圆的对称性习题(有答案).doc

2 圆的对称性

一、选择题（共10小题）
1．（2012•江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（　　）

A．
（﹣1，）
B．
（0，）
C．
（，0）
D．
（1，）

2．已知⊙O中，弦AB长为，OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点C，CD=1，则⊙O的半径是（　　）

A．
1
B．
2
C．
3
D．
4

3．下列说法：
①若∠1与∠2是同位角，则∠1=∠2
②等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合
③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
④等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形
⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，
其中正确的个数是（　　）

A．
0
B．
1
C．
2
D．
3

4．（2013•邵东县模拟）⊙O的半径为R，若∠AOB=α，则弦AB的长为（　　）

A．

B．
2Rsinα
C．

D．
Rsinα

5．已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4，如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（　　）

A．
3＜r＜5
B．
3＜r≤4
C．
4＜r≤5
D．
无法确定

6．已知圆的半径为5cm，圆心到弦的距离为4cm，那么这条弦长是（　　）

A．
3cm
B．
6cm
C．
8cm
D．
10cm

7．半径为5的⊙O，圆心在原点O，点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（　　）

A．
在⊙O内
B．
在⊙O上
C．
在⊙O外
D．
不能确定

8．一个点到圆周的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（　　）

A．
2.5 cm或6.5 cm
B．
2.5 cm
C．
6.5 cm
D．
5 cm或13cm

9．（2010•昌平区一模）如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点A、B不重合），过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

10．（2013•合肥模拟）如图，是半径为1的圆弧，△AOC为等边三角形，D是上的一动点，则四边形AODC的面积s的取值范围是（　　）

A．
≤s≤
B．
＜s≤
C．
≤s≤
D．
＜s＜

二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）

11．牛牛和壮壮在沙滩上玩游戏，需要画一个圆，而他们手中没有任何工具，请你帮他们想一个办法，怎样可以得到一个圆？

12．一条弦AB分圆的直径为3cm和7cm两部分，弦和直径相交成60°角，则AB=　_________　cm．

13．若⊙O的半径为13cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则弦AB的长为　_________　cm．

14．已知点P是半径为5的⊙O内一定点，且PO=4，则过点P的所有弦中，弦长可取到的整数值共有的条数是　_________　．

15．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为（3，4），点P的坐标是（5，8），则点P在⊙A　_________　．

16．在下图所列的图形中选出轴对称图形：　_________　．

17．作圆，使这些圆都经过线段AB的两个端点A和B，这些圆的圆心所组成的图形是　_________　．

18．以已知点O为圆心，可以画　_________　个圆．

19．如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD=84°，则∠BOC=　_________　．

20．如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD=OA，若∠AOC=105°，则∠D=　_________　度．

三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）
21．已知：AB交⊙O于C、D，且AC=BD．请证明：OA=OB．

22．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F，求证：AE=BF．

23．如图，⊙O中，AB是直径，半径CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：=2．

24．已知⊙O的半径为12cm，弦AB=16cm．
（1）求圆心O到弦AB的距离；
（2）如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成什么样的图形？

25．如图，△ABC的三个顶点在⊙0上，AD⊥BC，D为垂足，E是的中点，
求证：∠OAE=∠EAD．（写出两种以上的证明方法）

26．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，
（1）求CD的长；
（2）若直线CD绕点E顺时针旋转15°，交⊙O于C、D，直接写出弦CD的长．

27．已知：如图，在⊙O中，∠A=∠C，求证：AB=CD（利用三角函数证明）．

28．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，求弦AB的长．

29．已知：等腰△ABC内接于半径为6cm的⊙O，AB=AC，点O到BC的距离OD的长等于2cm．求AB的长．

30．如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA=7，AB=12，∠A=∠B=60°，求BC的长．

　参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题）
1．（2012•江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（　　）

A．
（﹣1，）
B．
（0，）
C．
（，0）
D．
（1，）

考点：
圆心角、弧、弦的关系；坐标与图形性质；解直角三角形．4513433
分析：
连接OQ、OP，求出∠POQ的度数，得出等边三角形POQ，得出PQ=OQ=OP=2，∠OPQ=∠OQP=60°，求出∠AOQ度数，根据三角形的内角和定理求出∠QAO，求出AQ、OA，即可得出答案．

