值，则
3． 设是矩阵，是维列向量，则方程组有无数多个解的充分必要条件是：
4． 若向量组的秩为2,则
5． 则的全部根为:_________.
二． 选择题 （每小题4分，共20分）
1.行列式的值为( ).

A. 1 B. -1
C. D.
2. 对矩阵施行一次行变换相当于( ).
A. 左乘一个阶初等矩阵 B. 右乘一个阶初等矩阵
C. 左乘一个阶初等矩阵 D. 右乘一个阶初等矩阵
3. 若为矩阵, 则( ).
A. 是维向量空间 B. 是维向量空间
C. 是维向量空间 D. 是维向量空间
4. 若阶方阵满足, 则下列命题哪一个成立 ( ).
A. B.
C. D.
5. 若是阶正交矩阵,则下列命题哪一个不成立( ).
A. 矩阵为正交矩阵 B. 矩阵为正交矩阵
C. 矩阵的行列式是 D. 矩阵的特征值是

三. 解下列各题（每小题6分,共30分）
1. 若为3阶正交矩阵, 为的伴随矩阵, 求
2. 计算行列式
3. 设求矩阵
4. 求向量组的一个 最大无关组.
5. 求向量在基下的坐标.
四. (12分) 求方程组

的通解(用基础解系与特解表示).
五.(12分) 用正交变换化下列二次型为标准型, 并写出正交变换矩阵

六. 证明题(6分)
设是线性方程组对应的齐次线性方程组的一个
基础解系,是线性方程组的一个解, 求证线性无关.

试卷（二）：

一．计算下列各题：（每小题6分，共30分）
（1）
（2）求其中

（3）已知向量组线性相关,求
(4) 求向量在基下的坐标.
(5) 设, 求的特征值.
二.(8分) 设,且求矩阵B.
三. (8分) 计算行列式:

四. (8分) 设有向量组
求该向量组的秩以及它的一个最大线性无关组.

五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.

六. (8分) 求出把二次型化为标准形的正交变换,并求出使为正定时参数的取值范围.
七. (10分) 设三阶实对称矩阵的特征值为3(二重根)、4(一重根),是的属于特征值4的一个特征向量,求
八. (10分) 当为何值时,方程组

有惟一解、无穷多解、无解?
九．(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题
(1) 设是可逆矩阵, 证明也可逆, 且
(2) 设是非零向量,证明是矩阵的特征向量.

试卷(三):

一. 填空题（共20分）

1. 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组有唯一解的充分必要条件是：
2. 已知为单位矩阵, 若可逆矩阵使得 则当可逆时,
3. 若t为实数, 则向量组α=（0，4，t），β=（2，3，1），γ=（t，2，3+t）的秩为:
4. 若A为2009阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 则=
5. 设A为n阶方阵，是的个特征根，则 =

二. 选择题（共20分）

1. 如果将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为将矩阵的第i列乘k加到第j列相当于把A：
A, 左乘一个 B，右乘一个
C． 左乘一个 D，右乘一个

2. 若A为m×n 矩阵，是维非零列向量，。集合, 则
A， 是维向量空间， B， 是n-r维向量空间
C, 是m-r维向量空间， D， A，B，C都不对

B， 若n阶方阵A满足 ，则以下命题哪一个成立
A， ， B，
C. ， D，

C， 若A是2n阶正交矩阵，则以下命题哪一个一定成立：
A，矩阵为正交矩阵， B，矩阵 2为正交矩阵
C, 矩阵为正交矩阵， D，矩阵 为正交矩阵
D， 如果n阶行列式的值为-1,那么n的值可能为：
A, 2007， B，2008
C, 2009, D，2000

三. 判断题 (每小题4分, 共12分)
(1) 对线性方程组的增广矩阵做初等变换,对应的线性方程组的解不变. ( )
(2) 实对称矩阵的特征值为实数. ( )
(3) 如果矩阵的行列式为零, 那么这个矩阵或者有一行(列)的元素全为零, 或者有两行(列)的元素对应成比例. ( )

四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）
1．求向量，在基下的坐标.
2．设计算

五.(10分) 求矩阵列向量组生成的子空间的一个标准正交基.
六. 证明题（6分）设是m行n列矩阵, 如果线性方程组对于任意m维向量都有解，证明的秩等于m.
七、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵
.
八、（6分）设矩阵，都是正定矩阵，证明矩阵也是正定矩阵.

