2022年线性代数与几何测试卷4套统考题及答案.doc
《2022年线性代数与几何测试卷4套统考题及答案.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年线性代数与几何测试卷4套统考题及答案.doc(30页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
线性代数与几个测试卷4套统考题及答案 试卷(一): 一. 填空题(共20分) 1.若是6阶方阵的伴随矩阵,且_______. 2. 设,则 3. 设是的子空间,则V 的维数是__________. 4. 对称矩阵A 的全部特征值为4,-5,3,2,若已知矩阵为正定矩阵,则常数 必须大于数值____________. 5. 已知阶矩阵,则矩阵的逆是 __________________. 二.选择题(共20分) 1. 若是 阶方阵, 下列等式中恒等的表达式是( ) (A) ; (B) ; (C); (D) . 2. 若为阶方阵,则为正交矩阵的充分必要条件不是 ( ) (A) 的列向量构成单位正交基; (B) 的行向量构成单位正交基; (C) ; (D) 3. 若是空间的一个维子空间,是的一组基;是空间的一个维子空间, 是的一组基,且则:( ) (A) 向量组可以由向量组线性表示; (B) 向量组可以由向量组线性表示; (C) 向量组与向量组可以相互线性表示; (D) 向量组与向量组不能相互线性表示. 4. 若是实对称方阵A的两个不同特征根, 是对应的特征向量,则以下命题哪一个不成立 ( ) (A) 都是实数; (B) 一定正交; (C) 有可能是的特征向量; (D) 有可能是的特征根. 5. 已知为阶方阵,且非齐次线性方程组的个线性无关解为 则的通解为( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) . 三. 解下列各题 (共25分) 1. 若为3阶方阵,且, 求: . 2. 设 ,求矩阵. 3. 计算向量在基下的坐标. 4. 设向量组 求向量组的一个最大线性无关组. 5. 利用分块矩阵方法,计算的逆矩阵. 四. 证明题 (8分) 设维向量组和向量组有关系 问维向量组和向量组是否同秩? 证明你的结论. 五. (8分) 二次型 通过正交变换, 可将此二次型化为标准形求参数及所用正交变换. 六. (8分) 求线性方程组 的通解. 七.(6分) 解矩阵方程,并写出解方程时初等矩阵的变换过程 八. (5分) 设是4阶方阵,且的特征根互不相同,证明: (1) 方阵有四个线性无关的特征向量. (2) 方阵可以对角化. 试卷(二): 一.计算下列各题:(每小题6分,共30分) (1) (2)求其中 (3)已知向量组线性相关,求 (4) 求向量在基下的坐标. (5) 设, 求的特征值. 二.(8分) 设,且求矩阵B. 三. (8分) 计算行列式: 四. (8分) 设有向量组 求该向量组的秩以及它的一个最大线性无关组. 五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系. 六. (8分) 求出把二次型化为标准形的正交变换,并求出使为正定时参数的取值范围. 七. (10分) 设三阶实对称矩阵的特征值为3(二重根)、4(一重根),是的属于特征值4的一个特征向量,求 八. (10分) 当为何值时,方程组 有惟一解、无穷多解、无解? 九.(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题 (1) 设是可逆矩阵, 证明也可逆, 且 (2) 设是非零向量,证明是矩阵的特征向量. 试卷(三): 一. 填空题(每小题4分,共20分) 1. 已知正交矩阵使得,则 2. 设为阶方阵,为的个特征值,则 3. 设是矩阵,是维列向量,则方程组有无数多个解的充分必要条件是: 4. 若向量组的秩为2,则 5. 则的全部根为:_________. 二. 选择题 (每小题4分,共20分) 1.行列式的值为( ). A. 1 B. -1 C. D. 2. 对矩阵施行一次行变换相当于( ). A. 左乘一个阶初等矩阵 B. 右乘一个阶初等矩阵 C. 左乘一个阶初等矩阵 D. 右乘一个阶初等矩阵 3. 若为矩阵, 则( ). A. 是维向量空间 B. 是维向量空间 C. 是维向量空间 D. 是维向量空间 4. 若阶方阵满足, 则下列命题哪一个成立 ( ). A. B. C. D. 5. 若是阶正交矩阵,则下列命题哪一个不成立( ). A. 矩阵为正交矩阵 B. 矩阵为正交矩阵 C. 