解答：
解：连接OQ、PO，
则∠POQ=120°﹣60°=60，
∵PO=OQ，
∴△POQ是等边三角形，
∴PQ=OP=OQ=×4cm=2cm，∠OPQ=∠OQP=60°，
∵∠AOQ=90°﹣60°=30°，
∴∠QAO=180°﹣60°﹣30°=90°，
∴AQ=OQ=2cm，
∵在Rt△AOQ中，由勾股定理得：OA==，
∴A的坐标是（0，），
故选B．
点评：
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，三角形的内角和定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是构造三角形后求出OA的长，主要考查学生分析问题和解决问题的能力．

2．已知⊙O中，弦AB长为，OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点C，CD=1，则⊙O的半径是（　　）

A．
1
B．
2
C．
3
D．
4

考点：
垂径定理；勾股定理．4513433
分析：
连接OA，根据垂径定理求出AD，设⊙O的半径是R，则OA=R，OD=R﹣1，在Rt△OAD中，由勾股定理得出方程R2=（R﹣1）2+（）2，求出R即可．
解答：

解：连接OA，
∵OC是半径，OC⊥AB，
∴AD=BD=AB=，
设⊙O的半径是R，则OA=R，OD=R﹣1，

在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2=OD2+AD2，
即R2=（R﹣1）2+（）2，
R=2，
故选B．
点评：
本题考查了垂径定理和勾股定理，关键是构造直角三角形，用了方程思想．

3．下列说法：
①若∠1与∠2是同位角，则∠1=∠2
②等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合
③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
④等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形
⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，
其中正确的个数是（　　）

A．
0
B．
1
C．
2
D．
3

考点：
垂径定理；同位角、内错角、同旁内角；等腰三角形的性质；正方形的判定；等腰梯形的性质．4513433
分析：
根据只有在平行线中，同位角才相等，等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，对角线互相平分、垂直、相等的四边形才是正方形，等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，即可判断①②③④；画出反例图形即可判断⑤．
解答：
解：∵只有在平行线中，同位角才相等，∴①错误；
∵等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，∴②错误；
∵对角线互相平分、垂直、相等的四边形才是正方形，∴③错误；
∵等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴④正确；
如图
AB是⊙O直径，CD是⊙O弦，
AB平分CD，
但AB和CD不垂直，∴⑤错误；
故选B．
点评：
本题考查了等腰三角形性质，平行线的性质，同位角，等腰梯形性质，正方形的判定等知识点的应用，主要考查学生的辨析能力．

4．（2013•邵东县模拟）⊙O的半径为R，若∠AOB=α，则弦AB的长为（　　）

A．

B．
2Rsinα
C．

D．
Rsinα

考点：
垂径定理；解直角三角形．4513433
分析：
过O作OC⊥AB于C，由垂径定理得出AB=2AC，根据等腰三角形性质求出∠AOC=∠BOC=∠AOB=，根据sin∠AOC=求出AC=Rsin，即可求出AB．
解答：

解：过O作OC⊥AB于C，
则由垂径定理得：AB=2AC=2BC，
∵OA=OB，
∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=，
在△AOC中，sin∠AOC=，
∴AC=Rsin，
∴AB=2AC=2Rsin，
故选A．
点评：
本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，解直角三角形等知识点，关键是求出AC的长和得出AB=2AC．

5．已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4，如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（　　）

A．
3＜r＜5
B．
3＜r≤4
C．
4＜r≤5
D．
无法确定

考点：
点与圆的位置关系．4513433
分析：
四边形ABCD是矩形，则△ABC是直角三角形．根据勾股定理得到：AC=5，B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，由题意可知一定是B在圆内，则半径r＞3，一定是点C在圆外，则半径r＜5，所以3＜r＜5．
解答：
解：∵AB=3，AD=4，
∴AC=5，
∴点C一定在圆外，点B一定在圆内，
∴⊙A的半径r的取值范围是：3＜r＜5．
故选A．
点评：
本题主要考查了勾股定理，以及点和圆的位置关系，可以通过点到圆心的距离与圆的半径比较大小，判定点和圆的位置关系．

