初三数学竞赛选拔试题(含答案).doc

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知识改变命运
初三数学竞赛选拔试题
_________________学区 ___________________中学 姓名_________________ 准考证号码_________________
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初三数学竞赛选拔试题
_________________学区 ___________________中学 姓名_________________ 准考证号码_________________
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一、选择题: (每小题5分，共 35分)
1 .2003减去它的，再减去剩余的再减去剩余的……依次类推，一直减去剩余的则最后剩下的数是（ B ）
（A） （B）1 （C） （D）无法计算
2. 若 x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，则a+b的值是 ( D )
（A） 7 （B） 8 （C） 15 （D）21
3. ΔABC的周长是24，M是AB的中点，MC=MA=5，则ΔABC的面积是（ C ）
（A） 12 （B） 16 （C） 24 （D）30
4. DE为∆ABC中平行于AC的中位线，F为DE中点，延长AF交BC于G，则∆ABG与∆ACG的面积比为 ( A )
（A）1：2（B）2：3（C）3：5（D）4：7
5. 三角形三条高线的长为3，4，5，则这三角形是（ C ）
（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）形状不能确定
6. 已知关于x的方程有不同的实数根，其中m为整数，且仅有一个实根的整数部分是2，则m的值 为（ A ）
（A）–2（B）–3（C）–2或–3（D）不存在
7. 在凸四边形ABCD中，DA=DB=DC=BC，则这个四边形中最大角的度数是（ A ）
（A） 120º （B） 135º （C） 150º （D） 165º

二、填空题: (每小题5分，共 35分)
1. 若在方程 y(y+x)=z+120 中， x，y，z都是质数，而z是奇数，则x= 2 .y= 11 .z= 23 .
2. 将 2003x2-(20032-1)x-2003 因式分解得 (x-2003)(2003x+1) .
3.正三角形ABC所在平面内有一点P，使得⊿PAB、⊿PBC、⊿PCA都是等腰三角形，则这样的P点有 10 个
4.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，∠A＝，∠D＝，CD的垂直平分线交CD于E，交BA于的延长线于F，若AD＝9，则BF＝　　9　　；
5.已知四边形的四个顶点为A（8,8），B（－4,3），C（－2，－5），D（10，－2），则四边形在第一象限内的部分的面积是　　　　　　
6.小明和小刚在长９０米的游泳池的对边上同时开始游泳，小明每秒游３米，小刚每秒游２米，他们来回游了１２分钟，若不计转向的时间，则他们交汇的次数是　20　　　。
7.一副扑克牌有54张，最少抽取 16 张，方能使其中至少有2张牌有相同的点数？
三、(本题满分15分)
下表是某学校参加一次数学竞赛中参赛同学做对题目的情况记录表，第一行的值表示做对的题目的题数，第二行的值表示做对相应题目的同学人数。
做对的题数
０
１
２
３
…
１０
１１
１２
同学人数
０
１
３
４
…
５
１
１
　对此次竞赛的情况有如下统计：
（１）本次竞赛共有１２道题目；
　（２）做对３题和３题以上的同学每人平均做对６题；
　（３）做对１０题和１０题以下的同学每人平均做对５题；
　问：参加本次竞赛的同学共有多少人？

解：设共有x名同学参加了本次竞赛。
做对3题和3题以上的人数为x-(1+3)=x-4, 那么，所有同学做对
6(x-4)+11+23=6x-17题；
做对10题和10题以下的人数为x-(1+1)=x-2, 那么，所有同学做对
5(x-2)+111+121=5x+13题。
又做对的总题数相等，所以6x-17=5x+13.
解这个方程得 x=30.
答：共有30名同学参加了本次竞赛。

四、(本题满分15分)
如图：菱形PQRS内接于矩形ABCD，使得P、Q、R、S为AB、BC、CD、DA上的内点。已知PB=15、BQ=20、PR=30、QS=40、若既约分数为矩形ABCD的周长，求m＋n。

设AS=x、AP=y ……(2分)，由菱形性质知PRSQ，且互相平分，这样得到8个直角三角形，易知PR与SQ的交点是矩形ABCD的中心。由已知可得其中6个三角形的边长分别为15、20、25。由对称性知CQ、CR的长为x、y。则Rt△ASP和Rt△CQR的三边长分别为x、y、25，矩形面积等于8个Rt△的面积之和。则有：
(20+x)(15+y)=6××20×15+2×xy （8分）
则有 3x+4y=120 (1)
又 x2+y2=625 (2) (2分)
得 x1=20 x2=
y1=15 y2= (5分)
当x=20时 BC=x+BQ=40 这与PR=30不合
故 x= y= (2分)
∴矩形周长为2(15+20+x+y)= (5分)
即：m+n=677 (1分)

五、(本题满分20分)
1、试设计一种方法，把一个正方形不重复不遗漏地分割成8个正方形(分得的正方形大小可以不相同)；又问如何把正方形按上要求分成31个正方形？
2、试设计一种方法，把一个立方体分割成55个立方体(要求：不重复不遗漏，分得的立方体大小可以不相同)。

1、容易把一个正方形分成42=16个正方形，再把其中位于一角的9个拼成一个正方形，共得：16-9+1=8个正方形 。 (6分)
分成16个正方形后，把其中任意5个分成4个小正方形，共有16-5+5×4=31个正方形。 (6分)
2、把立方体分割成33=27个立方体，再把其中4个各分成23=8个立方体，共27-4+4×23=55个立方体。 （8分）

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初三数学竞赛选拔试题
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