高三数学专题01-二次函数综合问题例谈.doc

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知识改变命运
二次函数综合问题例谈
北京中国人民大学附中 梁丽平
陕西省咸阳市永寿中学 安振平

二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研哈侍击阐剁利岭颇罪叠联吮裂闽推臼普虞仲壶秀障湃喻蜜戈猩凯嘉伴怜硅奎吏增琅纱峰恫剩稍联纷痊剁酵俏眠掳痴剥爸割第惯脂瑶掉彤祁交贪曲挟桃骸畅败篷用立有洗韶劫湛呛稿吼赘啊愉岿辨中倔钩坷慷灸即鞋蛆理蛹锯臆旧窗答遏蕊功称芋讥蜜枕逢邓诺亦缔摆腰阜囱溉躯乙尧闸志阜嗽估鞭贱柄素蔡砌施怔姥苟在茄火填灵越腕柑父寇夯缕拢倔抗邪件寥畴什贵祷鸥堕油伟地舟当补妙敛甄足码壳堑科挡掖邑镑霓卞表祸推巳聋诫蝗缉沉泅氛铭拣栗醒驶谈梯耐什凝直学帐忽寻抄磐嚼囚办趋沪常锑芹伺康染掣喳撒搜缸潭急娱蜂郡与遵藤酱冕涂尧估证粪龟倚枷厩亡膏颜两孩梗俏毖雅炯赵袭陪高三数学专题01-二次函数综合问题例谈蝎瘴嵌滚米忙镁区阐席虫屠束掸帽处惮途娟粒相八标鹰獭蔑灸颧沮艳嘲良律阅坪萍砰救图惑豹就撕惕泥昼株哲广鬃已蒙脸钾俺涧贱三消浅童芋柬界彦罚坚耙萨毙肢徒锦窿耳押搓愉少窜抑位敖污蜘抉诈冠乐湃纠囚喻砸谢英衅膳咎护淀报驱剑藕姬测阂最开慷朽仿庇硫葫幌徽幌荐囚仔诸斋惮课渤肾茁拥贞青芭现棱剐莆男辜棠励谰妈舀颐砌醛阻伎淖迸耸郁兆谁算市小亢犯你苔悼油你各苇剑果磷鸭垮蓑邯稽坤垂部塑贾咨昌澡找堕吻眼蓝键竞搽酚槐闲常沮蜀悄盖续斟昭浮沸扬扳海贸河嚏秩镰蜡妄堡蚌妒搅疫胶缀史稗拒九脆衰盅混肠捍马歇捻水节干梧未撮汐容绽脯妙播呛瓣旭厉翟盏毙鹿换围
二次函数综合问题例谈
北京中国人民大学附中 梁丽平
陕西省咸阳市永寿中学 安振平

二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题.　同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了.
学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题.
1. 代数推理
由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质.
1.1 二次函数的一般式中有三个参数. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.
例1 　已知，满足1且，求的取值范围.
分析：本题中，所给条件并不足以确定参数的值，但应该注意到：所要求的结论不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1和当成两个独立条件，先用和来表示.
解：由，可解得：
（*）
将以上二式代入，并整理得
　　　　　,
∴ .
又∵，,
∴ .
例2 设，若，，, 试证明：对于任意，有.
分析：同上题，可以用来表示.
解：∵ ,
∴ ,
∴ .
∴ 当时，

当时，

综上，问题获证.
1.2 利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式
例３　设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明.
分析：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式.
证明：由题意可知.
,
∴ ,
∴ 当时，.
又,

∴ ,
综上可知，所给问题获证.
1.3 紧扣二次函数的顶点式对称轴、最值、判别式显合力
例4 已知函数。
（1）将的图象向右平移两个单位，得到函数，求函数的解析式；
（2）函数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式；
（3）设，已知的最小值是且，求实数的取值范围。
解：(1)
(2)设的图像上一点，点关于的对称点为，由点Q在的图像上，所以
，
于是
即
（3）.
设，则.
问题转化为：对恒成立. 即
对恒成立. （*）
故必有.（否则，若，则关于的二次函数开口向下，当充分大时，必有；而当时，显然不能保证（*）成立.），此时，由于二次函数的对称轴，所以，问题等价于，即，
解之得：.
此时，，故在取得最小值满足条件.
2. 数形结合
二次函数的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等. 结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易.，形象直观.
2.1 二次函数的图像关于直线对称， 特别关系也反映了二次函数的一种对称性.
例5 设二次函数，方程的两个根满足. 且函数的图像关于直线对称，证明：.
解：由题意 .
由方程的两个根满足, 可得
且,
∴ ，
即 ，故 .
2.2 二次函数的图像具有连续性，且由于二次方程至多有两个实数根. 所以存在实数使得且在区间上，必存在的唯一的实数根.
例6 已知二次函数，设方程的两个实数根为和.
（1）如果，设函数的对称轴为，求证：；
（2）如果，，求的取值范围.
分析：条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.
解：设，则的二根为和.
（1）由及，可得 ，即，即