试卷(四):

一. 填空题（每小题4分，共20分）
1.设是矩阵,那么的秩不超过的充分必要条件是 ___________.
2.已知为单位矩阵，若,则当可逆时,
3. 若向量组的秩为2时, .
4. 若为2009阶正交矩阵, 为的伴随矩阵,则
5. 设为阶方阵,是的个特征值,则_________.
二. 选择题 （每小题4分，共20分）
1. 如果将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为那么的逆矩阵是：
A, B，
C． D，

2. 若A为m×n 矩阵，,令集合, 则
A, 是空集; B， 只含一个元素;
C, 含有两个以上元素 D， A，B，C都不对

3. 若n阶方阵A满足 ，则以下命题哪一个成立
A， ， B，
C. ， D，

4. 若A,B都是n阶对称矩阵，则以下命题哪一个不一定成立：
A，矩阵为对称矩阵， B，矩阵为对称矩阵
C, 矩阵为对称矩阵， D，矩阵为对称矩阵
5. 如果n(n>1)阶行列式的第i行第j列元素的代数余子式的值为-1,那么i+j-n的值：
A, 为0， B，为1
C, 为2, D，无法确定.

三. 判断题 (每小题4分, 共12分)
(1) 对一个线性方程组做初等变换,线性方程组的解不变. ( )
(2) 正交矩阵的特征值是实数. ( )
(3)一个可逆矩阵A与它的转置矩阵的乘积是正定的. ( )

四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）
1．求单位向量，它在基下的坐标向量也是.
2．设n阶方阵计算

五.(10分) 求矩阵的逆矩阵.
六. 证明题（6分）设是m行n列矩阵,证明
七、（6分）证明任何一个方阵都可以表为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.
八、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵

试卷(五):

一． 填空题（每小题4分，共20分）
1.设是矩阵,那么可逆的条件是 ___________.
2.矩阵是二次型的矩阵的条件是 _________________.
3.设则 .
4若为2010阶正交矩阵, 则
5将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵记为设是的个特征值， 则= .
二. 选择题 （每小题4分，共20分）
1. 如果将单位矩阵的第i行乘k得到的矩阵设为那么的逆矩阵是：
A, B，
C, D，

2. 若A为m×n 矩阵，令集合, 则
A, 是空集; B， 只含一个元素;
C, 含有两个以上元素 D， 是非空集合.

3. 若n阶方阵满足 ，则以下命题哪一个成立
A， ， B， 是可逆矩阵
C. ， D，

4. 若A是n阶矩阵，则以下命题哪一个不成立：
A，矩阵为对称矩阵， B，矩阵为对称矩阵，
C, 矩阵为对称矩阵， D，矩阵为对称矩阵
5. 如果n(n>1)阶矩阵的行向量线性无关，那么：
A, 的行列式为0， B，的列向量线性无关
C, 的秩为0, D，以为系数矩阵的线性方程组有非零解.

三. 判断题 (每小题4分, 共12分)
(1) 已知是阶矩阵，如果，那么. ( )
(2) 如果一个向量组线性无关，那么它的任意一部分向量也线性无关. ( )
(3) 如果一个矩阵A是正定的, 那么它的行列式大于0. ( )

四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）
1．求所有向量，它与是正交的.
2．设n阶方阵计算.

五.(10分) 求矩阵的伴随矩阵.
六. 证明题（6分） 设是n阶方阵,如果可逆,证明与相似.
七、（6分）证明任何一个秩为2的正惯性指数为1的二次型都可以表为两个一次多项式的乘积.
八、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵

试卷(六):

一.填空题（每小题4分，共20分）
1.设是矩阵,如果对于任意的维列向量,线性方程组总有解,那么的秩与的关系一定是 ___________.
2.如果矩阵是阶实对称矩阵,那么它的特征根一定为_____________.
3.设则 .
4若为2011阶正交矩阵, 则它的伴随矩阵是__________.
5将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵记为这个矩阵的逆矩阵是= .

