因式分解经典题及解析.doc

2013组卷
1．在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因式分解x2+2x﹣3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法：
x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
=（x+1）2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
=…
解决下列问题：
（1）填空：在上述材料中，运用了　_________　的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；
（2）显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x﹣3；
（3）请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5．

2．请看下面的问题：把x4+4分解因式
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢
19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）
人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．
（1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．

3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y2+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2﹣4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　_________　．
A、提取公因式B．平方差公式
C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底　_________　．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　_________　．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．

4．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解．

5．利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．

6．已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为（3x﹣2），试求m的值并将多项式因式分解．

7．已知多项式（a2+ka+25）﹣b2，在给定k的值的条件下可以因式分解．请给定一个k值并写出因式分解的过程．

8．先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0，我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：
解：2x2+8x+10
=2（x2+4x+5）（提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式）
=2（x2+4x+22﹣22+5）
=2[（x+2）2+1]（将二次多项式配方）
=2（x+2）2+2 （去掉中括号）
因为当x取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么2（x+2）2+2的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0，并且，当x=﹣2时，原式有最小值2．
请仿照上例，说明代数式﹣2x2﹣8x﹣10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值或者最小值是什么．

9．老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：
甲：这是一个三次三项式；
乙：三次项系数为1；
丙：这个多项式的各项有公因式；
丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；
若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式．

10．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x﹣1）（x﹣9），而乙同学看错了常数项，而将其分解为2（x﹣2）（x﹣4），请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解．

11．观察李强同学把多项式（x2+6x+10）（x2+6x+8）+1分解因式的过程：
解：设x2+6x=y，则
原式=（y+10）（y+8）+1
=y2+18y+81
=（y+9）2
=（x2+6x+9）2
（1）回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：　_________　．
（2）仿照上题解法，分解因式：（x2+4x+1）（x2+4x﹣3）+4．

12．（1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：多项式含有字母m和n，系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）．
（2）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]①
=（1+x）2（1+x）②
=（1+x）3③
①上述分解因式的方法是　_________　，由②到③这一步的根据是　_________　；
②若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2006，结果是　_________　；
③分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．

13．阅读下面的材料并完成填空：
因为（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b两数满足a﹒b=a+b=p，则有
x2+px+q=（x+a）（x+b）．
如分解因式x2+5x+6．
解：因为2×3=6，2+3=5，
所以x2+5x+6=（x+2）（x+3）．
再如分解因式x2﹣5x﹣6．
解：因为﹣6×1=﹣6，﹣6+1=﹣5，
所以x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．
同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看．
因式分解：（1）x2+7x+12；（2）x2﹣7x+12；（3）x2+4x﹣12；（4）x2﹣x﹣12．

答案
1．请看下面的问题：把x4+4分解因式
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢
19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）
人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．
（1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．

考点：
因式分解-运用公式法．1082614
专题：
阅读型．
分析：
这是要运用添项法因式分解，首先要看明白例题才可以尝试做以下题目．
解答：
解：（1）x4+4y4=x4+4x2y2+4y2﹣4x2y2，
=（x2+2y2）2﹣4x2y2，
=（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；

（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab，
=x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab，
=（x﹣a）2﹣（a+b）2，
=（x﹣a+a+b）（x﹣a﹣a﹣b），
=（x+b）（x﹣2a﹣b）．
点评：
本题考查了添项法因式分解，难度比较大．

2．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y2+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2﹣4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　C　．
A、提取公因式B．平方差公式
C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底　不彻底　．（填“彻底”或“不彻底”）
若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　（x﹣2）4　．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．

考点：
提公因式法与公式法的综合运用．1082614
专题：
阅读型．
分析：
（1）完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；
（2）x2﹣4x+4还可以分解，所以是不彻底．
（3）按照例题的分解方法进行分解即可．
解答：
解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；

（2）x2﹣4x+4还可以分解，分解不彻底；

（3）设x2﹣2x=y．
（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1，
=y（y+2）+1，
=y2+2y+1，
=（y+1）2，
=（x2﹣2x+1）2，
=（x﹣1）4．
点评：
本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照提供的方法和样式解答即可，难度中等．

3．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解．

考点：
因式分解-十字相乘法等．1082614
分析：
根据十字相乘法的分解方法和特点可知：a是﹣6的两个因数的和，则﹣6可分成3×（﹣2），﹣3×2，6×（﹣1），﹣6×1，共4种，所以将x2+ax﹣6分解因式后有4种情况．
解答：
解：x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）；
x2﹣x﹣6=（x﹣3）（x+2）；
x2+5x﹣6=（x+6）（x﹣1）；
x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．
点评：
本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，常数﹣6的不同分解是本题的难点．

4．利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．

考点：
因式分解的应用．1082614
分析：
根据题意设出两个连续偶数为2n、2n+2，利用平方差公式进行因式分解，即可证出结论．
解答：
解：设两个连续偶数为2n，2n+2，则有
（2n+2）2﹣（2n）2，
=（2n+2+2n）（2n+2﹣2n），
=（4n+2）×2，
=4（2n+1），
因为n为整数，
所以4（2n+1）中的2n+1是正奇数，
所以4（2n+1）是4的倍数，
故两个连续正偶数的平方差一定能被4整除．
点评：
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确设出两个连续正偶数，再用平方差公式对列出的式子进行整理，此题较简单．

5．已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为（3x﹣2），试求m的值并将多项式因式分解．

考点：
因式分解的意义．1082614
分析：
由于x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x﹣2，所以当x=时多项式的值为0，由此得到关于m的方程，解方程即可求出m的值，再把m的值代入3x2+x+m进行因式分解，即可求出答案．
解答：
解：∵x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x﹣2，
当x=时多项式的值为0，
即3×=0，
∴2+m=0，
∴m=﹣2；
∴3x2+x+m=3x2+x﹣2=（x+1）（3x﹣2）；
故答案为：m=﹣2，（x+1）（3x﹣2）．
点评：
本题主要考查因式分解的意义，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解．

6．已知多项式（a2+ka+25）﹣b2，在给定k的值的条件下可以因式分解．请给定一个k值并写出因式分解的过程．

考点：
因式分解-运用公式法．1082614
专题：
开放型．
分析：
根据完全平方公式以及平方差公式进行分解因式即可．
解答：
解：k=±10，
假设k=10，
则有（a2+10a+25）﹣b2=（a+5）2﹣b2=（a+5+b）（a+5﹣b）．
点评：
此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．

7．先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0，我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：
解：2x2+8x+10
=2（x2+4x+5）（提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式）
=2（x2+4x+22﹣22+5）
=2[（x+2）2+1]（将二次多项式配方）
=2（x+2）2+2 （去掉中括号）
因为当x取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么2（x+2）2+2的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0，并且，当x=﹣2时，原式有最小值2．请仿照上例，说明代数式﹣2x2﹣8x﹣10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值或者最小值是什么．

考点：
配方法的应用；非负数的性质：偶次方．1082614
分析：
按照题目提供的方法将二次三项式配方后即可得到答案．
解答：
解：﹣2x2﹣8x﹣10
=﹣2（x2+4x+5）
=﹣2（x2+4x+22﹣22+5）
=﹣2[（x+2）2+1]
=﹣2（x+2）2﹣2
因为当x取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么﹣2（x+2）2﹣2的值一定为负数，所以，原式的值恒小于0，并且，当x=﹣2时，原式有最大值﹣2．
点评：
此题考查了配方法与完全平方式的非负性的应用．注意解此题的关键是将原代数式准确配方．

8．老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：
甲：这是一个三次三项式；
乙：三次项系数为1；
丙：这个多项式的各项有公因式；
丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；
若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式．

考点：
提公因式法与公式法的综合运用．1082614
专题：
开放型．
分析：
能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两底数积的2倍．
解答：
解：由题意知，可以理解为：
甲：这是一个关于x三次三项式；
乙：三次项系数为1，即三次项为x3；
丙：这个多项式的各项有公因式x；
丁：这个多项式分解因式时要用到完全平方公式法．
故多项式可以为x（x﹣1）2=x（x2﹣2x+1）=x3﹣2x2+x．
点评：
本题考查了提公因式法和公式法分解因式，是开放性题，根据描述按照要求列出这个多项式．答案不唯一．

9．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x﹣1）（x﹣9），而乙同学看错了常数项，而将其分解为2（x﹣2）（x﹣4），请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解．

考点：
因式分解的应用．1082614
分析：
此题可以先将两个分解过的式子还原，再根据两个同学的错误得出正确的二次三项式，最后进行因式分解即可．
解答：
解：2（x﹣1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18，2（x﹣2）（x﹣4）=2x2﹣12x+16；
由于甲同学因看错了一次项系数，乙同学看错了常数项，
则正确的二次三项式为：2x2﹣12x+18；
再对其进行因式分解：2x2﹣12x+18=2（x﹣3）2．
点评：
本题考查了因式分解的应用，题目较为新颖，同学们要细心对待．

10．观察李强同学把多项式（x2+6x+10）（x2+6x+8）+1分解因式的过程：
解：设x2+6x=y，则
原式=（y+10）（y+8）+1
=y2+18y+81
=（y+9）2
=（x2+6x+9）2
（1）回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：　（x+3）4　．
（2）仿照上题解法，分解因式：（x2+4x+1）（x2+4x﹣3）+4．

考点：
因式分解-十字相乘法等．1082614
专题：
换元法．
分析：
（1）根据x2+6x+9=（x+3）2，进而分解因式得出答案即可；
（2）仿照例题整理多项式进而分解因式得出答案即可．
解答：
解：（1）这位同学的因式分解不彻底，
原式=（y+10）（y+8）+1
=y2+18y+81
=（y+9）2
=（x2+6x+9）2
=（x+3）4．
故答案为：（x+3）4；

（2）设x2+4x=y，则
原式=（y+1）（y﹣3）+4
=y2﹣2y+1
=（y﹣1）2
=（x2+4x﹣1）2．
点评：
此题主要考查了因式分解法的应用，正确分解因式以及注意分解因式要彻底是解题关键．

11．（1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：多项式含有字母m和n，系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）．
（2）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]①
=（1+x）2（1+x）②
=（1+x）3③
①上述分解因式的方法是　提公因式法分解因式　，由②到③这一步的根据是　同底数幂的乘法法则　；
②若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2006，结果是　（1+x）2007　；
③分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．

考点：
因式分解-提公因式法．1082614
分析：
（1）根据题目要求可以编出先提公因式后用平方差的式子，答案不唯一；
（2）首先通过分解因式，可发现①中的式子与结果之间的关系，根据所发现的结论可直接得到答案．
解答：
解：（1）m3﹣mn2=m（m2﹣n2）=m（m﹣n）（m+n），
（2）①提公因式法，同底数幂的乘法法则；
②根据①中可发现结论：（1+x）2007；
③（1+x）n+1．
点评：
此题主要考查了因式分解法中的提公因式法分解因式，公式法分解因式以及分解因式得根据，考查同学们的观察能力与归纳能力．

12．阅读下面的材料并完成填空：
因为（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b两数满足a﹒b=a+b=p，则有
x2+px+q=（x+a）（x+b）．
如分解因式x2+5x+6．
解：因为2×3=6，2+3=5，
所以x2+5x+6=（x+2）（x+3）．
再如分解因式x2﹣5x﹣6．
解：因为﹣6×1=﹣6，﹣6+1=﹣5，
所以x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．
同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看．
因式分解：（1）x2+7x+12；（2）x2﹣7x+12；（3）x2+4x﹣12；（4）x2﹣x﹣12．

考点：
因式分解-十字相乘法等．1082614
专题：
阅读型．
分析：
发现规律：二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，则x2+px+q=（x+a）（x+b）．
解答：
解：（1）x2+7x+12=（x+3）（x+4）；

（2）x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4）；

（3）x2+4x﹣12=（x+6）（x﹣2）；

（4）x2﹣x﹣12=（x﹣4）（x+3）．
点评：
本题考查十字相乘法分解因式，是x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解的应用，应识记：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．