3-概率统计试卷易考卷13-14-1A答案.doc

XXXX大学试卷标准答案及评分标准专用纸

2013 ~ _2014__学年第 1 学期 概率论与数理统计 课程试卷A

标准答案及评分标准 A卷
专业___ 级__ ______ 班级

一、单项选择题：每小题4分，共20分. 请将各题号对应的正确选项代号填写在下列表格内.

题号
1
2
3
4
5
选项
D
B
A
D
D

1. 若两个事件A和B同时出现的概率P(AB)=0, 则下列结论正确的是( ).
(A) A和B互不相容. (B) AB是不可能事件.
(C) P(A)=0或P(B)=0.. (D) 以上答案都不对.
解 本题答案应选(D).
2. 在5件产品中, 只有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7为概率的事件是( )．
(A) 都不是一等品. (B) 至多有1件一等品.
(C) 恰有1件一等品. (D) 至少有1件一等品.
解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为, 没有一等品的概率为, 将两者加起来即为0.7. 答案为（B）.
3. 设事件A与 B相互独立, 且0<P(B)<1, 则下列结论中错误的是( ).
(A) A与B一定互斥. (B) .
(C) . (D) .
解 因事件A与B独立, 故也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及一般加法概率公式可知(C)和(D)也是正确的. 从而本题应选(A).
4. 设X与Y相互独立，且都服从, 则下列各式中正确的是( ).
(A) . (B) .
(C) . (D) .
解 注意到.由于X与Y相互独立,所以
. 选(D).
5. 设(X, Y)服从二元正态分布, 则下列结论中错误的是( ).
(A) (X, Y)的边缘分布仍然是正态分布.
(B) X与Y相互独立等价于X与Y不相关.
(C) (X, Y)的分布函数唯一确定边缘分布函数.
(D) 由(X, Y)的边缘概率密度可完全确定(X, Y)的概率密度.
解 仅仅由(X, Y)的边缘概率密度不能完全确定(X, Y)的概率密度. 选(D)

二、 填空题：每空4分，共20分.请将各题号对应的正确答案填写在下列表格内.

题号
1
2
3
4
5
答案

6

1. 设A, B, C是三个随机事件. 事件：A不发生, B, C中至少有一个发生表示为(空1) .
2. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同. 已知至少成功一次的概率为, 则每次试验成功的概率为(空2) ..
解 设每次试验成功的概率为p, 由题意知至少成功一次的概率是，那么一次都没有成功的概率是. 即, 故 =.
3. 设随机变量X与Y的相关系数为, , 则=(空3) .
解

4. 设总体,是从该总体中抽取的容量100的样本, 则统计量 (空4) .
解 因为总体, 而是从该总体中抽出的简单随机样本, 由正态分布的性质知, 样本均值也服从正态分布, 又因为
,
而 .
所以 .
5. 设总体的均值为0, 方差存在但未知, 又为来自总体的样本, 为的无偏估计. 则常数=(空5) .
解 由于
,
所以k=时为的无偏估计.
三、(10分) 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量分别占全厂总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查.
　 (1) 求这件产品是次品的概率;
(2) 已知抽得的一件是次品, 问此产品来自乙车间的概率是多少？
解 设A表示“取到的是一件次品”, (i=1, 2, 3)分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙工厂”. 易知, 是样本空间S的一个划分, 且
，
,.…………………4分
(1) 由全概率公式可得

.…………………………………………………3分
(2) 由贝叶斯公式可得
.…………………………3分
四、(10分) 已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为. 试确定常数c, 并计算条件概率.
解 由离散型随机变量的分布律的性质知，

所以 .………………………………………………………………………………………………4分
所求概率为
P{X<2| X }=.…………………………6分

五、(10分) 随机变量(X,Y)的概率密度为

求: (1) ；(2) 关于X的边缘分布和关于Y的边缘分布；(3) X与Y是否独立？并说明理由.
解 (1) ≤4}
. 4分
(2) 当时, ;
当x≤0时或x≥2时, .
故 2分
当2<y<4时,;
当≤2时或≥4时, .
故 2分
(3) 因为,所以X与Y不相互独立. 2分
六、(10分)游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第分钟、第分钟和第分钟从底层起运行. 假设一游客在早八点的第X分钟到达底层侯梯处, 且X在区间[0, 60]上服从均匀分布. 求该游客平均等候电梯时间.
解 已知X在[0,60]上服从均匀分布, 其概率密度为
……………………….……………2分
记Y为游客等候电梯的时间, 则
……………………….……………4分
因此E(Y)=E[g(X)]=

=11.67(分钟).. ………………………………………………………………………………4分
七、(10分)设总体的概率密度为

其中θ>-1是未知参数, X1,X2,…,Xn 是来自总体的容量为n的简单随机样本. 求: (1) 的矩估计量；(2) θ的极大似然估计量.
解 总体 X 的数学期望为
.
令, 即, 得参数θ的矩估计量为. 4分
设x1, x2,…, x n是相应于样本X1, X 2,… , X n的一组观测值, 则似然函数为
2分
当0<xi<1(i=1,2,3,…,n)时, L>0且 ,令 =0, 得θ的极大似然估计值为,而θ的极大似然估计量为. 4分
八、(10分) 从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量, 算得平均值11958, 样本标准差．设发热量服从正态分布. 取显著性水平α=0.05, 问是否可认为该试验物发热量的期望值为12100? 并给出检验过程.
解 提出假设 H0: μ=μ0=12100; H1:μ≠μ0 . …………………………………………………2分
对于α=0.05, 选取检验统计量, 拒绝域为 |t|>=t0.025(23)=2.0687……………2分
代入数据n=24, =11958, s=316, 得到
>2.0687. ……………2分
所以拒绝原假设, 不能认为该试验物发热量的期望值为12100. ……………………………………2分

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