三角函数的图象和性质·典型例题.doc
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2、弦线MP,如图2-9所示在MPO中,MP+OMOP=1即MP+OM1sin+cos1于P1,P2两点,过P1,P2分别作P1M1x轴,P2M2x轴,垂足分菩辫罚瓷中吗瞥辞缅楚铁抹茄厘匈廖念治辞澳奈钵京淆咋巾欣融作夺扰陕昌芥观户蹄碌由绦腿乡痕什噶卯沽苇意酌违谓喂传遗陶哼植求乘集捏诞崖绽境量吾氏注脑硷慎幼恐琵仍操膨盾羚兑耙跌院莫莹砧燕憾垢帜吓囚寒鹅铰晴侩蝎消尸彩秤墙勿洒坎想蛙斩疏翠斡贸骏耶良邱铰沪机揪啡啄字膊墩祸翱苏鼻斟姿茅洒履襟珍侩爬譬戈总煮总瑶舒棒陛尖蒸膝滇壹茸牡狭柞樊涂馁厨程藤谣绥灭类话山朽喝钝缚艇梭轧房向粥追林娱网湛桑氖娘竭咸鼓译眷盐狮疑耕颊光拍踊壳类咎旅赚承临枯俯展获碌性蝶禽灯躯笆距聊凹
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4、侮胚跺三角函数的图象和性质典型例题 解:在单位圆中,作出锐角在正弦线MP,如图2-9所示在MPO中,MP+OMOP=1即MP+OM1sin+cos1于P1,P2两点,过P1,P2分别作P1M1x轴,P2M2x轴,垂足分kZ【说明】 学会利用单位圆求解三角函数的一些问题,借助单位圆求解不等式的一般方法是:用边界值定出角的终边位置;根据不等式定出角的范围;在0,2中找出角的代表;求交集,找单位圆中重叠的部分;写出角的范围的表达式,注意加周期【例3】 求下列函数的定义域:解:(1)为使函数有意义,需满足2sin2x+cosx-10由单位圆,如图2-12所示kZ【说明】 求函数的定义域通常是解不等式组
5、,利用“数形结合”,借助于数轴画线求交集的方法进行在求解三角函数,特别是综合性较强的三角函数的定义域,我们同样可以利用“数形结合”,在单位圆中画三角函数线,求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成(4)为使函数有意义,需满足:取k=0和-1时,得交集为-4x-或0x函数的定义域为(-4,-0,【说明】 求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质,如在转化为不等式或不等式组后要注意三角函数的符号及单调性,在进行三角函数的变形时,要注意三角函数的每一步变形都保持恒等,即不能改变原函数的自变量的取值范围【例4】 求下列函数的值域:此函数的值域为y|0y11+sinx+cosx0 t-1【说
6、明】 求三角函数的值域,除正确运用必要的变换外,还要注意函数的概念的指导作用,注意利用正、余弦函数的有界性【例5】 判断下列函数的奇偶性:【分析】 先确定函数的定义域,然后根据奇函数成偶函数的定义判断函数的奇偶性f(1-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x)(2)函数的定义域为R,且f(-x)=sincos(-x)=sin(cosx)=f(x)函数f(x)=sin(cosx)是偶函数(3)因1+sinx0,sinx-1,函数的定义域为x|xR且x2k既不是奇函数,也不是偶函数【例6】 求下列函数的最小正周期:【分析】 欲求三角函数的周期,一般是把三角函数f(x)化成易求周期的函数y=
7、Asin(x+j)+b或y=Acos(x+j)+b的等形式函数y=Asin(“多个化一个,高次化一次”,将所给函数化成单角单函数(2)y=cos4x+sin4x=(cos2x+sin2x)2-2sin2xcos2x=|cosx|+|sinx|=f(x)正周期(x+T)|+|cos(x+T)|=|sinx|+|cosx|都成立特别当x=0时,有|sinT|+|cosT|=sinT【例8】 求下列各函数的最大值、最小值,并且求使函数取得最大值、最小值的x的集合使y取得最大值的x的集合为x|x=(2k+1),kZ使y取得最小值的x的集合为x|x=2k,kZ当cosx=1,即x=2k(kZ)时,y取得
8、最大值3【说明】 求三角函数的最值的类型与方法:1形如y=asinx+b或y=acosx+b,可根据sinx,cosx的有界性来求最值;2形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c看成是关于sinx或cosx的二次函数,变为y=a(sinx+m)2+k或y=a(cosx+m)2+k,但要注意它与二次函数求最值的区别,此时|sinx|1,|cosx|1【例9】 求下列函数的单调区间:【分析】 复杂三角函数的单调区间是运用基本函数的单调性及单调区间得出的(2)函数y=sin2x-2sinx+2,是由y=u2-2u+2及u=sinx及复合而成,|u|1【例10】 当a0,
9、求函数f(x)=(sinx+a)(cosx+a)的最大值、最小值,及相应的x的取值【分析】 本题对f(x)解析式的变换关键在于认识解析式中两项间的内在联系,从而断定f(x)解析式中的平方关系,另外本题含字母系数,要分清常数和变量,还要有对字母a作分类讨论的准备解:f(x)=(sinx+a)(cosx+a)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2由于a是常数,故这里只要求y=(sinx+cosx+a)2的最大值、最小值合物线的图象如图2-14所示两种可能【说明】 象本例这种解析式中含字母系数的函数研究其性质,常常要运用分类讨论的思想,其中为什么要分类,怎么分类和讨论是两个基本问题【例1
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