矩阵的行列式是 D. 矩阵的特征值是 三. 解下列各题(每小题6分,共30分) 1. 若为3阶正交矩阵, 为的伴随矩阵, 求 2. 计算行列式 3. 设求矩阵 4. 求向量组的一个 最大无关组. 5. 求向量在基下的坐标. 四. (12分) 求方程组 的通解(用基础解系与特解表示). 五.(12分) 用正交变换化下列二次型为标准型, 并写出正交变换矩阵 六. 证明题(6分) 设是线性方程组对应的齐次线性方程组的一个 基础解系,是线性方程组的一个解, 求证线性无关. 试卷(四): 一、 填空题(共20分) 1. 设A是矩阵, 是 维列向量,则方程组无解的充分必要条件是: 2. 已知可逆矩阵P使得,则 3. 若向量组α=(0,4,t),β=(2,3,1),γ=(t,2,3)的秩为2,则t= 4. 若A为2n阶正交矩阵,为A的伴随矩阵, 则= 5. 设A为n阶方阵,是的个特征根,则 = 二、 选择题(共20分) 1. 将矩阵的第i列乘C加到第j列相当于对A: A, 左乘一个m阶初等矩阵, B,右乘一个m阶初等矩阵 C, 左乘一个n阶初等矩阵, D,右乘一个n阶初等矩阵 2. 若A为m×n 矩阵,是维非零列向量,。集合则 A, 是维向量空间, B, 是n-r维向量空间 C,是m-r维向量空间, D, A,B,C都不对 3. 若n阶方阵A,B满足, ,则以下命题哪一个成立 A, , B, C, , D, 4. 若A是n阶正交矩阵,则以下命题那一个成立: A,矩阵为正交矩阵, B,矩阵 -为正交矩阵 C,矩阵为正交矩阵, D,矩阵 -为正交矩阵 5. 4n阶行列式的值为: A, 1, B,-1 C, n D,-n 三、 解下列各题(共30分) 1.求向量,在基下的坐标。 2.设,求矩阵-A 3.计算行列式 4.计算矩阵列向量组生成的空间的一个基。 5. 设 计算det A 四、 证明题(10分) 设是齐次线性方程组的一个基础解系, 不是线性方程组的一个解,求证线性无关。 五、(8分)用正交变换化下列二次型为标准型,并写出正交变换矩阵 . 六、(8分) 取何值时,方程组 有无数多个解?并求通解 七、 (4分)设矩阵,,+都是可逆矩阵,证明矩阵也是可逆矩阵。 试卷(一)解答: 一. 1. 2. 3. 4. 5. 1,2,-3. 二. 1. D 2. A 3. D 4. D 5. D 三. 1. 2. . 3. 由有 . 4. 而向量组: 线性无关,可得 故 ,,为一个最大线性无关组. 5. 令 , 则有: 解得: ω的坐标为 四 解: 原方程组同解下面的方程组: 即: 令,求解得:(1,1,0,0,0)=η。 齐次方程组基础解系为: 。 五.解: 当时,由,求得基础解系: 当时,由,求得基础解系: 当时,由,求得基础解系: 单位化: 令,则 若则 六. 证明: 设 则: 于是 即 但 因此 从而有 又 线性无关, 因此 于是 故有 线性无关. 试卷(二)部分解答: 一.(3)已知向量组线性相关,求 解: 线性相关可求出 二.(8分) 设,且求矩阵B. 解: , 可逆,且, 于是 五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系. (与76页例4.17类似作) 六. (8分) 求出把二次型化为标准形的正交变换,并求出使为正定时参数的取值范围. 解: 二次型的矩阵为 由 得特征值 对 可得的一个基础解系为: 正交化: 取 对 可得的一个基础解系为: 将分别单位化,得: 取正交变换 ,则此正交变换将二次型化为标准形: 正定 七. (10分) 设三阶实对称矩阵的特征值为3(二重根)、4(一重根),是的属于特征值4的一个特征向量,求 解: 设的属于特征值3的特征向量为,由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交, 则有 即: 此方程的一个基础解系为: 则为的属于特征值3的两个线性无关的特征向量,于是: = 八. (10分) 当为何值时,方程组 有惟一解、无穷多解、无解? 解: 记, 系数行列式 (1). 当 时, 由克莱姆法则知方程组有惟一解. (2). 当 时, 于是 方程组无解. (3). 当 时, (i) 当时, 方程组有无穷多解. (ii) 当时, 方程组无解. 九.(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题 (1) 设是可逆矩阵, 证明也可逆, 且 (2) 设是非零向量,证明是矩阵的特征向量. 证明: (1) 由于, 则存在可逆矩阵 使得 于是由可逆知也可逆,且 (2) 设 记 由 知为的属于的特征向量. 