二. 选择题 （每小题4分，共20分）
1. 如果将单位矩阵的第i行乘k得到的矩阵设为那么是正定矩阵的充要条件是：
A, B，
C, D，

2. 若A为m×n 矩阵，且可逆, 则
A, ; B， ;
C, 也可逆 D， 以上都不对.

3. 若A为n 阶可逆矩阵，则以下命题哪一个成立
A， ， B，
C. ， D，

4. 若A是n阶矩阵，则以下哪一个是反对称矩阵：
A，， B，，
C, ， D，
5. 如果以为系数矩阵的线性方程组有非零解,那么：
A, 的行列式为0， B，的列向量线性无关
C, 的行向量线性无关, D，以上都不对.

三. 判断题 (每小题4分, 共12分)
(1) 已知是阶矩阵，如果相似，那么它们的特征值相同. ( )
(2) 如果一个矩阵的行向量组是维空间的 一组基, 那么它们的列向量组也是维空间的一组基. ( )
(3) 如果一个对称矩阵A是正定的, 那么它的所有的子式大于0. ( )

四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）
1．求的行向量组到列向量组的过渡矩阵.
2．设是阶反对称矩阵,当时,计算.

五.(10分) 求常数使得矩阵的秩是2.
六. 证明题（6分） 设是n阶可逆实数矩阵,证明的特征值大于0..
七、（6分）证明对于任何一个n阶矩阵，总存在正整数,使得可逆.
八、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵

试卷(一)解答:

一. 1. 2. 3.
4. 5. 1,2,-3.
二. 1. D 2. A 3. D 4. D 5. D
三.
1.
2. .
3. 由有
.
4.
而向量组: 线性无关,可得 故 ，，为一个最大线性无关组.
5.
令 ，
则有：
解得：
ω的坐标为
四 解：
原方程组同解下面的方程组：

即：
令,求解得：（1，1，0，0，0）=η。
齐次方程组基础解系为：
。
五．解：

当时，由，求得基础解系：
当时，由，求得基础解系：
当时，由，求得基础解系：

单位化：
令，则

若则

六. 证明: 设
则:
于是
即 但 因此
从而有
又 线性无关, 因此 于是
故有 线性无关.

试卷(二)部分解答:

一．（3）已知向量组线性相关,求
解: 线性相关可求出

二.(8分) 设,且求矩阵B.
解: ,
可逆,且,
于是

五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.

(与76页例4.17类似作)
六. (8分) 求出把二次型化为标准形的正交变换,并求出使为正定时参数的取值范围.
解: 二次型的矩阵为
由
得特征值
对
可得的一个基础解系为:
正交化: 取
对
可得的一个基础解系为:

将分别单位化,得:
取正交变换 ,则此正交变换将二次型化为标准形:
正定

七. (10分) 设三阶实对称矩阵的特征值为3(二重根)、4(一重根),是的属于特征值4的一个特征向量,求
解: 设的属于特征值3的特征向量为,由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交, 则有 即: 此方程的一个基础解系为: 则为的属于特征值3的两个线性无关的特征向量,于是:

=
八. (10分) 当为何值时,方程组

有惟一解、无穷多解、无解?

解: 记,
系数行列式
(1). 当 时, 由克莱姆法则知方程组有惟一解.
(2). 当 时, 于是
方程组无解.
(3). 当 时,

(i) 当时, 方程组有无穷多解.
(ii) 当时, 方程组无解.
九．(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题
(1) 设是可逆矩阵, 证明也可逆, 且
(2) 设是非零向量,证明是矩阵的特征向量.
证明:
(1) 由于, 则存在可逆矩阵 使得 于是由可逆知也可逆,且
(2) 设 记

由 知为的属于的特征向量.

