工程光学课后答案(12-13-15章)1.doc

十二 十三 十五 

第十二章　习题及答案
１。双缝间距为１mm，离观察屏１m，用钠灯做光源，它发出两种波长的单色光　=589.0nm和=589.6nm，问两种单色光的第10级这条纹之间的间距是多少？
解：由杨氏双缝干涉公式，亮条纹时： （m=0, 1, 2···）
m=10时，，　
２。在杨氏实验中，两小孔距离为1mm，观察屏离小孔的距离为50cm，当用一片折射率1.58的透明薄片帖住其中一个小孔时发现屏上的条纹系统移动了0.5cm，试决定试件厚度。

S1
S2
r1
r2
D
x=5mm

,
3.一个长30mm的充以空气的气室置于杨氏装置中的一个小孔前，在观察屏上观察到稳定的干涉条纹系。继后抽去气室中的空气，注入某种气体，发现条纹系移动了２５个条纹，已知照明光波波长=656.28nm,空气折射率为。试求注入气室内气体的折射率。
S
S1
S2
r1

r2

４。垂直入射的平面波通过折射率为n的玻璃板，透射光经透镜会聚到焦点上。玻璃板的厚度沿着C点且垂直于图面的直线发生光波波长量级的突变d,问d为多少时焦点光强是玻璃板无突变时光强的一半。　　
C
解：将通过玻璃板左右两部分的光强设为,当没有突变d时，
当有突变d时

６。若光波的波长为，波长宽度为，相应的频率和频率宽度记为和，证明：，对于＝632.8nm氦氖激光，波长宽度，求频率宽度和相干
长度。 解：

当＝632.8nm时

相干长度　　　　　
７。直径为0.1mm的一段钨丝用作杨氏实验的光源，为使横向相干宽度大于1mm，双孔必须与灯相距多远？

　　　　　d

8。在等倾干涉实验中，若照明光波的波长，平板的厚度h=2mm，折射率n=1.5，其下表面涂高折射率介质（n>1.5），问（1）在反射光方向观察到的贺条纹中心是暗还是亮？（2）由中心向外计算，第10个亮纹的半径是多少？（观察望远镜物镜的焦距为20cm）
（3）第10个亮环处的条纹间距是多少？
解：（1）因为平板下表面有高折射率膜，所以

注意点：（1）平板的下表面镀高折射率介质
光疏～光密 有半波损失

光疏～光密 也有半波损失

光程差
(2)
当中心是亮纹时q=1
当中心是暗纹时q=0.5
其它情况时为一个分数

9。用氦氖激光照明迈克尔逊干涉仪，通过望远镜看到视场内有20个暗环，且中心是暗斑。然后移动反射镜M1，看到环条纹收缩，并且一一在中心消失了20个环，此时视场内只有10个暗环，试求（1）M1移动前中心暗斑的干涉级次（设干涉仪分光板G1不镀膜）;
（2）M1移动后第5个暗环的角半径。
解：

本题分析：1。视场中看到的不是全部条纹，视场有限
2。两个变化过程中，不变量是视场大小，即角半径不变
3。条纹的级次问题：
亮条纹均为整数级次，暗条纹均与之相差0.5，公式中以亮条纹记之

e
11.用等厚条纹测量玻璃楔板的楔角时,在长达5cm的范围内共有15个亮纹,玻璃楔板的折射率n=1.52,所用光波波长为600nm,求楔角.

12.图示的装置产生的等厚干涉条纹称牛顿环.证明,N和r分别表示第N个暗纹和对应的暗纹半径. 为照明光波波长,R为球面曲率半径.
C

R-h R

h

r
证明:由几何关系知,

R

R-y
|y|
z
h
0,x/1000
y
z
0.1mm
x
100mm
y
14.长度为10厘米的柱面透镜一端与平面玻璃相接触,另一端与平面玻璃相隔0.1mm,透镜的曲率半径为1m.问:(1)在单色光垂直照射下看到的条纹形状怎样0?(2)在透镜长度方向及与之垂直的方向上,由接触点向外计算,第N个暗条纹到接触点的距离是多少?设照明光波波长为500nm.

15.假设照明迈克耳逊干涉仪的光源发出波长为和的两个单色光波, ,
,这样当平面镜M1移动时,干涉条纹呈周期性地消失和再现,从而使条纹可见度作周期性变化.(1)试求条纹可见度随光程差的变化规律;(2)相继两次条纹消失时,平面镜M1移动的距离;(3)对于钠灯,设均为单色光,求值.

16.用泰曼干涉仪测量气体折射率.D1和D2是两个长度为10cm的真空气室,端面分别与光束I和II垂直.在观察到单色光照明=589.3nm产生的干涉条纹后,缓慢向气室D2充氧气,最后发现条纹 移动了92个,(1)计算氧气的折射率(2)若测量条纹精度为1/10条纹,示折射率的测量精度.

17.红宝石激光棒两端面平等差为,将其置于泰曼干涉仪的一支光路中,光波的波长为632.8nm,棒放入前,仪器调整为无干涉条纹,问应该看到间距多大的条纹?设红宝石棒的折射率n=1.76
e

18.将一个波长稍小于600nm的光波与一个波长为600nm的光波在F-P干涉仪上比较,当F-P干涉仪两镜面间距改变1.5cm时,两光波的条纹就重合一次,试求未知光波的波长.

关键是理解:每隔1.5mm重叠一次,是由于跃级重叠造成的.超过了自由光谱区范围后,就会发生跃级重叠现象.
常见错误:未导出变化量与级次变化的关系,直接将h代1.5mm就是错误的.

19.F-P标准具的间隔为2.5mm,问对于500nm的光,条纹系中心的干涉级是是多少?如果照明光波包含波长500nm和稍小于500的两种光波,它们的环条纹距离为1/100条纹间距,问未知光波的波长是多少?

20.F-P标准具的间隔为0.25mm,它产生的谱线的干涉环系中的第2环和第5环的半径分别是2mm和3.8mm, 谱系的干涉环系中第2环和第5环的半径分别是2.1mm和3.85mm.两谱线的平均波长为500nm,求两谱线的波长差.

L1
L2
透明薄片
1cm
21.F-P标准具两镜面的间隔为1cm,在其两侧各放一个焦距为15cm的准直透镜L1和会聚透镜L2.直径为1cm的光源(中心在光轴上)置于L1的焦平面上,光源为波长589.3nm的单色光;空气折射率为1.(1)计算L2焦点处的干涉级次,在L2的焦面上能看到多少个亮条纹?其中半径最大条纹的干涉级和半径是多少?(2)若将一片折射率为1.5,厚为0.5mm的透明薄片插入其间至一半位置,干涉环条纹应该怎么变化?

25。有一干涉滤光片间隔层的厚度为，折射率n=1.5。求（1）正入射时滤光片在可见区内的中心波长;（2）时透射带的波长半宽度;（3）倾斜入射时，入射角分别为和时的透射光波长。

注意:光程差公式中的是折射角,已知入射角应变为折射角.
第十三章习题解答
波长的单色光垂直入射到边长为3cm的方孔，在光轴（它通过孔中心并垂直方孔平面）附近离孔z处观察衍射，试求出夫琅和费衍射区的大致范围。
解： 夫琅和费衍射应满足条件

波长为500nm的平行光垂直照射在宽度为0.025mm的单逢上，以焦距为50cm的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹相对于中央亮纹的强度。
解：
（1）
（2）亮纹方程为。 满足此方程的第一次极大
第二次极大

一级次极大
二级次极大
（3）

10．若望远镜能分辨角距离为的两颗星，它的物镜的最小直径是多少？同时为了充分利用望远镜的分辨率，望远镜应有多大的放大率？
解：

11． 若要使照相机感光胶片能分辨线距，（1）感光胶片的分辨率至少是没毫米多少线；（2）照相机镜头的相对孔径至少是多大？（设光波波长550nm）
解：

12． 一台显微镜的数值孔径为0。85，问（1）它用于波长时的最小分辨距离是多少？（2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到1.45,分辨率提高了多少倍？（3）显微镜的放大率应该设计成多大？（设人眼的最小分辨率是）
解：（1）
（2）

（3）设人眼在250mm明视距离初观察

13． 在双逢夫琅和费实验中，所用的光波波长，透镜焦距,观察到两相临亮条纹间的距离，并且第4级亮纹缺级。试求：（1）双逢的逢距和逢宽；（2）第1，2，3级亮纹的相对强度。
解：(1)
又

将代入得

（2）当m=1时
当m=2时
当m=3时
代入单缝衍射公式
当m=1时
当m=2时
当m=3时
15． 一块光栅的宽度为10cm ,每毫米内有500条逢，光栅后面放置的透镜焦距为500nm。问：（1）它产生的波长的单色光的1级和2级谱线的半宽度是多少？（2）若入射光线是波长为632.8nm和波长与之相差0.5nm的两种单色光，它们的1级和2级谱线之间的距离是多少？
解：
由光栅方程 知
，
，
这里的，确定了谱线的位置
（1）（此公式即为半角公式）

（2）由公式 （此公式为线色散公式）
可得

16． 设计一块光栅，要求：（1）使波长的第二级谱线的衍射角，（2）色散尽可能大，（3）第三级谱线缺级，（4）在波长的第二级谱线处能分辨0.02nm的波长差。在选定光栅的参数后，问在透镜的焦面上只可能看到波长600nm的几条谱线？
解：设光栅参数 逢宽a ，间隔为d
由光栅方程

由于 若使 尽可能大，则d应该尽可能小

能看到5条谱线
19． 有多逢衍射屏如图所示，逢数为2N，逢宽为a，逢间不透明部分的宽度依次为a和3a。试求正入射情况下，这一衍射的夫琅和费衍射强度分布公式。
解：将多逢图案看成两组各为N条，相距d=6a

其中
代入得
两组光强分布相差的光程差

将 及
代入上式

[解法I] 按照最初的多逢衍射关系推导
设最边上一个单逢的夫琅和费衍射图样是：
其中
对应的光程差为：
对应的光程差为：

[解法II] N组双逢衍射光强的叠加
设

N组相叠加 d=6a

20． 一块闪耀光栅宽260mm，每毫米有300个刻槽，闪耀角为。（1）求光束垂直于槽面入射时，对于波长的光的分辨本领；（2）光栅的自由光谱范围多大？（3）试同空气间隔为1cm，精细度为25的法布里珀罗标准具的分辨本领和光谱范围做一比较。
解：
由解得

（2）
（3）

结论：此闪耀光栅的分辨率略高于F-P标准量，但其自由光谱区范围远大于F-P标准量。
21． 一透射式阶梯光栅由20块折射率相等、厚度相等的玻璃平板平行呈阶梯状叠成，板厚t=1cm，玻璃折射率n=1.5，阶梯高度d=0.1cm。以波长的单色光垂直照射，试计算（1）入射光方向上干涉主极大的级数；（2）光栅的角色散和分辨本领（假定玻璃折射率不随波长变化）。
解：（１）　　　（＊）
　　　　将　　　　代入上式得：

　　（２）对（＊）式两边进行微分：

23． 在宽度为b的狭逢上放一折射率为n、折射棱角为的小光楔，由平面单色波垂直照射，求夫琅和费衍射图样的光强分布及中央零级极大和极小的方向。
解：将该光楔分成N个部分，近似看成是一个由N条逢构成的阶梯光栅。则逢宽为，间隔为。
　　由多逢衍射公式：
　　其中为一个宽的逢产生的最大光强值
　　　　　　［为逢宽，为衍射角］

　　代入上式得：
　　　　　　当时　　

　　　单逢衍射发生了平移。

n=1.54

30

第十五章习题答案
1．一束自然光以角入射到玻璃和空气界面
玻璃的折射率n=1.54，试计算：
（1）反射光的偏振度
（2）玻璃空气界面的布儒斯特角
（3）以布儒斯特角入射时透射光的振幅。
解：（1）∵sin=
=1.54x=0.77

=-＝＝0.352792
设入射光强为
=0.12446=0.06223=0.06223
==-=-0.063066
==3.9773x=1.98866x
p=94%
(2）tg ＝

(3)
==1.54
p=
2.自然光以入射到10片玻璃片叠成的玻璃堆上，求透射的偏振度。
解: ① ②

在光线入射到上表面上时 代入①②式得
0.6157, =0.6669
光线射到下表面时

n=1.5
透过一块玻璃的系数：
透过10块玻璃后的系数：

2.38

1.38

2.38
3.已知，
求和膜层厚度。
解：（1） ①
②
由②式得
（2）膜层厚度应满足干涉加强条件 即：
（m为整数）
对于的膜层 有： 代入数得
＝＝228.4(nm)
对于的膜层
4.线偏振光垂直入射到一块光轴平行于界面的方解石晶体上，若光蕨量的方向与晶体主截面成（1）的夹角 求o光和e光从晶体透射出来后的强度比？
光轴
解：
设光矢量方向与晶体主截面成角，入射光振幅为A，且e光振幅
为Acos,o光振幅为Asin.在晶体内部 o光并不分开.
由公式, ,
①当＝30，＝＝0.3333
②当，＝1
③当，3
10.解：设的光强为，的光强为。设从W棱镜射出后平行分量所占比例为
垂直分量所占比例为1－. 从出射的光强为,从射出的光强为（1－）.
它们沿检偏器的投影 =（1－）.
垂直于图面
图面内
检偏器

自然光入射时， 。

12.已知： 自然光入射 p=98% 求d
解：自然光入射，则入射光中o光与e光强度相等，设为I
o光出射光强 e光强度

整理得： d=1.64cm
除真空外，一切介质对光均有吸收作用。在均匀介质中，可用朗佰特定律来描述光的吸收定律。朗佰特定律的数学表达式是：
式中 是入射光强 I－出射光强 x是介质厚度 k为吸收系数
14.已知：＝589.3nm d=1.618nm =1.54424 =1.55335 光轴沿x轴方向
解：
玻片的琼斯矩阵 G＝
①入射光与x轴成
左旋圆偏振光
② 右旋圆偏振光
③ 左旋椭圆偏振光
x
y

15.设计一个产生椭圆偏振光的装置，使椭圆的长轴方向在竖直方向，且长短轴之比为2：1。详细说明各元件的位置与方位。
解：设起偏器与x轴的夹角为

16.通过检偏器观察一束椭圆偏振光，其强度随着检偏器的旋转而改变。当检偏器在某一位置时，强度为极小，此时在检偏器前插一块片，转动片使它的快轴平行于检偏器的透光轴，再把检偏器沿顺时针方向转过20就完全消光。试问（1）该椭圆偏振光是右旋还是左旋？（2）椭圆的长短轴之比？

20
解：设波片的快轴在x轴方向
根据题意：椭圆偏光的短轴在x轴上
设，快轴在x方向上波片的琼斯矩阵

向检偏器的投影为
0。9396926-0.3420201=0，(右旋)，

17.为了决定一束圆偏振光的旋转方向，可将片置于检偏器之前，再将后者转至消光位置。此时片快轴的方位是这样的：须将它沿着逆时针方向转才能与检偏器的透光轴重合。问该圆偏振光是右旋还是左旋？
解：设入射， 波片，
沿检偏器透光轴投影 43
检偏器
x
y

＝－1 （左旋）
18.导出长、短轴之比为2：1，且长轴沿x轴的左旋和右旋椭圆偏振光的琼斯矢量，并计算这两个偏振光叠加的结果。
解：长、短轴之比为2：1，且长轴沿x轴的左旋偏光
长、短轴之比为2：1，且长轴沿x轴的右旋偏光
+ = 沿x轴方向的线偏光。
19.为测定波片的相位延迟角，采用图14－72所示的实验装置：使一束自然光相继通过起偏器、待测波片、片和检偏器。当起偏器的透光轴和片的快轴没x轴，待测波片的快轴与x轴成45角时，从片透出的是线偏振光，用检偏器确定它的振动方向便可得到待测波片的相位延迟角。试用琼斯计算法说明这一测量原理。

解：自然光经起偏器后＝ 待测波片琼斯矩阵：
片的琼斯矩阵
出射光应为与x轴夹角为的线偏光。其琼斯矩阵为＝
由关系式得 ＝
＋ ＋
－ ＋
－ －
－ ＋
＝＝＝
即
20.一种观测太阳用的单色滤光器如图所示，由双折射晶片c和偏振片p交替放置而成。滤光器的第一个和最后一个元件是偏振片，晶片的厚度相继递增，即后者是前者的两倍，且所有晶体光轴都互相平行并与光的传播方向垂直。所有偏振片的透光轴均互相平行，但和晶体光轴成角，设该滤光器共有n块晶体组成。试用琼斯矩阵法证明该滤光器总的强度透射比，即
因此该滤光器对太阳光的各种波长有选择作用。
解：设晶体快轴在x方向 根据题意，偏振器方向为
①当只有一个晶体c与偏振器构成系统时 设入射光复振幅为 光强为,＝

，
透过晶体后
再沿偏振器透光轴投影
＝
强度透过比：

由此可证：当N＝1时，公式成立。
②假设当N＝n-1时成立，则在由n个晶片组成的系统中，从第n-1个晶片出射的光强为

沿快、慢轴方向分解：
透过晶片后，，沿透光轴分解：

将代入上式，

x
z
a/2 0 a/2 x
y
21。如图所示的单缝夫琅和弗衍射装置，波长为，沿x方向振动的线偏振光垂直入射于缝宽为a的单缝平面上，单缝后和远处屏幕前各覆盖着偏振片和缝面上x>0区域内的透光轴与x轴成;x<0区域内的透光轴与x轴成－，而的透光轴方向沿y轴（y轴垂于xz平面），试讨论屏幕上的衍射光强分布。
解：将单缝左右两部分分别考虑

由左右两部分发出的光往相差为

双缝衍射公式
两相比较可知：这样形成的条纹与双缝衍射条纹互补。
22。将一块片插入两个正交的偏振器之间，波片的光轴与两 偏振器透光轴的夹角分别为，求光强为的自然光通过这一系统后的强度是多少？（不考虑系统的吸收和反向损失）
慢

起

俭偏

快
解：
设自然光入射到起偏器上透过的光强为

设入射到波片上的振幅为a，且＝

=a[0.6634-0.3535534-i0.3535534]=a[0.3098466-i0.3535534]

23.一块厚度为0.05mm的方解石波片放在两个正交的线偏振器中间，波片的光轴方向与两线偏振器透光轴的夹角为，问在可见光范围内哪些波长的光不能透过这一系统。
解：设波片的快轴在x轴上　

沿检偏器透光轴分解：

起偏

检偏

　参照表14－1得
m=11 =771.8nm; m=12 =707.5nm ; m=13 =653nm; m=14 =606nm ;
m=15 =566nm; m=16 =530nm; m=17 =499nm; m=18 =471nm
m=19 =446 ; m=20 =424nm; m=21 =404nm; m=22 =385nm
24。在两个正交偏振器之间插入一块片，强度为的单色光通过这一系统。如果将波片绕光的传播方向旋转一周，问（1）将看到几个光强的极大和极小值？相应的波片方位及光强数值;（2）用片和全波片替代片，又如何？
①设入射光经起偏器后的振幅为a，有，琼斯矩阵：

检偏
波片

起偏

代入得：
，，出射光矢量
当; 当
②用波片代替时，，
，
4个极大值点 ; 4个极小值点
③用全波片

使用全波片时，旋转波片一周都不能得到光强输出。
25。在两个正交偏振器之间放入相位延迟角为的波片，波片的光轴与起、检偏器的透光轴分别成角。利用偏振光干涉的强度表达式14－57证明：当旋转检偏器时，从系统输出的光强最大值对应的角为＝。
解：据公式 对求导并令之为0得： 解法二：＝＝＝＝＝＝＝，其中
当I为最大值时
思考题：
1。购买太阳镜应考虑哪些光学参数？
反紫外
反红外
无光焦度
透过率T适中
透光曲线符合光谱光效率函数
偏振要求
美学要求
性能要求
性能价格比
2。波片的光轴与快轴的关系问题：

快轴方向垂直于纸面

快轴方向平行于纸面

用负单轴晶体制成的波片，其快轴：
平行于光轴 垂直于光轴 平行于入射表面 垂直于入射表面
用正单轴晶体制成的波片，其快轴：
平行于光轴 垂直于光轴 平行于入射表面 垂直于入射表面
补充题
1。用矩阵法证明右（左）旋圆偏光经半波片后变为左（右）旋圆偏光
证明：设 与x 轴成角的半波片琼斯矩阵为
为右旋偏光。 同理可证：右旋偏光入射时，出射光为左圆偏光。
〔解法二〕 设入射 与x轴成角半波片的琼斯矩阵为：

2。一束线偏振的黄光（＝589.3nm）垂直经过一块厚度为1.618的石英晶片,折射率为，，试求以下三种情况下出射光的偏振态： （1）入射光的振动方向与晶片光轴成（2）成（3）成 解：以晶片快轴为x轴建立坐标系
（1），则该晶片为晶片 其琼斯矩阵为,,右旋圆偏光
（2） 左旋圆偏光
（3） 右旋椭圆偏光

3。导出长短轴之比为2：1，长轴沿x轴的右旋椭圆偏光的单位琼斯矩阵
解：设长轴为2a，矩轴为a， ，

归一化：