泛函分析上册答案.doc

1.1.5
1.1.6

1.1.7

1.2.2

1.2.3

1.2.4

1.3.3

1.3.4

1.3.5

1.3.7

1.3.8

1.3.9

1.4.1

1.4.5-6

1.4.9

1.4.11

1.4.12

1.4.13

1.4.14
1.4.15
1.4.17

1.5.1证明：(1) (Þ) 若xÎint(E)，存在d > 0，使得Bd (x) Í E．
注意到x + x/n ® x ( n ® ¥ )，故存在N Î N+，使得x + x/N Î Bd (x) Í E．
即x/( N/( 1 + N ) ) ÎE．因此P(x) £ N/( 1 + N ) < 1．
(Ü) 若P(x) < 1．则存在a > 1，使得y = a xÎE．因qÎint(E)，故存在d > 0，使得Bd (q) Í E．令h = d (a - 1)/a，"zÎBh (x)，令w = (a z - y )/(a - 1)，
则|| w || = || (a z - y )/(a - 1) || = || a z - y ||/(a - 1)
= || a z - a x ||/(a - 1) = a || z - x ||/(a - 1) < ah/(a - 1) = d．
故wÎBd (q) Í E．故z = ((a - 1)w + y )/a Î E，因此，Bh (x) Í E．所以xÎint(E)．
(2) 因int(E) = E，故有cl(int(E)) Í cl(E)．下面证明相反的包含关系．
若xÎcl(E)，则"e > 0，存在yÎE，使得|| x - y || < e/2．
因ny/(n + 1) ® y ( n ® ¥ )．故存在N Î N+，使得|| Ny/(N + 1) - y || < e/2．
令z = Ny/(N + 1)，则zÎE，且P(z) £ N/(N + 1) < 1，
由(1)知z Îint(E)．而|| z - x || £ || z - y || + || y - x || < e/2 + e/2 = e．
故xÎcl(int(E))，因此cl(E) Í cl(int(E))所以cl(int(E)) = cl(E)．

1.5.3证明：因为C是紧集，所以C是闭集．
因为C是紧集，故C的任意子集都列紧．
而T(C) Í C，故T(C)列紧．
于是，由Schauder不动点定理，T在C上有一个不动点．
[Schauder定理：B*空间中闭凸集C上使T(C)列紧的连续自映射T必有不动点]
1.5.4

1.5.5证明：设C = {x = (x1, x2, ..., xn)ÎRn | å 1 £ i £ n xi = 1，xi ³ 0 ( i = 1, 2, ..., n) }．
则C是有界闭集，且是凸集，因此C是紧凸集．
因为"xÎC，xi 不全为0，而aij > 0，故Ax的各分量也非负但不全为零．
"xÎC，设f (x) = (Ax)/( å 1 £ i £ n (Ax)i )，则f (x)ÎC．
容易验证f : C ® C还是连续的．
由Brouwer不动点定理，存在f的不动点x0ÎC．
即f (x0) = x0，也就是(Ax0)/( å 1 £ i £ n (Ax0)i ) = x0．
令l = å 1 £ i £ n (Ax0)i，则有Ax0 = l x0．

