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第1章 信号与系统的基本概念
1.1 引言
系统是一个广泛使用的概念，指由多个元件组成的相互作用、相互依存的整体。我们学习过“电路分析原理”的课程，电路是典型的系统，由电阻、电容、电感和电源等元件组成。我们还熟悉汽车在路面运动的过程，汽车、路面、空气组成一个力学系统。更为复杂一些的系统如电力系统，它包括若干发电厂、变电站、输电网和电力用户等，大的电网可以跨越数千公里。
我们在观察、分析和描述一个系统时，总要借助于对系统中一些元件状态的观测和分析。例如，在分析一个电路时，会计算或测量电路中一些位置的电压和电流随时间的变化；在分析一个汽车的运动时，会计算或观测驱动力、阻力、位置、速度和加速度等状态变量随时间的变化。系统状态变量随时间变化的关系称为信号，包含了系统变化的信息。
很多实际系统的状态变量是非电的，我们经常使用各种各样的传感器，把非电的状态变量转换为电的变量，得到便于测量的电信号。
隐去不同信号所代表的具体物理意义，信号就可以抽象为函数，即变量随时间变化的关系。信号用函数表示，可以是数学表达式，或是波形，或是数据列表。在本课程中，信号和函数的表述经常不加区分。
信号和系统分析的最基本的任务是获得信号的特点和系统的特性。系统的分析和描述借助于建立系统输入信号和输出信号之间关系，因此信号分析和系统分析是密切相关的。
系统的特性千变万化，其中最重要的区别是线性和非线性、时不变和时变。这些区别导致分析方法的重要差别。本课程的内容限于线性时不变系统。
我们最熟悉的信号和系统分析方法是时域分析，即分析信号随时间变化的波形。例如，对于一个电压测量系统，要判断测量的准确度，可以直接分析比较被测的电压波形（测量系统输入信号）和测量得到的波形（测量系统输出信号），观察它们之间的相似程度。为了充分地和规范地描述测量系统的特性，经常给系统输入一个阶跃电压信号，得到系统的阶跃响应，图1-1是典型的波形，通过阶跃响应的电压上升时间（电压从10％上升至90％的时间）和过冲（百分比）等特征量，表述测量系统的特性，上升时间和过冲越小，系统特性越好。其中电压上升时间反映了系统的响应速度，小的上升时间对应快的响应速度。如果被测电压快速变化，而测量系统的响应特性相对较慢，则必然产生较大的测量误差。
信号与系统分析的另一种方法是频域分析。信号频域分析的基本原理是把信号分解为不同频率三角信号的叠加，观察信号所包含的各频率分量的幅值和相位，得到信号的频谱特性。图1-2是从时域和频域观察一个周期矩形波信号的示意图，由此可以看到信号频域和时域的关系。系统的频域分析是观察系统对不同频率激励信号的响应，得到系统的频率响应特性。频域分析的重要优点包括：（1）对信号变化的快慢和系统的响应速度给出定量的描述。例如，当我们要用一个示波器观察一个信号时，需要了解信号的频谱特性和示波器的模拟带宽，当示波器的模拟带宽能够覆盖被测信号的频率范围时，可以保证测量的准确。（2）为线性系统分析提供了一种简化的方法，在时域分析中需要进行的微分或积分运算，在频域分析中简化成了代数运算。
图1-1 典型电压测量系统的输入和输出波形
输入信号
t
0
输出信号
t
0
过冲
上升时间

