因式分解经典题及解析.doc
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1、2013组卷1在学习因式分解时,我们学习了提公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式),事实上,除了这两种方法外,还有其它方法可以用来因式分解,比如配方法例如,如果要因式分解x2+2x3时,显然既无法用提公因式法,也无法用公式法,怎么办呢?这时,我们可以采用下面的办法:x2+2x3=x2+2x1+1213=(x+1)222=解决下列问题:(1)填空:在上述材料中,运用了_的思想方法,使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解,这种方法就是配方法;(2)显然所给材料中因式分解并未结束,请依照材料因式分解x2+2x3;(3)请用上述方法因式分解x24x52请看下面的问题:把x4+4分解因式分析:这
2、个二项式既无公因式可提,也不能直接利用公式,怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项,而且属于平方和(x2)2+(22)2的形式,要使用公式就必须添一项4x2,随即将此项4x2减去,即可得x4+4=x4+4x2+44x2=(x2+2)24x2=(x2+2)2(2x)2=(x2+2x+2)(x22x+2)人们为了纪念苏菲热门给出这一解法,就把它叫做“热门定理”,请你依照苏菲热门的做法,将下列各式因式分解(1)x4+4y4;(2)x22axb22ab3下面是某同学对多项式(x24x+2)(x24x+6)+4进行因式分解的过程解:设x24x=y原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)=
3、y2+8y+16(第二步)=(y+4)2(第三步)=(x24x+4)2(第四步)回答下列问题:(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_A、提取公因式B平方差公式C、两数和的完全平方公式D两数差的完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底_(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果_(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x22x)(x22x+2)+1进行因式分解4找出能使二次三项式x2+ax6可以因式分解(在整数范围内)的整数值a,并且将其进行因式分解5利用因式分解说明:两个连续偶数的平方差一定是4的倍数6已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为(3x
4、2),试求m的值并将多项式因式分解7已知多项式(a2+ka+25)b2,在给定k的值的条件下可以因式分解请给定一个k值并写出因式分解的过程8先阅读,后解题:要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0,我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式,再去考虑,具体过程如下:解:2x2+8x+10=2(x2+4x+5)(提公因式,得到一个二次项系数为1的二次多项式)=2(x2+4x+2222+5)=2(x+2)2+1(将二次多项式配方)=2(x+2)2+2 (去掉中括号)因为当x取任意实数时,代数式2(x+2)2的值一定是非负数,那么2(x+2)2+2的值一定为正数,所以,
5、原式的值恒大于0,并且,当x=2时,原式有最小值2请仿照上例,说明代数式2x28x10的值恒大于0还是恒小于0,并且说明它的最大值或者最小值是什么9老师给学生一个多项式,甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述:甲:这是一个三次三项式;乙:三次项系数为1;丙:这个多项式的各项有公因式;丁:这个多项式分解因式时要用到公式法;若已知这四位同学的描述都正确,请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式10在对某二次三项式进行因式分解时,甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2(x1)(x9),而乙同学看错了常数项,而将其分解为2(x2)(x4),请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解11
6、观察李强同学把多项式(x2+6x+10)(x2+6x+8)+1分解因式的过程:解:设x2+6x=y,则原式=(y+10)(y+8)+1=y2+18y+81=(y+9)2=(x2+6x+9)2(1)回答问题:这位同学的因式分解是否彻底?若不彻底,请你直接写出因式分解的最后结果:_(2)仿照上题解法,分解因式:(x2+4x+1)(x2+4x3)+412(1)写一个多项式,再把它分解因式(要求:多项式含有字母m和n,系数、次数不限,并能先用提取公因式法再用公式法分解)(2)阅读下列分解因式的过程,再回答所提出的问题:1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)1+x+x(x+1)=(1+x)2(
7、1+x)=(1+x)3上述分解因式的方法是_,由到这一步的根据是_;若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)2006,结果是_;分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+x(x+1)n(n为正整数)13阅读下面的材料并完成填空:因为(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,所以,对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解,就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p,即如果有a,b两数满足ab=a+b=p,则有x2+px+q=(x+a)(x+b)如分解因式x2+5x+6解:因为23=6,2+3=5,所以x2+5x+6=(x+2)(x+3)再如分解因式
8、x25x6解:因为61=6,6+1=5,所以x25x6=(x6)(x+1)同学们,阅读完上述文字后,你能完成下面的题目吗?试试看因式分解:(1)x2+7x+12;(2)x27x+12;(3)x2+4x12;(4)x2x12答案1请看下面的问题:把x4+4分解因式分析:这个二项式既无公因式可提,也不能直接利用公式,怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项,而且属于平方和(x2)2+(22)2的形式,要使用公式就必须添一项4x2,随即将此项4x2减去,即可得x4+4=x4+4x2+44x2=(x2+2)24x2=(x2+2)2(2x)2=(x2+2x+2)(x22x+2)人们为了纪念
9、苏菲热门给出这一解法,就把它叫做“热门定理”,请你依照苏菲热门的做法,将下列各式因式分解(1)x4+4y4;(2)x22axb22ab考点:因式分解-运用公式法1082614专题:阅读型分析:这是要运用添项法因式分解,首先要看明白例题才可以尝试做以下题目解答:解:(1)x4+4y4=x4+4x2y2+4y24x2y2,=(x2+2y2)24x2y2,=(x2+2y2+2xy)(x2+2y22xy);(2)x22axb22ab,=x22ax+a2a2b22ab,=(xa)2(a+b)2,=(xa+a+b)(xaab),=(x+b)(x2ab)点评:本题考查了添项法因式分解,难度比较大2下面是某同
10、学对多项式(x24x+2)(x24x+6)+4进行因式分解的过程解:设x24x=y原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)=y2+8y+16(第二步)=(y+4)2(第三步)=(x24x+4)2(第四步)回答下列问题:(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的CA、提取公因式B平方差公式C、两数和的完全平方公式D两数差的完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底不彻底(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果(x2)4(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x22x)(x22x+2)+1进行因式分解考点:提公因式法与公式法的综合运用1082614专题:阅读型分析:(1)完
11、全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差;(2)x24x+4还可以分解,所以是不彻底(3)按照例题的分解方法进行分解即可解答:解:(1)运用了C,两数和的完全平方公式;(2)x24x+4还可以分解,分解不彻底;(3)设x22x=y(x22x)(x22x+2)+1,=y(y+2)+1,=y2+2y+1,=(y+1)2,=(x22x+1)2,=(x1)4点评:本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力,按照提供的方法和样式解答即可,难度中等3找出能使二次三项式x2+ax6可以因式分解(在整数范围内)的整数值a,并且将其进行因式分解考点:因式分解-十字相乘法等1082614分析:根据十
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