泛函分析答案泛函分析解答.doc
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1、第五章习题第一部分01-151. M为线性空间X的子集,证明span( M )是包含M的最小线性子空间证明显然span( M )是X的线性子空间设N是X的线性子空间,且M N则由span( M )的定义,可直接验证span( M ) N所以span( M )是包含M的最小线性子空间2. 设B为线性空间X的子集,证明conv(B) = | a i 0, = 1, x iB, n为自然数证明设A = | a i 0, = 1, x iB, n为自然数首先容易看出A为包含B的凸集,设F也是包含B的凸集,则显然有A F,故A为包含B的最小凸集3. 证明a, b上的多项式全体Pa, b是无限维线性空间,
2、而E = 1, t, t 2, ., t n , .是它的一个基底证明首先可以直接证明Pa, b按通常的函数加法和数乘构成线性空间,而Pa, b中的任一个元素皆可由E中有限个元素的线性组合表示设c0, c1, c2, ., cm是m + 1个实数,其中cm 0,m 1若= 0,由代数学基本定理知c0 = c1 = c2 = . = cm = 0,所以中任意有限个元素线性无关,故Pa, b是无限维线性空间,而E是它的一个基底。4. 在R2中对任意的x = (x1, x2) R2,定义| x |1 = | x1 | + | x2 |,| x |2 = (x12 + x22)1/2,| x | =
3、max | x1 |, | x2 | 证明它们都是R2中的范数,并画出各自单位球的图形证明证明是直接的,只要逐条验证范数定义中的条件即可单位球图形略5. 设X为线性赋范空间,L为它的线性子空间。证明cl(L)也是X的线性子空间证明x, ycl(L),aK,存在L中的序列 xn , yn 使得xn x,yn y从而x + y = lim xn + lim yn = lim (xn + yn)cl(L),a x = a lim xn = lim (a xn ) cl(L)所以cl(L)是X的线性子空间注这里cl(L)表示子集L的闭包6. 设X为完备的线性赋范空间,M为它的闭线性子空间,x0 M证明
4、:L = a x0 + y | yM, aK也是X的闭线性子空间证明若a, bK,y, z M使得a x0 + y = b x0 + z,则(a - b) x0 = z - y M,得到a = b,y = z;即L中元素的表示是唯一的若L中的序列 an x0 + yn 收敛于X中某点z,则序列 an x0 + yn 为有界序列由于M闭,x0 M,故存在$r 0,使得| x0 - y | r,y M则当an 0时有| an | = | an | r (1/r) | an | | x0 + yn/an | (1/ r) = | an x0 + yn | (1/r),所以数列 an 有界,故存在 a
5、n 的子列 an(k) 使得an(k) a K这时yn(k) = (an x0 + yn) - an x0 z - a x0 M所以z L,所以L闭注在此题的证明过程中,并未用到“X为完备的”这一条件7. 证明:a. 在R2中,| |1,| |2与| |都是等价范数;b. | |1与| |2是等价范数的充要条件是:X中任意序列在两个范数下有相同的收敛性证明a. 显然| x | | x |2 | x |1 2| x |,所以| |1,| |2与| |都是等价范数b. 必要性是显然的,下面证明充分性首先inf | x |2 | | x |1 = 1 0若inf | x |2 | | x |1 =
6、1 = 0,则存在X中序列 xn ,使得| xn |1 = 1,| xn |2 0而任意序列在两个范数下有相同的收敛性,从而| xn |1 0这矛盾说明inf | x |2 | | x |1 = 1 = a 0对xX,当x 0时,| (x/| x |1) |1 = 1,所以| (x/| x |1) |2 a故xX有a | x |1 | x |2类似地可以证明存在b 0使得b | x |2 | x |1,xX所以两个范数等价8. 证明:Banach空间m不是可分的证明见教科书p187, 例3.59. 证明:是可分的Banach空间证明见第4章习题1610. 设X, Y为线性赋范空间,TB(X,
7、Y)证明T的零空间N(T) = xX | Tx = 0 是的闭线性子空间证明显然N(T) = xX | Tx = 0 是X的线性子空间对xN(T)c,Tx 0,由于T是连续的,存在x的邻域U使得uU有Tu 0,从而U N(T)c故N(T)c是开集,N(T)是X的闭子空间11. 设无穷矩阵( a i j ),( i, j = 1, 2, .)满足,定义算子T : m m如下:y = Tx,其中x = (x i ), y = (h i ) m证明:T是有界线性算子,并且。证明因,及T是线性的,所以T为有界线性算子, 。对任意的实数,存在自然数使得。取,使得其第个坐标,则,且。所以,故有,从而。12
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