6．已知圆的半径为5cm，圆心到弦的距离为4cm，那么这条弦长是（　　）

A．
3cm
B．
6cm
C．
8cm
D．
10cm

考点：
垂径定理；勾股定理．4513433
专题：
计算题．
分析：
连接OA，根据垂径定理求出AC=BC，根据勾股定理求出AC即可．
解答：
解：连接OA，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴AC=BC，
由勾股定理得：AC===3（cm），
∴AB=2AC=6（cm）．
故选B．

点评：
本题主要考查对勾股定理，垂径定理等知识点的理解和掌握，能求出AC=BC和AC的长是解此题的关键．

7．半径为5的⊙O，圆心在原点O，点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（　　）

A．
在⊙O内
B．
在⊙O上
C．
在⊙O外
D．
不能确定

考点：
点与圆的位置关系；勾股定理．4513433
专题：
计算题．
分析：
连接OP，根据勾股定理求出OP，把OP和圆的半径比较即可．
解答：
解：连接OP．
∵P（﹣3，4），
由勾股定理得：OP==5，
∵圆的半径5，
∴P在圆O上．
故选B．

点评：
本题主要考查对勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的理解和掌握，能求出OP长和能根据直线与圆的位置关系性质进行判断是解此题的关键．

8．一个点到圆周的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（　　）

A．
2.5 cm或6.5 cm
B．
2.5 cm
C．
6.5 cm
D．
5 cm或13cm

考点：
点与圆的位置关系．4513433
分析：
点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．
解答：
解：当点P在圆内时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是13cm，因而半径是6.5cm；
当点P在圆外时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是5cm，因而半径是2.5cm．
故选A．
点评：
本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键．

9．（2010•昌平区一模）如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点A、B不重合），过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
动点问题的函数图象；垂径定理．4513433
专题：
压轴题；动点型．
分析：
连接OP，根据条件可判断出PO⊥AB，即AP是定值，与x的大小无关，所以是平行于x轴的线段．要注意CE的长度是小于1而大于0的．
解答：
解：连接OP，
∵OC=OP，
∴∠OCP=∠OPC．
∵∠OCP=∠DCP，CD⊥AB，
∴∠OPC=∠DCP．
∴OP∥CD．
∴PO⊥AB．
∵OA=OP=1，
∴AP=y=（0＜x＜1）．
故选A．

点评：
解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．

10．（2013•合肥模拟）如图，是半径为1的圆弧，△AOC为等边三角形，D是上的一动点，则四边形AODC的面积s的取值范围是（　　）

A．
≤s≤
B．
＜s≤
C．
≤s≤
D．
＜s＜

考点：
等边三角形的性质；垂径定理．4513433
专题：
压轴题；动点型．
分析：
根据题意，得四边形AODC的最小面积即是三角形AOC的面积，最大面积即是当OD⊥OC时四边形的面积．
要求三角形AOC的面积，作CD⊥AO于D．根据等边三角形的性质以及直角三角形的性质，求得CD=，得其面积是；要求最大面积，只需再进一步求得三角形DOC的面积，即是，则最大面积是

．
解答：
解：根据题意，得四边形AODC的面积最小即是三角形AOC的面积，最大面积即是当OD⊥OC时四边形的面积．
作CH⊥AO于H，
∵△AOC为等边三角形
∴CH=
∴S△AOC=；
当OD⊥OC时面积最大，
∴S△OCD=，则最大面积是+=
∴四边形AODC的面积s的取值范围是＜s≤．
故选B．

点评：
此题首先要能够正确分析出要求的四边形的最小面积和最大面积，然后根据等边三角形的性质以及三角形的面积公式进行计算．

二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）
11．牛牛和壮壮在沙滩上玩游戏，需要画一个圆，而他们手中没有任何工具，请你帮他们想一个办法，怎样可以得到一个圆？