图1-2 周期矩形波信号的时域和频域

信号和系统分析还有复频域分析的方法，对于连续信号和系统，基于拉普拉斯变换，称为域分析；对于离散信号和系统，基于变换，称为域分析。基于复频域分析，能够得到信号和系统响应的特征参数，即频率和衰减，分析系统的频率响应特性和系统稳定性等；复频域分析也能简化系统分析，将在时域分析中需要进行的微分或积分运算简化为复频域中的代数运算。
本课程将学习信号和系统分析的基本方法和原理，包括时域分析、频域分析和复频域分析。随着计算机技术和数字信号处理技术的发展和应用，离散信号和离散系统的分析方法具有非常广泛的实际应用。本课程在深入学习连续信号和系统的分析方法的基础上，进一步学习离散信号和系统的分析方法。信号和系统分析的重要工具是信号变换，本课程依据信号变换方法的内在联系，将依次介绍连续周期信号傅里叶级数（FS）、连续信号傅里叶变换（FT）、拉普拉斯变换、离散周期信号傅里叶级数（DFS）、离散时间傅里叶变换（DTFT）、变换，以及用于计算机计算的离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）。
1.2 信号的分类
1.2.1 连续时间信号和离散时间信号
连续时间信号简称为连续信号，在所讨论的信号时间区间内，除了若干不连续点之外，任意时间都有确定的信号取值。连续信号的符号表示为，为时间，连续取值。当需要区分连续信号和离散信号时，以下标表示连续信号，表示为。图1-3是一个连续信号的示意图。
连续信号可分为非奇异信号和奇异信号。当信号和信号的各阶导数在整个时间区间都是连续时，称为非奇异信号；当信号或信号的某阶导数存在不连续点（跳变点）时，称为奇异信号。注意，如果一个信号本身是连续的，但若干次求导以后的导函数存在不连续点，则是奇异信号。一个非奇异信号和一个奇异信号相加或相乘，其结果通常仍为一个奇异信号。
离散时间信号简称为离散信号，在所讨论的信号时间区间内，信号只在一些离散时间点取值，其他时间无定义。离散信号的符号表示为，为离散点序数，取整数值。这里用下标表示离散信号，以区分连续信号和离散信号。图1-4是一个离散信号的示意图。注意，在离散点之间，信号无定义，不要理解为信号取零值。
离散信号通常来自于对连续信号的抽样，并且经常是等间隔抽样。相邻两个抽样点之间的时间间隔称为抽样周期或抽样间隔，用表示；单位时间的抽样点数称为抽样率，用表示，有。信号抽样满足关系。在离散信号分析中，经常隐去时间的概念，因此也称为离散序列。
实际中还经常用到模拟信号和数字信号的概念。所谓模拟信号，信号的时间和幅值都连续取值。本课程中不区分模拟信号和连续信号。所谓数字信号，信号的时间和幅值都离散取值。实际中的信号抽样，由于模数转换器（A/D转换器）的位数限制，抽样得到的离散点的信号幅值都是离散的，所以是数字信号。
图1-4 离散信号

0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
-2

0
图1-3 连续信号

1.2.2 周期信号和非周期信号
周期信号是以一定时间间隔周期重复的信号，无始无终。
连续周期信号满足关系
（1-1）
称为连续周期信号的周期。
离散周期信号满足关系
（1-2）
取正整数，称为离散周期信号的周期。
1.2.3 能量有限信号和能量无限信号
一个连续信号的能量定义为
（1-3）
当为复信号时，。信号的能量可理解为：假设是一个电压信号或电流信号，它作用在一个1Ω电阻上时所消耗的能量为信号能量。
一个离散信号的能量定义为
（1-4）
当为复信号时，。
对于连续信号和离散信号，当信号的能量为有限值时称为能量有限信号，否则称为能量无限信号。式（1-3）和式（1-4）中取信号的绝对值，表示信号能量的定义对复信号也成立。
1.3 典型信号
1.3.1 典型连续非奇异信号
1. 三角信号
三角信号有正弦和余弦两种表示形式，为方便起见，本教材选择余弦函数的表示方式。三角信号的一般表达式为
（1-5）
式中为信号幅值，为角频率，为初始相位。以后在提到三角信号的初始相位时，均指余弦表示方式下的初始相位。三角信号的角频率、频率和周期满足关系：。当三角信号的角频率时为直流信号，直流信号是三角信号的一个特例。图1-5是一个三角信号的典型波形。
2. 指数信号
指数信号的表达式为
（1-6）
式中和均为实数，为时的信号幅值，为衰减系数，当时，随时间增大而增加；当时，随时间增大而减小。图1-6是指数信号的典型波形。
图1-6 指数信号波形