1.5.6证明：设B = { uÎC[0, 1] | ò[0, 1] u(x) dx = 1，u(x) ³ 0 }，
则B是C[0, 1]中闭凸集．
设max (x, y)Î[0, 1]´[0, 1] K(x, y) = M，min (x, y)Î[0, 1]´[0, 1] K(x, y) = m，
ò[0, 1] (ò[0, 1] K(x, y) dy) dx = N，max xÎ[0, 1] | ò[0, 1] K(x, y) dy |= P．
令(S u)(x) = (ò[0, 1] K(x, y) u(y) dy)/(ò[0, 1] (ò[0, 1] K(x, y) u(y) dy) dx )
则ò[0, 1] (S u)(x) dx = 1，u(x) ³ 0；
即S uÎB．因此S是从B到B内的映射．
"u, vÎB，
|| ò[0, 1] K(x, y) u(y) dy - ò[0, 1] K(x, y) v(y) dy ||
= || ò[0, 1] K(x, y) (u(y) - v(y)) dy ||
= max xÎ[0, 1] | ò[0, 1] K(x, y) (u(y) - v(y)) dy |
£ M · || u - v ||；
因此映射u # ò[0, 1] K(x, y) u(y) dy在B上连续．
类似地，映射u # ò[0, 1] (ò[0, 1] K(x, y) u(y) dy) dx也在B上连续．
所以，S在B上连续．
下面证明S(B)列紧．
首先，证明S(B)是一致有界集．"uÎB，
|| S u || = || (ò[0, 1] K(x, y) u(y) dy )/(ò[0, 1] (ò[0, 1] K(x, y) u(y) dy) dx )||
= max xÎ[0, 1] | ò[0, 1] K(x, y) u(y) dy |/(ò[0, 1] (ò[0, 1] K(x, y) u(y) dy) dx )
£ (M ·ò[0, 1] u(y) dy |/(m ò[0, 1] (ò[0, 1] u(y) dy) dx ) = M/m，
故S(B)是一致有界集．
其次，证明S(B)等度连续．"uÎB，"t1, t2Î[0, 1]，
| (S u)(t1) - (S u)(t2) |
= | ò[0, 1] K(t1, y) u(y) dy - ò[0, 1] K(t2, y) u(y) dy |/(ò[0, 1] (ò[0, 1] K(x, y) u(y) dy) dx )
£ ò[0, 1] | K(t1, y) - K(t2, y) | u(y) dy /(mò[0, 1] (ò[0, 1] u(y) dy) dx )
£ (1/m) · max yÎ[0, 1] | K(t1, y) - K(t2, y) |
由K(x, y)在[0, 1]´[0, 1]上的一致连续性，
"e > 0，存在d > 0，使得"(x1, y1), (x2, y2)Î[0, 1]，只要|| (x1, y1) - (x2, y2) || < d，
就有| K(x1, y1) - K(x2, y2) | < m e．
故只要| t1 - t2 | < d 时，yÎ[0, 1]，都有| K(t1, y) - K(t2, y) | < m e．
此时，| (S u)(t1) - (S u)(t2) | £ (1/m) · max yÎ[0, 1] | K(t1, y) - K(t2, y) |
£ (1/m) · m e = e．
故S(B)是等度连续的．
所以，S(B)是列紧集．
根据Schauder不动点定理，S在C上有不动点u0．
令l = (ò[0, 1] (ò[0, 1] K(x, y) u0(y) dy) dx．
则(S u0)(x) = (ò[0, 1] K(x, y) u0(y) dy)/l = (T u0)(x)/l．
因此(T u0)(x)/l = u0(x)，T u0 = l u0．
显然上述的l和u0满足题目的要求．

1.6.1 (极化恒等式)证明："x, yÎX，q(x + y) - q(x - y) = a(x + y, x + y) - a(x - y, x - y)
= (a(x, x) + a(x, y) + a(y, x) + a(y, y)) - (a(x, x) - a(x, y) - a(y, x) + a(y, y))
= 2 (a(x, y) + a(y, x))，
将i y代替上式中的y，有
q(x + i y) - q(x - i y) = 2 (a(x, i y) + a(i y, x))= 2 (-i a(x, y) + i a( y, x))，
将上式两边乘以i，得到i q(x + i y) - i q(x - i y) = 2 ( a(x, y) - a( y, x))，
将它与第一式相加即可得到极化恒等式．

1.6.2证明：若C[a, b]中范数|| · ||是可由某内积( · , · )诱导出的，
则范数|| · ||应满足平行四边形等式．
而事实上，C[a, b]中范数|| · ||是不满足平行四边形等式的，
因此，不能引进内积( · , · )使其适合上述关系．
范数|| · ||是不满足平行四边形等式的具体例子如下：
设f(x) = (x – a)/(b – a)，g(x) = (b – x)/(b – a)，则|| f || = || g || = || f + g || = || f – g || = 1，
显然不满足平行四边形等式．

1.6.3证明："xÎL2[0, T]，若|| x || = 1，由Cauchy-Schwarz不等式，有
| ò[0, T] e - ( T - t ) x(t ) dt |2 £ (ò[0, T] (e - ( T - t ))2 dt ) (ò[0, T] ( x(t ))2 dt )
= ò[0, T] (e - ( T - t ))2 dt = e - 2T ò[0, T] e 2t dt = (1- e - 2T )/2．
因此，该函数的函数值不超过M = ((1- e - 2T )/2)1/2．
前面的不等号成为等号的充要条件是存在lÎR，使得x(t ) = l e - ( T - t )．
再注意|| x || = 1，就有ò[0, T] (l e - ( T - t ))2 dt = 1．解出l = ±((1- e - 2T )/2) - 1/2．
故当单位球面上的点x(t ) = ±((1- e - 2T )/2) - 1/2 · e - ( T - t )时，
该函数达到其在单位球面上的最大值((1- e - 2T )/2)1/2．

