概率论习题解答(第5章).doc

第5章习题答案
三、解答题
1. 设随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，且X～P(l)，，试利用契比谢夫不等式估计的下界。
解：因为X～P(l)，

由契比谢夫不等式可得

2. 设E(X) = – 1，E(Y) = 1，D(X) = 1，D(Y) = 9，r XY = – 0.5，试根据契比谢夫不等式估计P{|X + Y | ³ 3}的上界。
解：由题知 ==0
Cov=== -1.5

所以
3. 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布．现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的．求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率．
解：设i个元件寿命为Xi小时，i = 1 ,2 , ...... , 16 ，
则X1 ，X2 ，... ，X16独立同分布，且 E(Xi ) =100，D(Xi ) =10000，i = 1 ,2 , ...... , 16 ，
，
由独立同分布的中心极限定理可知：近似服从N ( 1600 , 1.610000)，所以
=
=1- 0.7881= 0.2119
4. 某商店负责供应某地区1000人商品，某种商品在一段时间内每人需要用一件的概率为0.6，假定在这一时间段各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销（假定该商品在某一时间段内每人最多可以买一件）．

解：设商店应预备n件这种商品，这一时间段内同时间购买此商品的人数为X ，
则X ~ B（1000，0.6），则E(X) = 600，D (X ) = 240，
根据题意应确定最小的n，使P{X ≤n }= 99.7%成立.
则P{X ≤n }
所以，取n=643。
即商店应预备643件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销。
5. 某种难度很大的手术成功率为0.9，先对100个病人进行这种手术，用X记手术成功的人数，求P{84 < X < 95}．
解：依题意, X ~ B（100，0.9），则E(X) = 90，D (X ) = 9，

6. 在一零售商店中，其结帐柜台替顾客服务的时间（以分钟计）是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1．求对100位顾客的总服务时间不多于2小时的概率．
解：设柜台替第i位顾客服务的时间为X i ，i = 1,2,3.....100.
则X i ，i = 1,2,3.....100独立同分布，且E（X i）=1.5，D(X i )=1，所以

即对100位顾客的服务时间不多于两个小时的概率为0.0013.
7. 已知笔记本电脑中某种配件的合格率仅为80%，某大型电脑厂商月生产笔记本电脑10000台，为了以99.7%的把握保证出厂的电脑均能装上合格的配件，问：此生产厂商每月至少应购买该种配件多少件？
解：设此生产厂商每月至少应购买n件该种配件，其中合格品数为X，则X ~ B(n，0.8),
0.997=P{X³10000}= ，
解得 n=12655
即此生产厂商每月至少应购买12655件改种配件才能满足以99.7的把握保证出厂的电脑均能装上合格的配件。
8. 已知一本300页的书中，每页的印刷错误的个数服从参数为0.2的泊松分布，试求整书中的印刷错误总数不多于70个的概率．

解：记每页印刷错误个数为，i=1，2，3，…300，
则它们独立同服从参数为0.2的泊松分布，所以E（X i）=0.2，D(X i )=0.2
所以

9. 设车间有100台机床，假定每台机床是否开工是独立的，每台机器平均开工率为0.64，开工时需消耗电能a千瓦，问发电机只需供给该车间多少千瓦的电能就能以概率0.99保证车间正常生产？
解：设发电机只需供给该车间m千瓦的电能就能以概率0.99保证车间正常生产，
记X为100台机床中需开工的机床数，则X ~ B(100，0.64),
E（aX）=64a ，D(aX ) =100×0.64×0.36a2

，所以
10. 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元．若老人在该年内死亡，公司付给家属1万元．设老年人死亡率为0.017，试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率．
解：设当年内投保老人的死亡数为X，则X ~ B (10000,0.017)。
保险公司在一年内的保险亏本的概率为

所以保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率是0.01
四、应用题
1. 某餐厅每天接待400名顾客，设每位顾客的消费额（单位：元）服从区间(20，100)上的均匀分布，且顾客的消费额是相互独立的，求该餐厅的日营业额在其平均营业额760元内的概率．
解：设每位顾客的消费额为Xi ，i =1,2,…400, 且 X i ~ U (20，100)，则
，
由独立同分布的中心极限定理

,
所以

2. 设某型号电子元件的寿命（单位：小时）服从指数分布，其平均寿命为20小时，具体使用时当一元件损坏后立即更换另一新元件，已知每个元件进价为110元，试问在年计划中应为此元件作多少元的预算，才可以有95%的把握保证一年的供应（假定一年工作时间为2000小时）．
解：设应为这种元件作m元的预算，即需进m/110个元件，
记第件的寿命为Xi小时，i =1，2，3···, m/110，且X i ~ E (20)，
所以E（X i）= 20 ，D(X i ) = 400，

==0.95
，所以所以m=12980
即在年计划中应为此元件作12980元的预算，才可以有95%的把握保证一年的供应.
3. 据调查某村庄中一对夫妻无孩子、有1个孩子、有2个孩子的概率分别为0.05，0.8，0.15．若该村共有400对夫妻，试求：(1) 400对夫妻的孩子总数超过450的概率；(2) 只有1个孩子的夫妻数不多于340的概率．
解：(1) 设第k对夫妻 孩子数为X k ，则X k的分布律为

X k
0
1
2
p
0.05
0.8
0.15
则，

故即400对夫妻的孩子总数超过450的概率为0.1357
(2) 设Y为只有一个孩子的夫妻对数，则Y ~ B (400,0.8)，

即只有1个孩子的夫妻数不多于340的概率为0.9938．

（B）
1. 设随机变量的概率密度为，m为正整数，证明：（提示：利用Chebyshev不等式）．
证明：E（X）=f(x)d=，

由切比雪夫不等式
==
2. 设为独立同分布的随机变量序列，其共同的分布如下表所示，证明服从Chebyshev大数定律．

Xn

0

pk
1/4
1/2
1/4
证明： ，

又因为独立且同分布，所以服从切比雪夫大数定律.
3. 设随机变量序列独立同分布，，又存在（n=1,2,…），证明：．（提示：利用Chebyshev大数定律）
证明：因为随机变量序列独立同分布，所以也独立同分布
，存在
由Chebyshev大数定律，

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