考点：
圆的认识．4513433
分析：
根据圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合可以得到答案．
解答：
解：可让牛牛站在原地旋转，壮壮拉直牛牛的手臂，绕牛牛走一圈，用脚在沙滩上画出一条曲线，就是一个圆．
点评：
本题考查了圆的认识，了解圆的定义是解决本题的关键．

12．一条弦AB分圆的直径为3cm和7cm两部分，弦和直径相交成60°角，则AB=　2　cm．

考点：
垂径定理．4513433
分析：
根据题意画出图形，作弦的弦心距，根据题意可知，半径OA=5cm，ND=3cm，ON=2cm，利用勾股定理易求得NM=1cm，OM=cm，进一步可求出AM，进而求出AB．
解答：
解：根据题意画出图形，如图示，

作OM⊥AB于M，连接OA，
∴AM=BM，
CD=10cm，ND=3cm，
∴ON=2cm，
∵∠ONM=60°，OM⊥AB，
∴MN=1cm，
∴OM=，
在Rt△OMA中，AM===，
∴AB=2AM=2．

点评：
本题主要考查了垂径定理，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，设法确定其中两边，进而利用勾股定理确定第三边．

13．若⊙O的半径为13cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则弦AB的长为　24　cm．

考点：
垂径定理；勾股定理．4513433
专题：
计算题．
分析：
在△OBD中，利用勾股定理即可求得BD的长，然后根据垂径定理可得：AB=2BD，即可求解．
解答：
解：连接OB，
∵在Rt△ODB中，OD=4cm，OB=5cm．
由勾股定理得：BD2=OB2﹣OD2=132﹣52=144，
∴BD=12，
又OD⊥AB，
∴AB=2BD=2×12=24cm．
故答案是24．

点评：
本题主要考查垂径定理，圆中有关半径、弦长以及弦心距的计算一般是利用垂径定理转化成解直角三角形．

14．已知点P是半径为5的⊙O内一定点，且PO=4，则过点P的所有弦中，弦长可取到的整数值共有的条数是　8条　．

考点：
垂径定理；勾股定理．4513433
专题：
推理填空题．
分析：
求出最长弦（直径）和最短弦（垂直于OP的弦），再求出之间的数，得出符合条件的弦，相加即可求出答案．
解答：
解：过P点最长的弦是直径，等于10，最短的弦是垂直于PO的弦，根据勾股定理和垂径定理求出是6，10和6之间有7，8，9，每个都有两条弦，关于OP对称，共6条，
1+1+6=8，
故答案为：8条．
点评：
本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，此题是一道比较容易出错的题目，考虑一定要全面，争取做到不重不漏．

15．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为（3，4），点P的坐标是（5，8），则点P在⊙A　内部　．

考点：
点与圆的位置关系；坐标与图形性质．4513433
分析：
首先根据两点的坐标求得两点之间的距离，然后利用两点之间的距离和圆A的半径求得点与圆的位置关系．
解答：
解：∵A的坐标为（3，4），点P的坐标是（5，8），
∴AP==2
∵⊙A的半径为5，
∴5＞2
∴点P在⊙A的内部
故答案为：内部．
点评：
本题考查了点与圆的位置关系，解题得到关键是根据两点的坐标求得两点之间的距离．

16．在下图所列的图形中选出轴对称图形：　②③④⑥　．

考点：
圆的认识；轴对称图形．4513433
分析：
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形进行判断．
解答：
解：①⑤都不是轴对称图形，②③④⑥是轴对称图形，
故答案为：②③④⑥．
点评：
本题主要考查轴对称的知识点，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．

17．作圆，使这些圆都经过线段AB的两个端点A和B，这些圆的圆心所组成的图形是　线段AB的垂直平分线　．

考点：
圆的认识；线段垂直平分线的性质．4513433
分析：
利用圆的性质可以得到圆上的所有点到圆心的距离相等，从而得到所有圆心到A、B两点的距离相等，从而得到结论．
解答：
解：∵圆上的所有点到圆心的距离相等，
∴无论圆心O在哪里，总有OA=OB，
即：所有圆心到A、B两点的距离相等，
∵到A、B两点的距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，
故答案为：线段AB的垂直平分线．
点评：
本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