1.6.4证明：若xÎN ^，则"yÎN，(x, y) = 0．而M Í N，故"yÎM，也有(x, y) = 0．
因此xÎM ^．所以，N ^ Í M ^．

1.6.5

1.6.6解：设偶函数集为E，奇函数集为O．
显然，每个奇函数都与正交E．故奇函数集O Í E ^．
"fÎE ^，注意到f总可分解为f = g + h，其中g是奇函数，h是偶函数．
因此有0 = ( f, h) = ( g + h, h) = ( g, h) + ( h, h) = ( h, h)．
故h几乎处处为0．即f = g是奇函数．所以有 E ^ Í O．
这样就证明了偶函数集E的正交补E ^是奇函数集O．

1.6.7
证明：首先直接验证，"cÎR，S = {e 2p i n x | nÎZ }是L2[c, c + 1]中的一个正交集．
再将其标准化，得到一个规范正交集S1 = {jn(x) = dn e 2p i n x | nÎZ }．
其中的dn = || e 2p i n x || (nÎZ)，并且只与n有关，与c的选择无关．
(1) 当b – a =1时，根据实分析结论有S ^ = {q}．
当b – a <1时，若uÎL2[a, b]，且uÎS ^，
我们将u延拓成[a, a + 1]上的函数v，使得v(x) = 0 ("xÎ(b, a + 1])．
则vÎL2[a, a + 1]．
同时把S = {e 2p i n x | nÎZ }也看成L2[a, a + 1]上的函数集．
那么，在L2[a, a + 1]中，有vÎS ^．
根据前面的结论，v = q．
因此，在L2[a, b]中就有u = q．
故也有S ^ = {q}；
(2) 分成两个区间[a, b – 1)和[b – 1, b]来看．
在[a, b – 1)上取定非零函数u(x) = 1 ( "xÎ[a, b – 1) )．
记pn = ò[a, b – 1) u(x)jn(x) dx．
我们再把u看成是[b – 2, b – 1]上的函数(u在[b – 2, a)上去值为0)．
那么pn就是u在L2[b – 2, b – 1]上关于正交集S1 = {jn(x) | nÎZ }的Fourier系数．
由Bessel不等式，ånÎZ | pn |2 < +¥．
再用Riesz-Fischer定理，在L2[b – 1, b]中，ånÎZ pn jn收敛．
并且，若令v = - ånÎZ pn jn，则(v, jn)= - pn (" nÎZ)．
设f : [a, b] ® C为：f(x) = u(x) (当xÎ[a, b – 1))，f(x) = v(x) (当xÎ[b – 1, b])．
则f ÎL2[a, b]，f ¹ q，
但( f, jn) = ò[a, b – 1) f(x)jn(x) dx + ò[b – 1, b] f(x)jn(x) dx
= ò[a, b – 1) u(x)jn(x) dx + ò[b – 1, b] v(x)jn(x) dx
= pn - pn = 0，
因此，f ÎS1^ = S ^，故S ^ ¹ {q}．

1.6.8证明：( zn/(2p)1/2, zn/(2p)1/2 ) = (1/i)ò| z | = 1 ( zn/(2p)1/2 · (z*)n/(2p)1/2 )/z dz
= (1/(2pi))ò| z | = 1 zn· (z*)n/z dz = (1/(2pi))ò| z | = 1 1/z dz = 1．
若n > m，则n - m - 1 ³ 0，从zn - m - 1而解析．
( zn/(2p)1/2, zm/(2p)1/2 ) = (1/i)ò| z | = 1 ( zn/(2p)1/2 · (z*)m/(2p)1/2 )/z dz
= (1/(2pi))ò| z | = 1 zn· (z*)m/z dz = (1/(2pi))ò| z | = 1 zn - m - 1 dz = 0．
因此，{ zn/(2p)1/2 }n ³ 0是正交规范集．