试卷(三): 一. 填空题(共20分) 1. 设A是矩阵, 是 维列向量,则方程组有唯一解的充分必要条件是:rank(A)=rank(A B)=n. 2. 已知为单位矩阵, 若可逆矩阵使得 则当可逆时, -27E. (利用) 3. 若t为实数, 则向量组α=(0,4,t),β=(2,3,1),γ=(t,2,3+t)的秩为: 3 4. 若A为2009阶正交矩阵,为A的伴随矩阵, 则=1 5. 设A为n阶方阵,是的个特征根,则 = 0 二. 选择题(共20分) 1. 如果将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为将矩阵的第i列乘k加到第j列相当于把A:(B) A, 左乘一个 B,右乘一个 C. 左乘一个 D,右乘一个 2. 若A为m×n 矩阵,是维非零列向量,。集合, 则 (D) A, 是维向量空间, B, 是n-r维向量空间 B, 是m-r维向量空间, D, A,B,C都不对 3. 若n阶方阵A满足 ,则以下命题哪一个成立 (B) A, , B, C. , D, 4. 若A是2n阶正交矩阵,则以下命题哪一个一定成立:(A) A,矩阵为正交矩阵, B,矩阵 2为正交矩阵 C, 矩阵为正交矩阵, D,矩阵 为正交矩阵 5. 如果n阶行列式的值为-1,那么n的值可能为:(C) A, 2007, B,2008 C, 2009, D,2000 三. 判断题 (每小题4分, 共12分) (1) 对线性方程组的增广矩阵做初等变换,对应的线性方程组的解不变. ( 错 ) (2) 实对称矩阵的特征值为实数. ( 对 ) (3) 如果矩阵的行列式为零, 那么这个矩阵或者有一行(列)的元素全为零, 或者有两行(列)的元素对应成比例. ( 错 ) 四. 解下列各题(每小题8分, 共16分) 1.求向量,在基下的坐标.(坐标为: ) 2.设计算. 解: 五.(10分) 求矩阵列向量组生成的子空间的一个标准正交基. 解: 先求矩阵列向量组生成的子空间的一个基.由于 可知的前三列线性无关,为子空间的一个基.记 将其正交化.令 再单位化,令 则 为所求标准正交基. 六. 证明题(6分)设是m行n列矩阵, 如果线性方程组对于任意m维向量都有解,证明的秩等于m. 证明: 设, 则 为m维向量组. 由于线性方程组对于任意m维向量都有解, 现分别取等于m维基本单位向量: , 可知向量组可由向量组线性表示, 又向量组可由向量组线性表示, 于是向量组与向量组等价, 故 七、(10分)用正交变换化下列二次型为标准型,并写出正交变换矩阵 . 解: 设 对特征值由,求得基础解系: 对特征值,由,求得基础解系: 对特征值,由,求得基础解系: 已两两正交, 再单位化: 令,则为正交阵, 且. 正交变换为将二次型化为标准形: 八、(6分)设矩阵,都是正定矩阵,证明矩阵也是正定矩阵. 证明: 由于矩阵,都是正定矩阵,则对于任一有 从而 故是正定矩阵. 试卷(四): 一. 填空题(每小题4分,共20分) 1.设是矩阵,那么的秩不超过的充分必要条件是:的阶子式全为0. 2.已知为单位矩阵,若,则当可逆时, 3.若向量组的秩为2时,0或 4. 若为2009阶正交矩阵, 为的伴随矩阵,则 5. 设为阶方阵,是的个特征值,则0. 二. 选择题 (每小题4分,共20分) 1. 如果将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为那么的逆矩阵是:(D). A, B, a) D, 2. 若A为m×n 矩阵,,令集合, 则(B) A, 是空集; B, 只含一个元素; C, 含有两个以上元素 D, A,B,C都不对 3. 若n阶方阵A满足 ,则以下命题哪一个成立(B) A, , B, C. , D, 4. 若A,B都是n阶对称矩阵,则以下命题哪一个不一定成立:(B) A,矩阵为对称矩阵, B,矩阵为对称矩阵 C, 矩阵为对称矩阵, D,矩阵为对称矩阵 5. 如果n(n>1)阶行列式的第i行第j列元素的代数余子式的值为-1,那么i+j-n的值:(B) (因(i,j)元素必在次对角线上) A, 为0, B,为1 C, 为2, D,无法确定. 三. 判断题 (每小题4分, 共12分) (1) 对一个线性方程组做初等变换,线性方程组的解不变. ( 对 ) (2) 正交矩阵的特征值是实数. ( 错 ) (3)一个可逆矩阵A与它的转置矩阵的乘积是正定的. ( 对 ) 四. 解下列各题(每小题8分, 共16分) 1.求单位向量,它在基下的坐标向量也是. 解: 设,由题意, 即 于是有 解得 又由为单位向量知 因此 故所求向量 或 2.