18．以已知点O为圆心，可以画　无数　个圆．

考点：
圆的认识．4513433
分析：
圆心固定，半径不确定，可以画出无数个圆，由此选择答案解决问题．
解答：
解：以一点为圆心，以任意长为半径可以画无数个同心圆，
故答案为：无数．
点评：
此题考查：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小这一知识．

19．如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD=84°，则∠BOC=　48°　．

考点：
圆的认识；平行线的性质．4513433
分析：
根据半径相等和等腰三角形的性质得到∠D=∠A，利用三角形内角和定理可计算出∠A，然后根据平行线的性质即可得到∠BOC的度数．
解答：
解：∵OD=OC，
∴∠D=∠A，
∵∠AOD=84°，
∴∠A=（180°﹣84°）=48°，
又∵AD∥OC，
∴∠BOC=∠A=48°．
故答案为：48°．
点评：
本题考查了有关圆的知识：圆的半径都相等．也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质．

20．如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD=OA，若∠AOC=105°，则∠D=　25　度．

考点：
圆的认识；三角形内角和定理；三角形的外角性质．4513433
分析：
解答此题要作辅助线OB，根据OA=OB=BD=半径，构造出两个等腰三角形，结合三角形外角和内角的关系解决．
解答：
解：连接OB，
∵BD=OA，OA=OB
所以△AOB和△BOD为等腰三角形，
设∠D=x度，则∠OBA=2x°，
因为OB=OA，
所以∠A=2x°，
在△AOB中，2x+2x+（105﹣x）=180，
解得x=25，
即∠D=25°．

点评：
此题主要考查了等腰三角形的基本性质，以及三角形内角和定理，难易程度适中．

三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）
21．已知：AB交⊙O于C、D，且AC=BD．请证明：OA=OB．

考点：
垂径定理；线段垂直平分线的性质．4513433
专题：
证明题．
分析：
过O作OE⊥AB于E，根据垂径定理求出CE=DE，求出AE=BE，根据线段的垂直平分线定理求出即可．
解答：
证明：过O作OE⊥AB于E，
∵OE过圆心O，
∴CE=DE，
∵AC=BD，
∴AE=BE，
∵OE⊥AB，
∴OA=OB．

点评：
本题考查了线段的垂直平分线定理和垂径定理的应用，主要培养学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．

22．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F，求证：AE=BF．

考点：
垂径定理．4513433
专题：
证明题．
分析：
过O作OG⊥CD，由垂径定理可知OG垂直平分CD，再由平行线分线段成比例定理即可求解．
解答：
证明：过O作OG⊥CD，由垂径定理可知OG垂直平分CD，则CG=DG，
∵CE⊥CD，DF⊥CD，OG⊥CD，
∴CE∥OG∥DF，
∵CG=DG，
∴OE=OF，

∵OA=OB，
∴AE=BF．

点评：
本题综合考查了垂径定理和平行线分线段成比例定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出平行线，再利用平行线的性质解答．

23．如图，⊙O中，AB是直径，半径CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：=2．

考点：
圆心角、弧、弦的关系；平行线的判定与性质；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形．4513433
专题：
证明题．
分析：
连接OE，推出DE⊥OC，求出∠EDO=90°，根据OD=OC=OE，求出∠DEO=30°，求出∠EOC，根据OC⊥AB，求出∠AOC=90°，求出∠AOE=30°，即可求出答案．
解答：
证明：
连接OE，
∵AB⊥OC，DE∥AB，
∴DE⊥OC，
∴∠EDO=90°，
∵D为OC中点，
∴OD=OC=OE，
∴∠DEO=30°，
∴∠EOC=90°﹣30°=60°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=90°，
∴∠AOE=90°﹣60°=30°，

即∠AOE=30°，∠COE=60°，
∴=2（圆心角的度数等于它所对的弧的度数）．
点评：
本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，和30度角的直角三角形，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，综合性比较强．