试卷(三):

三. 填空题（共20分）

6. 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组有唯一解的充分必要条件是：rank(A)=rank(A B)=n.
7. 已知为单位矩阵, 若可逆矩阵使得 则当可逆时, -27E. (利用)
8. 若t为实数, 则向量组α=（0，4，t），β=（2，3，1），γ=（t，2，3+t）的秩为: 3
9. 若A为2009阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 则=1
10. 设A为n阶方阵，是的个特征根，则 = 0

四. 选择题（共20分）

6. 如果将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为将矩阵的第i列乘k加到第j列相当于把A：(B)
A, 左乘一个 B，右乘一个
C． 左乘一个 D，右乘一个

7. 若A为m×n 矩阵，是维非零列向量，。集合, 则 (D)
A， 是维向量空间， B， 是n-r维向量空间
A， 是m-r维向量空间， D， A，B，C都不对

8. 若n阶方阵A满足 ，则以下命题哪一个成立 (B)
A， ， B，
C. ， D，

9. 若A是2n阶正交矩阵，则以下命题哪一个一定成立：(A)
A，矩阵为正交矩阵， B，矩阵 2为正交矩阵
C, 矩阵为正交矩阵， D，矩阵 为正交矩阵
10. 如果n阶行列式的值为-1,那么n的值可能为：(C)
A, 2007， B，2008
C, 2009, D，2000

三. 判断题 (每小题4分, 共12分)
(1) 对线性方程组的增广矩阵做初等变换,对应的线性方程组的解不变. ( 错 )
(2) 实对称矩阵的特征值为实数. ( 对 )
(3) 如果矩阵的行列式为零, 那么这个矩阵或者有一行(列)的元素全为零, 或者有两行(列)的元素对应成比例. ( 错 )

四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）
1．求向量，在基下的坐标.（坐标为: ）
2．设计算.
解:

五.(10分) 求矩阵列向量组生成的子空间的一个标准正交基.
解: 先求矩阵列向量组生成的子空间的一个基.由于

可知的前三列线性无关,为子空间的一个基.记
将其正交化.令

再单位化,令

则 为所求标准正交基.

六. 证明题（6分）设是m行n列矩阵, 如果线性方程组对于任意m维向量都有解，证明的秩等于m.
证明: 设, 则 为m维向量组. 由于线性方程组对于任意m维向量都有解, 现分别取等于m维基本单位向量: , 可知向量组可由向量组线性表示, 又向量组可由向量组线性表示, 于是向量组与向量组等价, 故

七、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵
.
解: 设

对特征值由，求得基础解系：
对特征值，由，求得基础解系：
对特征值，由，求得基础解系：
已两两正交, 再单位化：

令，则为正交阵, 且.

正交变换为将二次型化为标准形:

八、（6分）设矩阵，都是正定矩阵，证明矩阵也是正定矩阵.
证明: 由于矩阵，都是正定矩阵,则对于任一有

从而 故是正定矩阵.

试卷(四):

三. 填空题（每小题4分，共20分）
1.设是矩阵,那么的秩不超过的充分必要条件是:的阶子式全为0.
2.已知为单位矩阵，若,则当可逆时,
3.若向量组的秩为2时,0或
4. 若为2009阶正交矩阵, 为的伴随矩阵,则
5. 设为阶方阵,是的个特征值,则0.
四. 选择题 （每小题4分，共20分）
6. 如果将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为那么的逆矩阵是：(D).
A, B，
a) D，

7. 若A为m×n 矩阵，,令集合, 则(B)
A, 是空集; B， 只含一个元素;
C, 含有两个以上元素 D， A，B，C都不对

8. 若n阶方阵A满足 ，则以下命题哪一个成立(B)
A， ， B，
C. ， D，

9. 若A,B都是n阶对称矩阵，则以下命题哪一个不一定成立：(B)
A，矩阵为对称矩阵， B，矩阵为对称矩阵
C, 矩阵为对称矩阵， D，矩阵为对称矩阵
10. 如果n(n>1)阶行列式的第i行第j列元素的代数余子式的值为-1,那么i+j-n的值：(B) (因(i,j)元素必在次对角线上)
A, 为0， B，为1
C, 为2, D，无法确定.

三. 判断题 (每小题4分, 共12分)
(1) 对一个线性方程组做初等变换,线性方程组的解不变. ( 对 )
(2) 正交矩阵的特征值是实数. ( 错 )
(3)一个可逆矩阵A与它的转置矩阵的乘积是正定的. ( 对 )

四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）
1．求单位向量，它在基下的坐标向量也是.
解: 设,由题意, 即

于是有

解得 又由为单位向量知 因此 故所求向量 或

2．设n阶方阵计算

解: (将第2至n行加到第一行)

五.(10分) 求矩阵的逆矩阵.