1.6.9

1.6.10证明：容易验证{en}Ç{ fn}是正交规范集，下面只证明{en}Ç{ fn}是X的基．
"xÎX，由正交分解定理，存在x关于X0的正交分解
x = y + z，其中yÎ X0，zÎ X0^．
因{en}, { fn}分别是X0和X0^的正交规范基，
故y = å nÎN ( y, en ) en，z = å nÎN ( z, fn ) fn．
因zÎ X0^，故(x, en) = ( y + z, en) = ( y, en) + ( z, en) = ( y, en)．
因yÎ X0，故(x, fn) = ( y + z, fn) = ( y, fn) + ( z, fn) = ( z, fn)．
故x = y + z = å nÎN ( y, en ) en + å nÎN ( z, fn ) fn
= å nÎN ( x, en ) en + å nÎN ( x, fn ) fn．因此{en}Ç{ fn}是X的正交规范基．

1.6.11证明：首先，令j k (z) = (( k +1 )/p)1/2 z k ( k ³ 0 )，
则{ j k }k ³ 0是H 2(D)中的正交规范基．
那么，"u(z)ÎH 2(D)，设u(z) = å k ³ 0 a k z k，则"kÎN，有
(u, j k) = òD u(z) · j k(z)* dxdy
= òD (å j ³ 0 a j z j) · j k(z)* dxdy
= å j ³ 0 a j (p/( j +1 ))1/2òD (( j +1 )/p)1/2 z j · j k(z)* dxdy
= å j ³ 0 a j (p/( j +1 ))1/2òD j j(z) · j k(z)* dxdy
= å j ³ 0 a j (p/( j +1 ))1/2 (j j, j k)
= a k (p/( k +1 ))1/2．
即u(z)的关于正交规范基{ j k }k ³ 0的Fourier系数为a k (p/( k +1 ))1/2 ( k ³ 0 )．
(1) 如果u(z)的Taylor展开式是u(z) = å k ³ 0 b k z k，
则u(z)的Fourier系数为b k (p/( k +1 ))1/2 ( k ³ 0 )．
由Bessel不等式，å k ³ 0| b k (p/( k +1 ))1/2 |2 £ || u || < +¥，
于是有 å k ³ 0| b k |2/( k +1 ) < +¥．
(2) 设u(z), v(z)ÎH 2(D)，并且u(z) = å k ³ 0 a k z k，v(z) = å k ³ 0 b k z k．
则u(z) = å k ³ 0 a k (p/( k +1 ))1/2j k (z)，v(z) = å j ³ 0 b j (p/( j +1 ))1/2j j (z)，
(u, v) = ( å k ³ 0 a k (p/( k +1 ))1/2j k (z), å j ³ 0 b j (p/( j +1 ))1/2j j (z) )
= å k ³ 0å j ³ 0 (a k (p/( k +1 ))1/2j k (z), b j (p/( j +1 ))1/2j j (z))
= å k ³ 0å j ³ 0 (a k (p/( k +1 ))1/2 · b j*(p/( j +1 ))1/2) (j k (z), j j (z))
= å k ³ 0 (a k (p/( k +1 ))1/2 · b k* (p/( k +1 ))1/2) = p å k ³ 0 (a k · b k* )/( k +1 )．
(3) 设u(z)ÎH 2(D)，且u(z) = å k ³ 0 a k z k．
因1/(1 - z) = å k ³ 0 z k，1/(1 - z)2 = å k ³ 0 (k +1) z k，其中| z | < 1．
故当| z | < 1时，有1/(1 - | z | )2 = å k ³ 0 (k +1) | z | k．
根据(2)，|| u(z) ||2 = p å k ³ 0 (a k · a k* )/( k +1 ) = p å k ³ 0 | a k |2/( k +1 )．
|| u ||2/(1 - | z |)2 = (p å k ³ 0 | a k |2/( k +1 )) · ( å k ³ 0 (k +1) | z | k )
³ (p å k ³ 0 | a k |2/( k +1 ) | z | k) · ( å k ³ 0 (k +1) | z | k )
³ p ( å k ³ 0 ( | a k |/( k +1 )1/2 | z | k/2) · ((k +1)1/2 | z | k/2 ))2 　(Cauchy-Schwarz不等式)
= p ( å k ³ 0 | a k | · | z | k )2³ p | å k ³ 0 a k z k |2 = p | u(z) |2 ，故| u(z) | £ || u ||/(p1/2 ( 1 - | z | ))．
(4) 先介绍复分析中的Weierstrass定理：若{ fn }是区域U Í C上的解析函数列，且{ fn }在U上内闭一致收敛到 f，则f在U上解析．（见龚升《简明复分析》）
回到本题．设{ un }是H 2(D)中的基本列．
则"zÎD，由(3)知{ un(z) }是C中的基本列，因此是收敛列．设un(z) ® u(z)．
对C中任意闭集F Í D，存在0 < r < 1使得F Í B(0, r) Í D．
"e > 0，存在NÎN+，使得"m, n > N，都有|| un - um || < e p1/2 ( 1 - r )．
再由(3)，"zÎF，
| un(z) - um(z) | £ || un - um ||/(p1/2 ( 1 - | z | )) £ || un - um ||/(p1/2 ( 1 - r )) < e．
令m ® ¥，则| un(z) - u(z) | £ e．这说明{ un }在D上内闭一致收敛到 u．
由前面所说的Weierstrass定理，u在D上解析．
把{ un }看成是L2(D)中的基本列，
因L2(D)，故{ un }是L2(D)中的收敛列．设{ un }在L2(D)中的收敛于v．
则v必然与u几乎处处相等．即{ un }在L2(D)中的收敛于u．
因此{ un }在H2(D)中也是收敛的，且收敛于u．所以，H2(D)完备．

1.6.12证明：由Cauchy-Schwarz不等式以及Bessel不等式，"x, yÎX，有
| å n ³ 1 (x, en) · (y, en)* |2 £ (å n ³ 1 | (x, en) |· | (y, en)* | )2
= (å n ³ 1 | (x, en) |· | (y, en) | )2 £ (å n ³ 1 | (x, en) |2) · (å n ³ 1 | (y, en)|2)£ || x ||2 · || y ||2．
因此，| å n ³ 1 (x, en) · (y, en)* | £ || x || · || y ||．

1.6.13证明：(1) 因范数是连续函数，故C = { x Î X | || x - x0 || £ r }是闭集．
"x, y ÎC，因|| x - x0 || £ r，|| x - x0 || £ r }，故"lÎ[0, 1]，
|| (l x + (1- l) y ) - x0 || = || l ( x - x0 ) + (1- l) (y - x0) ||
£ || l ( x - x0 ) + (1- l) (y - x0) || £ l || x - x0 || + (1- l) || y - x0 || £ l r + (1- l) r = r．
所以，C是X中的闭凸集．
(2) 当x Î C时，y = x．显然y是x在C中的最佳逼近元．
当x Î C时，y = x0 + r (x - x0)/|| x - x0 ||．
"zÎC，|| x - y || = || ( x - x0 - r (x - x0)/|| x - x0 ||) ||
= || (1 - r/|| x - x0 ||) (x - x0) || = || x - x0 || - r．£ || x - x0 || - || z - x0 || £ || x - z ||．
因此，y是x在C中的最佳逼近元．

1.6.14解：即是求e t 在span{1, t, t 2}中的最佳逼近元 (按L2[0, 1]范数)．
将{1, t, t 2}正交化为{1, t - 1/2, (t - 1/2)2 - 1/12 } (按L2[0, 1]内积)
再标准化为{j0(t), j1(t), j2(t)}，则所求的a k= (e t, j k(t)) = ò[0, 1] e tj k(t) dt，k = 0, 1, 2．

1.6.15证明：设g(x) = (x - a) (x - b)2，则g(a) = g (b) = 0，g’(a) = (b - a)2，g’(b) = 0．
由Cauchy- Schwarz不等式，我们有
(ò[a, b] | f’’(x) |2 dx) · (ò[a, b] | g’’(x) |2 dx) ³ (ò[a, b] f’’(x) ·g’’(x) dx )2．因g’’(x) = 3x - (a + 2b)，
故ò[a, b] | g’’(x) |2 dx = ò[a, b] (3x - (a + 2b))2 dx = (b - a)3；
又ò[a, b] f’’(x) ·g’’(x) dx = ò[a, b] (3x - (a + 2b)) · f’’(x) dx = ò[a, b] (3x - (a + 2b))d f’(x)
= (3x - (a + 2b)) · f’(x)| [a, b] - 3ò[a, b] f’(x) dx = 2(b - a)；
故(b - a)3 ·ò[a, b] | f’’(x) |2 dx ³ (2(b - a))2 = 4(b - a)2．
所以ò[a, b] | f’’(x)|2 dx ³ 4/(b - a)．

1.6.16 (变分不等式)证明：设f (x) = a(x, x) - Re(u0, x)．
则f (x) = a(x, x) - Re(u0, x) ³ d || x ||2 - | (u0, x) |
³ d || x ||2 - || u0 || · || x || ³ - || u0 ||2/(4d ) > -¥．
即f在X上有下界，因而f在C有下确界m = inf xÎC f (x)．
注意到a(x, y)实际上是X上的一个内积，
记它所诱导的范数为|| x ||a = a(x, x)1/2，则|| · ||a与|| · ||是等价范数．
因此f (x) = a(x, x) - Re(u0, x) = || x ||a2 - Re(u0, x)．
设C中的点列{ xn }是一个极小化序列，满足m £ f (xn ) < m + 1/n ( "nÎN+ )．
则由平行四边形等式，
|| xn - xm ||a2 = 2(|| xn ||a2 + || xm ||a2 ) - 4|| (xn + xm)/2 ||a2
= 2( f (xn) + Re(u0, xn) + f (xm) + Re(u0, xm) ) - 4( f ((xn + xm)/2) + Re(u0, (xn + xm)/2))
= 2( f (xn) + f (xm)) - 4 f ((xn + xm)/2) + 2 Re( (u0, xn) + (u0, xm) - (u0, xn + xm) )
= 2( f (xn) + f (xm)) - 4 f ((xn + xm)/2)
£ 2( m + 1/n + m + 1/m ) - 4 m
= 2(1/n + 1/m) ® 0 ( m, n ® ¥ )．
因此|| xn - xm ||2 £ (1/d) || xn - xm ||a2 ® 0 ( m, n ® ¥ )．
即{ xn }为X中的基本列．
由于X完备，故{ xn }收敛．设xn® x0 ( n ® ¥ )．
则|| xn - x0 ||a2 £ M || xn - x0 ||2 ® 0 ( m, n ® ¥ )．
而由内积a( · , · )，( · , · )的连续性，有
a( xn , xn ) ® a( x0 , x0 )，且(u0, xn) ® (u0, x0)，( n ® ¥ )．
因此f (xn) = a(xn, xn) - Re(u0, xn) ® a(x0, x0) - Re(u0, x0) = f (x0)，( n ® ¥ )．
由极限的唯一性，f (x0) = m = inf xÎC f (x)．
至此，我们证明了f 在C上有最小值．下面说明最小值点是唯一的．
若x0, y0都是最小值点，则交错的点列{ x0, y0, x0, y0, x0, ... }是极小化序列．
根据前面的证明，这个极小化序列必须是基本列，
因此，必然有x0 = y0．所以最小值点是唯一的．
最后我们要证明最小点x0ÎC满足给出的不等式．
"xÎC，"tÎ[0, 1]，有x0 + t ( x - x0)ÎC，因此有f (x0 + t ( x - x0)) ³ f (x0)．
即|| x0 + t ( x - x0) ||a2 - Re(u0, x0 + t ( x - x0)) ³ || x0 ||a2 - Re(u0, x0)．
展开并整理得到t Re ( 2a(x0, x - x0) - (u0, x - x0) ) ³ - t2 || x - x0 ||a2．
故当"tÎ(0, 1]，有Re ( 2a(x0, x - x0) - (u0, x - x0) ) ³ - t || x - x0 ||a2．
令t ® 0就得到 Re ( 2a(x0, x - x0) - (u0, x - x0) ) ³ 0．

2.1.2

2.1.3

2.1.4

2.1.5

2.1.6

2.1.7

2.1.8

2.1.9

2.2.2

2.2.5

2.3.1

2.3.3-2

2.3.4

2.3.5

2.3.7

2.3.8

2.3.9

2.3.11

2.3.12

2.3.13

2.3.14

2.4.4

2.4.5

2.4.6

2.4.7

2.4.8

2.4.9

2.4.10

2.4.11

2.4.12

2.4.13

2.4.14

2.5.4
2.5.5

2.5.7

2.5.8

2.5.10

2.5.12

2.5.18

2.5.20

2.5.22

2.6.1

2.6.2

2.6.3

2.6.4