24．已知⊙O的半径为12cm，弦AB=16cm．
（1）求圆心O到弦AB的距离；
（2）如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成什么样的图形？

考点：
垂径定理；勾股定理．4513433
专题：
计算题．
分析：
（1）连接OB，过O作OC⊥AB于C，则线段OC的长就是圆心O到弦AB的距离，求出BC，再根据勾股定理求出OC即可；
（2）弦AB的中点形成一个以O为圆心，以4cm为半径的圆周．
解答：
（1）解：
连接OB，过O作OC⊥AB于C，则线段OC的长就是圆心O到弦AB的距离，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴AC=BC=AB=8cm，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC===4（cm），
答：圆心O到弦AB的距离是4cm．

（2）解：如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点到圆心O的距离都是4cm，
∴如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成一个以O为圆心，以4cm为半径的圆周．
点评：
本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，主要培养学生运用定理进行推理和计算的能力，题型较好，难度适中．

25．如图，△ABC的三个顶点在⊙0上，AD⊥BC，D为垂足，E是的中点，
求证：∠OAE=∠EAD．（写出两种以上的证明方法）

考点：
圆心角、弧、弦的关系；三角形内角和定理．4513433
专题：
证明题．
分析：
方法一：连接OB，利用同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等即可证明此题．
方法二：连接OE，利用垂径定理可得OE⊥BC，再利用AD⊥BC，可得OE∥AD，然后即可证明．
解答：
证明：（1）连接OB，
则∠AOB=2∠ACB，∠OAB=∠OBA，
∵AD⊥BC，
∴∠OAB=（180°﹣∠AOB），
=90°﹣∠AOB=90°﹣∠ACB=∠DAC，
∵E是弧BC的中点，
∴∠EAB=∠EAC，
∴∠EAO=∠EAB﹣∠OAB=∠EAC﹣∠DAC=∠EAD．

（2）连接OE，
∵E是的中点，
∴弧BE=弧EC，
∴OE⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴OE∥AD，
∴∠OEA=∠EAD，
∵OE=OA，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠OAE=∠EAD．

点评：
此题主要考查学生对三角形内角和定理和圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，此题难度不大，关键是作好辅助线，方法一：连接OB，方法二：连接OE，属于中档题．

26．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，
（1）求CD的长；
（2）若直线CD绕点E顺时针旋转15°，交⊙O于C、D，直接写出弦CD的长．

考点：
垂径定理；勾股定理．4513433
分析：
（1）作OH⊥CD于H，连接OD，求出AB=6cm，半径OD=3cm，在Rt△OHE中，OE=2cm，∠OEH=60°，由勾股定理求出OH=cm，在Rt△OHD中，由勾股定理得求出HD=cm，由垂径定理得出DC=2DH，代入即可；
（2）求出OE，∠OEH=45°，根据勾股定理求出OH，在Rt△OHD中，由勾股定理得求出HD，由垂径定理得出DC=2DH，代入即可．

解答：
解：（1）
作OH⊥CD于H，连接OD，
∵AE=1cm，BE=5cm，E在直径AB上，
∴AB=1cm+5cm=6cm，半径OD=3cm，
∵在Rt△OHE中，OE=3cm﹣1cm=2cm，∠OEH=60°，
∴OH=cm，
在Rt△OHD中，由勾股定理得：HD=cm，
∵OH⊥CD，
∴由垂径定理得：DC=2DH=2cm；

（2）作OH⊥CD于H，连接OD，
∵AE=1cm，BE=5cm，E在直径AB上，
∴AB=1cm+5cm=cm6，半径OD=3cm，
∵若直线CD绕点E顺时针旋转15°，
∴∠OEH=60°﹣15°=45°，
在Rt△OHE中，OE=3cm﹣1cm=2cm，∠OEH=45°，
∴OH=cm，
在Rt△OHD中，由勾股定理得：HD==（cm），
∵OH⊥CD，
∴由垂径定理得：DC=2DH=2cm；
即CD=2cm．
点评：
本题考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，等腰直角三角形性质等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．

