动点问题总结.doc

动点问题及练习题
一．概念 ：“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点
二． 关键 : 动中求静.
数学思想：分类 函数 方程 数形结合 转化
三、 类型：
专题一：建立动点问题的函数解析式
1、应用勾股定理建立函数解析式。
2、应用比例式建立函数解析式。
3、应用求图形面积的方法建立函数关系式。
专题二：函数中因动点产生的相似三角形问题
1. 相似三角形的证明
2. 相似三角形的性质
例题2. 正方形边长为4，、分别是、上的两个动点,当点在上运动时，保持和垂直，
（1）证明：；
（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；
（3）当点运动到什么位置时，求此时的值．
D
M
A
B
C

N

专题三：以圆为载体的动点问题
例题3： 如图,已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90o，∠C=60o，AD=3cm，BC=9cm．⊙O1的圆心O1从点A开始沿A—D—C折线以1cm/s的速度向点C运动，⊙O2的圆心O2从点B开始沿BA边以cm/s的速度向点A运动，如果⊙O1半径为2cm，⊙O2的半径为4cm，若O1、O2分别从点A、点B同时出发，运动的时间为ts
请求出⊙O2与腰CD相切时t的值；

练习题
1. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，BD⊥AD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD .
(1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；
(2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QN∥PM. 设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2 .
① 求S关于t的函数关系式；② (附加题) 求S的最大值。

2.如图，在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．
（09年济南中考） （1）求的长。
（2）当时，求的值．
（3）试探究：为何值时，为等腰三角形．
A
D
C
B
M
N

3.如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3cm，OB＝4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4）
（1）求AB的长，过点P做PM⊥OA于M，求出P点的坐标（用t表示）
（2）求△OPQ面积S（cm2），与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？
（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？
（4）若点P运动速度不变，改变Q 的运动速度，使△OPQ为正
y
A
O
M
Q
P
B
x
三角形，求Q点运动的速度和此时t的值

4. .已知，如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C的坐标分别为A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒，
（1）动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，指出自变量的取值范围，并求出S的最大值
（2）动点P从出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分？求出此时P点的坐标

5. 如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形， 点A、B的坐标分别为 （3，0），（3，4）。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥AC，交AC于P，连结MP。已知动点运动了x秒。
（1）P点的坐标为（ ， ）；（用含x的代数式表示）
（2）试求 ⊿MPA面积的最大值，并求此时x的值。
（3）请你探索：当x为何值时，⊿MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果。

6.在三角形ABC中, .现有动点P从点A出发,沿射线AB向点B方向运动;动点Q从点C出发,沿射线CB也向点B方向运动.如果点P的速度是/秒,点Q的速度是/秒,它们同时出发,求:(1)几秒钟后,ΔPBQ的面积是ΔABC的面积的一半? (2)在第(1)问的前提下,P,Q两点之间的距离是多少?

7.如图，已知直角坐标系内的梯形AOBC（O为原点），AC∥OB，OC⊥BC，AC，OB的长是关于x的方程x2－(k+2)x+5=0的两个根，且S△AOC：S△BOC=1：5。
（1）填空：0C=________，k=________；
（2）求经过O，C，B三点的抛物线的另一个交点为D，动点P，Q分别从O，D同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点P沿OB由O→B运动，点Q沿DC由D→C运动，过点Q作QM⊥CD交BC于点M，连结PM，设动点运动时间为t秒，请你探索：当t为何值时，△PMB是直角三角形。

例题2.，（3），
要使，必须有，
由（1）知，，
当点运动到的中点时，，此时．
例题4,. 解：（1）当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动，如图2所示．由题意可知：ED=t，BC=8，FD= 2t-4，FC= 2t．
∵ED∥BC，∴△FED∽△FBC．∴．
∴．解得t=4．∴当t=4时，两点同时停止运动
（2）∵ED=t，CF=2t， ∴S=S△BCE+ S△BCF=×8×4+×2t×t=16+ t2．
即S=16+ t2．（0 ≤t ≤4）；
（3）①若EF=EC时，则点F只能在CD的延长线上，
∵EF2=，
EC2=，∴=．∴t=4或t=0（舍去）；
②若EC=FC时，∵EC2=，FC2=4t2，∴=4t2．∴；③若EF=FC时，∵EF2=，FC2=4t2，
∴=4t2．∴t1=（舍去），t2=．
∴当t的值为4，，时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形；
（4）在Rt△BCF和Rt△CED中，∵∠BCD=∠CDE=90°，，
∴Rt△BCF∽Rt△CED．∴∠BFC=∠CED．
∵AD∥BC，∴∠BCE=∠CED．若∠BEC=∠BFC，则∠BEC=∠BCE．即BE=BC．
∵BE2=，∴=64．
∴t1=（舍去），t2=．
∴当t=时，∠BEC=∠BFC．
1.第（1）问比较简单，就是一个静态问题当点P运动2秒时，AP=2 cm，
由∠A=60°，知AE=1，PE=.
∴ SΔAPE=
第（2）问就是一个动态问题了，题目要求面积与运动时间的函数关系式，这就需要我们根据题目，综合分析，分类讨论.
P点从A→B→C一共用了12秒，走了12 cm，
Q 点从A→B用了8秒，B→C用了2秒，
所以t的取值范围是 0≤t≤10
不变量：P、Q 点走过的总路程都是12cm，P点的速度不变，所以AP始终为：t+2
如当8≤t≤10时，点Q所走的路程AQ=1×8+2（t－8）=2t-8
① 当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，
设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，
则AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=.
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD是一个直角梯形，
其面积为（PG + QF）×AG÷2 S=.
当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动.
设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，
则AQ=t，AF=，DF=4-（总量减部分量），
QF=，AP=t+2，BP=t-6（总量减部分量），
CP=AC- AP=12-（t+2）=10-t（总量减部分量），
PG=，而BD=，
故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为
平行四边形的面积减去两个三角形面积S=.
当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动.
设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，
则AQ=2t-8，CQ= AC- AQ= 12-（2t-8）=20-2t，（难点）
QF=(20-2t)，CP=10-t，PG=.
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=.
②(附加题)当0≤t≤6时，S的最大值为；
当6≤t≤8时，S的最大值为；
当8≤t≤10时，S的最大值为；
所以当t=8时，S有最大值为 .
2.解：（1）如图①，过、分别作于，于，则四边形是矩形 ∴
在中，

在中，由勾股定理得，
∴
（图①）
A
D
C
B
K
H
（图②）
A
D
C
B
G
M
N

（2）如图②，过作交于点，则四边形是平行四边形
∵ ∴
∴ ∴
由题意知，当、运动到秒时，
∵ ∴
又 ∴ ∴
即 解得，
（3）分三种情况讨论：
①当时，如图③，即 ∴
②当时，如图④，过作于
∵
∴ ∴
即 ∴

A
D
C
B
M
N
（图③）
（图④）
A
D
C
B
M
N
H
E

（图⑤）
A
D
C
B
H
N
M
F
③当时，如图⑤，过作于点.∵
∴ ∴
即 ∴
综上所述，当、或时，为等腰三角形
3.（1）由题意知：BD=5，BQ=t，QC=4-t，DP=t，BP=5-t
∵PQ⊥BC ∴△BPQ∽△BDC ∴即 ∴
当时，PQ⊥BC（2）过点P作PM⊥BC，垂足为M
∴△BPM∽△BDC ∴∴= ∴当时，S有最大值．
（3）①当BP=BQ时，， ∴
②当BQ=PQ时，作QE⊥BD，垂足为E，此时，BE=
∴△BQE∽△BDC ∴ 即 ∴
③当BP=PQ时，作PF⊥BC，垂足为F, 此时，BF=
∴△BPF∽△BDC ∴ 即 ∴
∴， ，，均使△PBQ为等腰三角形．