解:

于是

六. 证明题（6分）设是m行n列矩阵,证明
证明: 设
则
设是A的一个最大线性无关组，是B的一个最大线性无关组,则，
由于可由线性表示，可由线性表示，
可由，线性表示，
从而
即

七、（6分）证明任何一个方阵都可以表为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.

证明: 设为任一方阵, 记

由于

则为对称矩阵, 为反对称矩阵, 而 故得证.

八、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵

解答见课件.

试卷(五):

一. 填空题（每小题4分，共20分）
1.设是矩阵,那么可逆的条件是:
2.矩阵是二次型的矩阵的条件是: .
3.设则.
4．若为2010阶正交矩阵, 则
5．将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵记为设是的个特征值， 则= 1 .
二. 选择题 （每小题4分，共20分）
6. 如果将单位矩阵的第i行乘k得到的矩阵设为那么的逆矩阵是：A.
A, B，
C, D，

7. 若A为m×n 矩阵，令集合, 则D.
A, 是空集; B， 只含一个元素;
C, 含有两个以上元素 D， 是非空集合.

8. 若n阶方阵满足 ，则以下命题哪一个成立B.
A， ， B， 是可逆矩阵
C. ， D，

9. 若A是n阶矩阵，则以下命题哪一个不成立：B.
A，矩阵为对称矩阵， B，矩阵为对称矩阵，
C, 矩阵为对称矩阵， D，矩阵为对称矩阵
10. 如果n(n>1)阶矩阵的行向量线性无关，那么：B.
A, 的行列式为0， B，的列向量线性无关
C, 的秩为0, D，以为系数矩阵的线性方程组有非零解.

三. 判断题 (每小题4分, 共12分)
(1) 已知是阶矩阵，如果，那么. ( 错 )
(2) 如果一个向量组线性无关，那么它的任意一部分向量也线性无关. ( 对 )
(3) 如果一个矩阵A是正定的, 那么它的行列式大于0. ( 对 )

四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）
1．求所有向量，它与是正交的.
解: 设,由题意知 即

解得 故所求向量 ,为任意常数.

2．设n阶方阵计算.

解: (将第2至n行加到第一行)

五.(10分) 求矩阵的伴随矩阵.

解:先求 的逆矩阵.
由于

,

于是, 所求伴随矩阵

六. 证明题（6分） 设是n阶方阵,如果可逆,证明与相似.
证明: 由于可逆, 利用可知与相似.

七、（6分）证明任何一个秩为2的正惯性指数为1的二次型都可以表为两个一次多项式的乘积.

证明: 设此二次型为:, 其中,由于它的秩为2,且正惯性指数为1,由惯性定理,可作一可逆变换: 将其化为规范形
由可设 则有
于是

为两个一次多项式的乘积.

八、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵

解: 设

对特征值由，求得基础解系：
将其正交化:

对特征值，由，求得基础解系：
再单位化：

令，则为正交阵, 且.

正交变换为将二次型化为标准形:

试卷(六):

一. 填空题
1.
2. 实数.
3. 5.
4．
5．.
二. 选择题
1. A 2. B 3. B 4. C 5. D
三. 判断题
(1) 正确 (2) 正确 （3) 错误

四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）
1．解: 行向量组为：,列向量组为：.设过渡矩阵为 则

于是

2．解: 由A为反对称矩阵，知 于是

于是

五.解:对 进行行初等变换

要的秩为2，必有
的秩为1，于是的任何两行成比例，即：

故

六. 证明: 对任何
由于可逆，当时于是 故为正定二次型，
因此 为正定矩阵，从而的特征值大于0.

七、证明: 令 设的根中模的最大者为，取正整数 则 于是可逆.

八、解: 设

对特征值由，求得基础解系：

对特征值由，求得基础解系：

将其正交化:

再单位化：

令，则为正交矩阵, 且.

正交变换为将二次型化为标准形: