点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用.doc

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用
广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）

圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
定理 在双曲线（＞0，＞0）中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点
是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.
证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有
，得

又

同理可证，在双曲线（＞0，＞0）中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.
典题妙解
例1 已知双曲线，过点作直线交双曲线C于A、B两点.
（1）求弦AB的中点M的轨迹；
（2）若P恰为弦AB的中点，求直线的方程.
解：（1）焦点在y轴上.
设点M的坐标为，由得：，
整理得：
所求的轨迹方程为
（2） P恰为弦AB的中点，
由得：即
直线的方程为，即
例2 已知双曲线与点
（1）斜率为且过点P的直线与C有两个公共点，求的取值范围；
（2）是否存在过点P的弦AB，使得AB的中点为P？
（3）试判断以为中点的弦是否存在.
解：（1）直线的方程为，即
由得
直线与C有两个公共点，
得
解之得：＜且
的取值范围是
（2）双曲线的标准方程为
设存在过点P的弦AB，使得AB的中点为P，则由得：
由（1）可知，时，直线与C有两个公共点，
存在这样的弦.这时直线的方程为
（3）设以为中点的弦存在，则由得：
由（1）可知，时，直线与C没有两个公共点，
设以为中点的弦不存在.
例3 过点作直线交双曲线于A、B两点，已知（O为坐标原点），求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
解：在双曲线中，，焦点在轴上.设弦AB的中点为.

由平行四边形法则知：，即Q是线段OP的中点.
设点P的坐标为，则点Q的坐标为.
由得：，
整理得：
配方得：.
点P的轨迹方程是，它是中心为，对称轴分别为轴和直线的双曲线.
例4. 设双曲线的中心在原点，以抛物线的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．
（Ⅰ）试求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线与双曲线交于两点，求；
（Ⅲ）对于直线，是否存在这样的实数，使直线与双曲线的交点关于直线 (为常数)对称，若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）由得，
，抛物线的顶点是，准线是.
在双曲线C中，.
双曲线C的方程为.
（Ⅱ）由得：.
设，则.
.
（Ⅲ）假设存在这样的实数，使直线与双曲线的交点关于直线对称，则是线段AB的垂直平分线. 因而，从而. 设线段AB的中点为.
由得：，.…………………………………………①
由得：.…………………………………………………②
由①、②得：.
由得：，.
又由得：
直线与双曲线C相交于A、B两点，
＞0，即＜6，且.
符合题意的的值存在，.
金指点睛
1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M、N两点，MN的中点的横坐标为，则此双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
2.（02江苏）设A、B是双曲线上两点，点是线段AB的中点.
（1）求直线AB的方程；
（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么？
3. 已知双曲线，过点作直线交双曲线于A、B两点.

（1）求弦AB的中点M的轨迹;
（2）若点P恰好是弦AB的中点，求直线的方程和弦AB的长.
4、双曲线C的中心在原点，并以椭圆的焦点为焦点，以抛物线的准线为右准线.
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线与双曲线C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线
对称，求的值.
参考答案
1. 解：在直线中，，时，. 由得.
又由得.
故答案选D.
2. 解：（1），焦点在上. 由得：，.
所求的直线AB方程为，即.
（2）设直线CD的方程为，点在直线CD上，
，.
直线CD的方程为.
又设弦CD的中点为，由得：，即.
由得.
点M的坐标为.
又由得.
由两点间的距离公式可知：.
故A、B、C、D四点到点M的距离相等，即A、B、C、D四点共圆.
3. 解：（1），焦点在上. 设点M的坐标为.
若直线的的斜率不存在，则轴，这时直线与双曲线没有公共点，不合题意，故直线的的斜率存在.
由得：，
整理，得：.
点M的轨迹方程为.
（2）由得：，.
所求的直线方程为，即.
由得，
解之得：.

4. 解：（1）在椭圆中，，
焦点为.
在抛物线中，，准线为.
在双曲线中，. 从而
所求双曲线C的方程为.
（2）直线是弦AB的垂直平分线，，从而. 设弦AB的中点为.
由得：，.…………………………………………①
由得：.…………………………………………………②
由①、②得：
又，
，即.
.
由得
直线与双曲线C相交于A、B两点，
＞0，即＜6，且. 符合题意.
故的值为.