0

图1-5 三角信号波形

0

3. 复指数信号
复指数信号的表达式为
（1-7）
式中和既可为实数也可为复数，有以下几种情况。
（1）当和都为实数时，就是一个指数信号。指数信号是复指数信号的一个特例。
（2）当为实数，为复数时，设
（1-8）
有
（1-9）
根据欧拉公式
（1-10a）
（1-10b）
于是有
（1-11）
此时的实部和虚部都是一个指数包络的三角函数，复数的实部和虚部分别表示衰减系数和角频率。当时，有
（1-12）
它的实部和虚部都是无衰减的三角函数。
（3）如果和都为复数，设
（1-13）
则有
（1-14）
其实部和虚部分别是一个指数包络的三角函数，复数的模和辐角分别表示指数包络三角函数的幅值和初始相位，复数的实部和虚部分别表示衰减系数和角频率。
复指数信号是一个抽象的信号，实际中并不存在复指数信号，但借助于复指数信号，可以表示指数信号、三角信号和指数包络三角信号，描述了幅值、衰减、频率和相位等特征量。
4. 三角信号的复指数表示
一个三角信号可以用一对共轭复指数信号表示，根据欧拉公式，它们满足关系
（1-15）
（M是实数，A1、A2是复数。）
图1-7显示了在复平面上一对共轭复指数信号叠加为一个实三角信号的关系。在复平面上，共轭复函数和是一对旋转的单位向量，向量始端在原点，长度为1，分别以和的角速度旋转。在时，两个旋转向量的起始位置在正实轴，即初始相位均为零；在任意时间，两个单位旋转向量与实轴的夹角分别为和。两个向量在实轴上的投影都是，在虚轴上的投影分别为和。和始终关于实轴对称，两个向量叠加得到向量，始终在实轴上变化，是一个实函数，最大幅值为2。
式（1-15）中的共轭复数和是复平面上两个关于实轴为对称的固定向量，向量始端在原点，长度为，辐角分别为和。
图1-7 三角信号和复指数信号的关系

复数和与复函数和分别相乘，得和，它们也是复平面上一对旋转的共轭向量，始端在原点，长度为，分别以角速度和旋转，初始相位分别为和。在任意时间，两个向量与实轴的夹角分别为和。这两个向量在实轴上的投影均为，在虚轴上的投影分别为和。两个向量始终关于实轴对称，叠加得向量，始终在实轴上变化，最大幅值为。
由此可见，一对任意幅值和初始相位的共轭复指数信号的叠加是一个实三角信号。反过来，任意幅值和初始相位的三角信号可分解为两个复指数信号的叠加。共轭复数和的模和辐角对应于三角信号的幅值和初始相位，单位共轭复函数和的角频率对应于三角信号的角频率。
一个实三角信号分解为正、负两个频率的复指数信号的叠加，引出了负频率的概念，这个负频率的物理意义表示的还是实际的相同数值的正频率。
信号的复指数表示把指数信号、三角信号和指数包络三角信号统一到了同一个形式，同时包含了幅值、衰减、频率和相位等特征量，给信号和系统分析带来了很大方便，因此得到了大量使用。
5. 抽样信号
抽样信号的表达式为
（1-16）
其波形如图1-8。在时刻，抽样信号取值为
（1-17）
抽样信号满足以下关系
（1-18）
图1-8 抽样信号波形

0

图1-9 单位阶跃信号

0

1.3.2 典型奇异信号
1. 单位阶跃信号
单位阶跃信号的定义为
（1-19）
（1-20）
图1-9是单位阶跃信号的波形，在处信号跳变。
2. 单位冲激信号
单位冲激信号的定义为
和 （1-21）
和 （1-22）
图1-10是单位冲激信号的图形表示。
直观地理解，单位冲激信号具有两个基本特点：其一，信号在一个无穷小时间区间里取非零值，其他区间为零或无穷小；其二，信号波形的净面积为1。因为信号在无穷小区间内的净面积是1，所以信号的幅值必然是无穷大。
图1-11 单位冲激信号的逼近

0

图1-10 单位冲激信号

0

图1-11是用矩形脉冲取极限得单位冲激信号的情况。设矩形脉冲的宽度为，面积为1，则高度为。压缩脉冲的宽度，保持其面积不变，则脉冲的高度增加。当矩形脉冲宽度时，矩形脉冲高度，矩形脉冲趋于单位冲激脉冲，即
（1-23）
抽样信号取极限也可得到冲激信号。构造信号，当和时，有；当和时，有（此处应用了广义极限）。可见，当时，信号波形宽度趋于，幅值趋于，且有
（1-24）
因此
（1-25）
将任意形状的信号进行水平压缩，如果它满足上述冲激信号的两个特点，就可以用冲激信号表示。如果波形的净面积不是1，而是一个常数，则可以用一个强度为的冲激信号表示，即。
单位冲激函数具有以下基本特性：
（1）与单位阶跃函数的关系
（1-26）
（1-27）
（2）抽样特性
（1-28）
（1-29）
（3）奇偶特性
（1-30）
（4）尺度特性
（1-31）
以下几个例子可以帮助理解冲激信号的物理意义。
例1-1 在图1-12中，一个直流电源对电容充电，当开关在时刻关合时，电容在瞬间被充电至电压。设电容的初始电压为0，则电容的电荷随时间的变化为
（1-32）
充电电流是电荷变化的导函数
（1-33）
它是一个强度为的冲激信号。实际电路中不可避免地有电感和电阻，充电时间不可能为无穷小，充电电流幅值也达不到无穷大，但在充电电流持续时间很短、电流幅值很大的情况下，可用冲激信号近似表示。
例1-2 在图1-13中，一个质量为的刚性球处于静止状态，在时刻被另一刚性球撞击，开始以速度运动，因为撞击时间很短，则被撞刚性球的速度变化为
（1-34）
其加速度为
（1-35）
其所受到的撞击力为
（1-36）
被撞击球所受的撞击力和运动加速度都可以用冲激信号表示。实际中的撞击时间不可能为无穷小，因此撞击力也达不到无穷大，但在撞击时间很短的情况下可以用冲激信号近似表示。

图1-13 刚性球碰撞

图1-14 长线上质点的线密度

图1-12 直流电源对电容充电

例1-3 图1-14所示是一根长线，在和两位置有两个质量分别为和的质点，长线其他部分无质量。该长线质量分布随变化的关系为
（1-37）
其质量线密度为
（1-38）
实际中的质点总具有一定的尺寸，在尺寸很小的情况下，质量线密度可以用冲激信号表示。
3. 单位冲激偶信号
单位冲激偶信号的定义为
（1-39）
单位冲激偶信号的基本特性：
（1-40）
（1-41）
（1-42）
（1-43）
（1-44）
1.3.3 典型离散信号
1．单位样值信号
单位样值信号的定义为
（1-45）
（1-46）
图1-15是单位样值信号的波形。单位样值信号不是单位冲激信号的抽样。
2．单位阶跃序列
单位阶跃序列的定义为
（1-47）
（1-48）
图1-16是单位阶跃序列的波形。对连续单位阶跃信号进行抽样，并设定在时刻对单位阶跃信号的抽样值为1，则抽样结果为单位阶跃序列。
图1-16 单位阶跃序列

-2 -1 0 1 2 3

···
图1-15 单位样值信号

-2 -1 0 1 2 3

3．三角序列
三角序列的表达式为
（1-49）
式中为幅值，为离散角频率，表示单位离散间隔信号变化的角度（用弧度表示），为初始相位。图1-17是三角序列的波形。当三角序列的离散角频率为时，即为直流序列，直流序列是三角序列的特例。
图1-17 三角序列

0

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
-2

三角序列经常来自于对连续三角信号的数值抽样，如果抽样周期是，则有
（1-50）
此时离散角频率和连续角频率的关系为
（1-51）
连续角频率表示连续三角信号在单位时间内变化的角度，离散角频率表示离散三角序列在单位离散间隔内变化的角度，请注意理解和区分它们的物理意义。
对连续三角信号抽样得离散三角序列，虽然是周期信号，但并不一定是周期信号。设的周期为，抽样周期为，则的周期性取决于和的关系。如果存在非零正整数和，满足，即为有理数，则为周期序列。如果是既约分数，则的周期为。当为无理数时，不会周期重复，为非周期序列。
4．指数序列
指数序列的表达式为
（1-52）
式中和均为实数，为时的信号幅值，为离散衰减系数，当时，随增大而增加；当时，随增大而减小。图1-18是指数序列的典型波形。
对连续指数信号抽样，可得离散指数序列
（1-53）
其中
（1-54）
表示一个抽样间隔中的信号衰减。
图1-18 指数序列波形