27．已知：如图，在⊙O中，∠A=∠C，求证：AB=CD（利用三角函数证明）．

考点：
垂径定理；解直角三角形．4513433
专题：
证明题．
分析：
作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，设⊙O半径为R，根据sinA=，、inC=和∠A=∠C求出OE=OF，由勾股定理求出AE=CF，由垂径定理得出DC=2DF，AB=2AE，即可求出答案．

解答：
证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F
设⊙O半径为R，sinA=，sinC=，
∴OE=RsinA，OF=RsinC，
∵∠A=∠C，a
∴sinA=sinC，
∴OE=OF，
由勾股定理得：CF2=OC2﹣OF2，AE2=OA2﹣OE2，
∴AE=CF，
由垂径定理得：DC=2DF，AB=2AE，
∴AB=CD．
点评：
本题考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识点，主要培养学生运用定理进行推理的能力．

28．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，求弦AB的长．

考点：
垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．4513433
分析：
连接OA，根据等腰三角形性质求出∠D=∠OAD=30°，求出∠AOH=60°，根据垂径定理求出AB=2AH=2BH，求出∠HAO=30°，推出AO=2OH=C0，求出OH=CH=1cm，AO=2cm，在Rt△AHO中，由勾股定理求出AH即可．
解答：
解：
连接OA，
∵OA=OD，
∴∠D=∠OAD=30°，
∴∠AOH=30°+30°=60°，
∵AB⊥DH，
∴∠AHO=90°，AB=2AH=2BH，

∴∠HAO=30°，
∴AO=2OH=C0，
∴OH=CH=1cm，
∴AO=2cm，
在Rt△AHO中，由勾股定理得：AH==cm，
∴AB=2cm．
点评：
本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算和推理的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．

29．已知：等腰△ABC内接于半径为6cm的⊙O，AB=AC，点O到BC的距离OD的长等于2cm．求AB的长．

考点：
垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．4513433
专题：
计算题．
分析：
①连接AD、OB，根据三线合一得出AO过D，在Rt△OBD中，根据勾股定理求出BD，在Rt△ADB中，根据勾股定理求出AB即可．②求出BD、AD，根据勾股定理求出AB即可．
解答：
解：①如图，
连接AD，连接OB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴根据等腰三角形的性质（三线合一定理）得出，AO⊥BC，AO平分BC，
∵OD⊥BC，
∴根据垂直定理得：OD平分BC，
即A、O、D三点共线，
∴AO过D，
∵等腰△ABC内接于半径为6cm的⊙O，
∴OA=6cm，BD=DC，AD⊥BC，
在Rt△OBD中，由勾股定理得：BD===4（cm），
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB===4（cm），
②如图：
同法求出BD=4cm，AD=6cm﹣2cm=4cm，
由勾股定理得：AB===4（cm），
答：AB的长是4cm或4cm．

点评：
本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，勾股定理等知识点的应用，关键是正确作辅助线后求出BD的长，题目具有一定的代表性，难度也适中，是一道比较好的题目．注意：分类讨论．

30．如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA=7，AB=12，∠A=∠B=60°，求BC的长．

考点：
垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．4513433
专题：
计算题．
分析：
延长AO交BC于D，过O作OE⊥BC于E，根据垂径定理求出BC=2BE，根据等边三角形的性质和判定求出AD=BD=AB=12，求出OD的长，根据含30度角的直角三角形性质求出DE即可
解答：
解：
延长AO交BC于D，过O作OE⊥BC于E，
∵OE过圆心O，OE⊥BC，
∴BC=2CE=2BE（垂径定理），
∵∠A=∠B=60°，
∴DA=DB，
∴△DAB是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AD=BD=AB=12，∠ADB=60°，
∴OD=AD﹣OA=12﹣7=5，
∵∠OED=90°，∠ODE=60°，
∴∠DOE=30°，
∴DE=OD=（在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半），
∴BE=12﹣=，
∴BC=2BE=19（根据垂径定理已推出，在第三行）．
点评：
本题考查了垂径定理，等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，关键是正确作辅助线后求出BE的长，题目比较典型，难度适中．

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