设n阶方阵计算 解: (将第2至n行加到第一行) 五.(10分) 求矩阵的逆矩阵. 解: 于是 六. 证明题(6分)设是m行n列矩阵,证明 证明: 设 则 设是A的一个最大线性无关组,是B的一个最大线性无关组,则, 由于可由线性表示,可由线性表示, 可由,线性表示, 从而 即 七、(6分)证明任何一个方阵都可以表为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和. 证明: 设为任一方阵, 记 由于 则为对称矩阵, 为反对称矩阵, 而 故得证. 八、(10分)用正交变换化下列二次型为标准型,并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵 解答见课件. 试卷(五): 一. 填空题(每小题4分,共20分) 1.设是矩阵,那么可逆的条件是: 2.矩阵是二次型的矩阵的条件是: . 3.设则. 4.若为2010阶正交矩阵, 则 5.将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵记为设是的个特征值, 则= 1 . 二. 选择题 (每小题4分,共20分) 1. 如果将单位矩阵的第i行乘k得到的矩阵设为那么的逆矩阵是:A. A, B, C, D, 2. 若A为m×n 矩阵,令集合, 则D. A, 是空集; B, 只含一个元素; C, 含有两个以上元素 D, 是非空集合. 3. 若n阶方阵满足 ,则以下命题哪一个成立B. A, , B, 是可逆矩阵 C. , D, 4. 若A是n阶矩阵,则以下命题哪一个不成立:B. A,矩阵为对称矩阵, B,矩阵为对称矩阵, C, 矩阵为对称矩阵, D,矩阵为对称矩阵 5. 如果n(n>1)阶矩阵的行向量线性无关,那么:B. A, 的行列式为0, B,的列向量线性无关 C, 的秩为0, D,以为系数矩阵的线性方程组有非零解. 三. 判断题 (每小题4分, 共12分) (1) 已知是阶矩阵,如果,那么. ( 错 ) (2) 如果一个向量组线性无关,那么它的任意一部分向量也线性无关. ( 对 ) (3) 如果一个矩阵A是正定的, 那么它的行列式大于0. ( 对 ) 四. 解下列各题(每小题8分, 共16分) 1.求所有向量,它与是正交的. 解: 设,由题意知 即 解得 故所求向量 ,为任意常数. 2.设n阶方阵计算. 解: (将第2至n行加到第一行) 五.(10分) 求矩阵的伴随矩阵. 解:先求 的逆矩阵. 由于 , 于是, 所求伴随矩阵 六. 证明题(6分) 设是n阶方阵,如果可逆,证明与相似. 证明: 由于可逆, 利用可知与相似. 七、(6分)证明任何一个秩为2的正惯性指数为1的二次型都可以表为两个一次多项式的乘积. 证明: 设此二次型为:, 其中,由于它的秩为2,且正惯性指数为1,由惯性定理,可作一可逆变换: 将其化为规范形 由可设 则有 于是 为两个一次多项式的乘积. 八、(10分)用正交变换化下列二次型为标准型,并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵 解: 设 对特征值由,求得基础解系: 将其正交化: 对特征值,由,求得基础解系: 再单位化: 令,则为正交阵, 且. 正交变换为将二次型化为标准形:- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2022 线性代数 几何 测试 统考 答案
咨信网温馨提示:
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,个别因单元格分列造成显示页码不一将协商解决,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【天****】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【天****】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,个别因单元格分列造成显示页码不一将协商解决,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【天****】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【天****】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。
关于本文