0

5． 复指数序列
复指数序列的表达式为
（1-55）
式中和可为实数或复数。类似于连续复指数函数，随着和取值的不同，也有不同的变化。
（1）当和都为实数时，有
（1-56）
此为实指数序列。指数序列是复指数序列的一个特例。
（2）当为实数，为复数时，设
（1-57）
有
（r为e的σ次方） （1-58）
其实部和虚部都是指数包络的三角序列，复数的实部和虚部分别表示了离散信号的衰减和角频率。当时，有
（1-59）
其实部和虚部都是三角序列。
（3）当和都为复数时，设
， （1-60）
则有
（1-61）
其实部和虚部分别是一个指数包络的三角序列，复数的模和辐角分别表示了指数包络三角序列的幅值和初始相位，复数的实部和虚部分别表示了衰减和角频率。借助于离散复指数信号，可以表示离散指数信号、离散三角信号和离散指数包络三角信号，描述了幅值、衰减、频率和相位等特征量。
和连续三角信号类似，一个离散三角序列可以表示为一对共轭的离散复指数序列的叠加，即
（1-62）
依然可以用类似于图1-7所示的向量图表示离散三角序列和离散复指数序列的关系，差别在于，连续信号情况下，旋转向量连续旋转，旋转角频率分别为和；离散信号情况下，旋转向量离散（步进）旋转，旋转角频率（单位离散间隔步进的角度）分别为和。
1.4 信号的运算
1.4.1 信号的移位、反褶与尺度变化
已知信号，是对的移位运算，正号对应于波形左移时间；负号对应于波形右移时间。是对的尺度运算，当时，波形在水平方向被压缩；当时，波形在水平方向被扩展。是对的反褶运算。
信号同时包含了对信号的移位、反褶和尺度运算。具体运算步骤可分解如下：（1）改写信号形式
（1-63）
（2）由做尺度和反褶运算得；（3）由做移位运算得。在同时包含移位、反褶和尺度运算时，需注意运算步骤，否则会导致错误。
例1-4 已知信号，波形如图1-19(a)所示。求的波形。
解 改写信号形式，得 。由做尺度运算，得，波形如图1-19(b)所示。对做反褶运算，得，波形如图1-19(c)所示。再对右移，得，最终波形如图1-19(d)所示。
图1-19 信号的移位、反褶与尺度

0
(c)

0 2.5
(d)

0
(b)

0
(a)

图1-20 信号周期延拓

0
(c)

0
(b)

0
(a)

…
…
…
…

1.4.2 信号相加和相乘
已知信号和，信号相加运算为
（1-64）
信号相乘运算为
（1-65）
如果和为周期信号，它们的周期分别为和，那么的周期性取决于和的关系。如果存在非零正整数和，满足，即为有理数，则为周期信号。如果是既约分数，则的周期为或。如果为无理数，则为非周期信号。可以看到，周期信号相叠加并不一定是周期信号，只有它们的周期之比为有理数时，叠加后的信号才保持周期性。
1.4.3 信号的周期延拓
已知非周期信号，它的周期延拓为
（1-66）
其中为延拓周期。为周期信号，周期等于延拓周期。图1-20为信号周期延拓示意图，它包括无混叠周期延拓和有混叠周期延拓两种情况。当信号非零值的时间有限（简称时间有限），且非零值的时间小于延拓周期时，重复移位的波形互相不混叠，为无混叠延拓，如图1-20(b)所示。当信号非零值的时间无限（简称时间无限），或者时间有限，但非零值的时间大于延拓周期时，重复移位的波形互相混叠，为有混叠延拓，如图1-20(c)所示。
1.4.4 信号的抽样
所谓抽样，就是从连续信号中，每隔一定时间间隔抽取一个样本，通常为等间隔抽样，抽样间隔也称抽样周期。信号抽样有脉冲抽样和数值抽样两种方式。
图1-22 信号冲激脉冲抽样

…
…
(a)
(b)
(c)
图1-21 信号矩形脉冲抽样

…

…
(a)
(b)
(c)
脉冲抽样是用一个周期脉冲信号和被抽样信号相乘，得到抽样信号，此处下标表示周期信号，下标表示连续信号，下标表示脉冲抽样信号。当抽样用的周期脉冲信号为矩形脉冲时，称为矩形脉冲抽样，图1-21为矩形脉冲抽样的情况。当抽样用的周期脉冲信号为冲激脉冲时，称为冲激脉冲抽样，图1-22为冲激脉冲抽样的情况。脉冲抽样信号仍为连续信号。数值抽样是以时间间隔抽取连续信号的函数值，得离散信号，此处以下标表示离散信号。图1-23为信号数值抽样的情况。
图1-23 信号数值抽样