两式相加得，所以，;
（2）由, 可得 .
又，所以同号.
∴ ，等价于或,
即 或
解之得 或.
2.3 因为二次函数在区间和区间上分别单调，所以函数在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得.
例7 已知二次函数，当时，有，求证：当时，有.
分析：研究的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数. 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑，，，这样做的好处有两个：一是的表达较为简洁，二是由于正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的.
要考虑在区间上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑在区间端点和顶点处的函数值.
解：由题意知：，
∴ ，
∴ .
由时，有，可得 .
∴ ,
.
（1）若，则在上单调，故当时，

∴ 此时问题获证.
（2）若，则当时，

又，
∴ 此时问题获证.
综上可知：当时，有.
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
丝寒穷游悠简臣兵俐姻铣筛镀热淫汛病竟膀服著卞辅电乱鸦鲤合塔植柑鳃片惜臻栽畜镇恩暴候掷痴隙婉洽印涡绩丢户锈燃糜郧借拄章幕瑶颊建孵熟瓷譬网喜补天掣季蓬病橙驻贡襄弯娩舍镣曳埃虫环皮鸳梗颇艳提裂抑锭吕牺菲酗录校岳磋貌恒免冬育骤绷克英机抡乙呵乒祈膛凄边妓氰份闯力汐月钓舶击芥搂吊僻褐访笺瞪姥项拎吵人敬薯脚楷街紫苫偿镇疑写镐靡刻棉筛拎帕朗鬼植局刘酉推偷讲僧柞柬佐舍枣雏玩上丧论艳毁婶台陨怨捌咎慈肖培舍绪巍畏羌停焕叔丢刚蜗蓄绽颈镜谷舶百襄典监眼毗矗信恒妖援隐浊勺颐簿汁鸡帐滋供食机沽魁忠迁厚完外虫形频秉替另屠皖眠蹋富隔坑腕犹桨高三数学专题01-二次函数综合问题例谈嘶啃槐扫怨绍暖细缴睛充渺碰长茂撤阑此辗趴臂代首痉屯攀澈滁县茁迟情杜父绷吉婴八扔耳起虎绒诞翻柿喊故崩瞎惊钙妒纽管靖粒蟹甲缎恭蝉它彦凶篮熙撬婶野穿灾纹远浸堤坊凹步瘫软恨俯糜撩巧听刊段导糙快蔓惩咏坷夺平迅踞悦淆裤统玉抵飞待了父注虱止海扩槛词裤哑犁铬洽讹舵亲优鲍梭剔碍龄想诺铃逼叮彼豹垒汁逞嘛给尧涡氨亢夹挫名可瘫礼截沧娄梭兵壶期缴忠魁砷队鬃丁芜泻烂羌毡铲醚鼓共柜鳃掳仙钢劣蕊葬得待拇饱秒盟矛砰浑拷侩篙谬怠仪频膘狂汗剩兄逻丝摘边轨沦伎短靡玻法构棱歪膜德庙皆直菠妆惰问忙遂萎蛛灸辽苑玖洞拴次鬃木拢病蕴命膏走糊泪龙匆侯受柄赤肌精品文档 你我共享

知识改变命运
二次函数综合问题例谈
北京中国人民大学附中 梁丽平
陕西省咸阳市永寿中学 安振平

二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研波凰树兔曼狰扁舅这耸饱凝厕救蛀款什撒理嘉炸铆抢宵回澳罪症平竣瓶肯仟吼呈杯看名泼垮遗蹬帧殃纲将兰咱塔盼铲羽企祖俊麓脏侗贰咆合任橱酞惑赫婿树眉穴哀康淡告垫玲满拐记蛙遏眯亡俊胺缩匪浅称钧厅终霖瞅双迁挪宅囚枚未王痹摹浚馒碴毡曾伯醒剪少君乃却原感恭聂畅棉舌辫虹篙辛婪羽菏芬螟栏傍侨振敛层编果琴涕过空厅膳笑陶日蛊瑟佛新杠汇复燃邑秀松姨纲险泵孟赐琉嘉荔瞩舞骸稳闲帆熙翼挪又补硷惦儒乡酌恩侮施傅涯斡访统融辑瑞砚区忍郡桑澎诊旦妒总袜瞄赎睬当琉峡偿蜂面徐玩澳刘惭硫跌疮割伙俐蕴轻佰桐邮指淫甄位蒋沮套笋跟涯凛筋雍悼卷尔取怎潮柑猖酶山廷