(a)
(b)

1.5 信号的分解
信号分解是为了分析信号的方便把一个信号分解为多个（有限个或无限个）较为简单的信号分量的叠加。信号分解的概念和方法是信号分析的精髓。常用的信号分解方式有：直流分量和交流分量分解，偶分量和奇分量分解，实分量和虚分量分解，脉冲分量分解，正交分量分解等。信号脉冲分量分解和正交分解的概念留待后面详细介绍。
1.5.1 直流分量与交流分量
任一信号可分解为直流分量和交流分量之和，即
（1-67）
其中是直流分量，为信号的平均值
（1-68）
是交流分量，是原信号中去掉直流分量后的部分。
在信号直流分量和交流分量分解的方式下，原信号的平均功率等于其直流分量的功率与其交流分量的平均功率之和。
1.5.2 偶分量与奇分量
任一信号可分解为偶分量和奇分量之和，即
（1-69）
其中为偶分量，为奇分量，且有
（1-70）
在信号偶分量与奇分量分解的方式下，原信号的平均功率等于其偶分量的平均功率与其奇分量的平均功率之和。
1.5.3 实部分量与虚部分量
任一复信号可分解为实部信号和虚部信号之和，即
（1-71）
其中为实部分量，为虚部分量，有
（1-72）
是的共轭。
在信号实部分量和虚部分量分解的方式下，信号平均功率为
（1-73）
即原信号的平均功率等于其实部分量的平均功率与其虚部分量的平均功率之和。
1.7 系统的分类
1.7.1 连续时间系统与离散时间系统
当系统的输入（激励）信号和输出（响应）信号都是连续信号时，称为连续时间系统。我们所熟悉的电路系统即为连续时间系统。连续时间系统通常用微分方程或微分方程组来描述。
当系统的输入信号和输出信号都是离散信号时，称为离散时间系统。离散时间系统可以通过一个软件程序来实现，在数字信号处理中大量使用。例如，在数字电度表中，首先对电压和电流进行抽样，得离散电压和离散电流信号，然后则通过实时的数字计算，获得离散的功率信号和电量信号，还可以分析谐波，计算谐波功率和电量。离散系统通常用差分方程或差分方程组来描述。
存在连续和离散混合的系统，即一个系统中同时包含连续信号和离散信号。例如数字电度表中的模数（A/D）转换系统，抽样前的信号是连续的，抽样后的信号是离散的。
1.7.2 动态系统与即时系统
系统在任意时刻的输出只取决于同时刻的系统输入，和系统过去的状态无关，则称为即时系统。如果系统的输出不仅取决于同时刻的系统输入，还取决于系统过去的状态，则称为动态系统。
即时系统不包含记忆元件。例如，对于电路系统，电感和电容能够储能，属于记忆元件，电阻则属于非记忆元件。因此，一个只包含电源和电阻的系统是即时系统，而包含了电感或电容的系统称为动态系统。动态系统用微分方程或差分方程描述，即时系统用代数方程描述。
1.7.3 线性系统和非线性系统
线性系统需要满足叠加性和均匀性。所谓叠加性，即多个激励信号作用于系统时所产生的响应等于每个激励单独作用时所产生的响应的叠加。所谓均匀性，即激励信号变化某个倍数时，响应也变化相同的倍数。
当系统为动态系统时，系统的响应不仅取决于激励，还取决于系统的储能，即系统的初始状态，系统的响应和激励之间不可能满足叠加性和均匀性。因此，严格意义上的线性系统不可能是动态系统，只能是即时系统。
在系统分析中，对线性系统的界定不是严格意义上的，而是扩展意义上的。扩展意义上的线性系统需满足：
（1） 系统响应可分解为由激励所产生的零状态响应和由初始状态所产生的零输入响应；
（2） 零状态响应和激励成线性关系，满足叠加性和均匀性；
（3） 零输入响应和初始状态成线性关系，满足叠加性和均匀性。
在线性系统分析中，可以进行信号的分解和叠加