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第2章系统的数学模型 (习题答案)
2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？
解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。
2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？
解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。
2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程, 图中xi表示输入位移, xo表示输出位移, 假设输出端无负载效应。

题图2.3
解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得

整理得

将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得
[]
于是传递函数为

②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。引出点处取为辅助点B。则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：

消去中间变量x，可得系统微分方程

对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为

③图(c)：以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：

移项整理得系统微分方程

对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即

则系统传递函数为

2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压和位移为输入量；电压和位移为输出量；和为弹簧弹性系数；为阻尼系数。

题图2.4
【解】：
方法一：设回路电流为，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：

消去中间变量，整理得：

方法二：

由于无质量，各受力点任何时刻均满足，则有：

设阻尼器输入位移为，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程

结论：、互为相似系统，、互为相似系统。四个系统均为一阶系统。

2.5试求下图（题图2.5）所示各电路的传递函数。

题图2.5
【解】：可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数。
(a)
(b)
(c)
(d)

2.6求图( 题图2.6) 所示两系统的微分方程。

题图2.6
解（1）对图（a）所示系统，由牛顿定律有

即

（2）对图（b）所示系统，由牛顿定律有
其中

2.7 求图( 题图2.7) 所示机械系统的微分方程。图中M为输入转矩，Cm为圆周阻尼，J 为转动惯量。圆周半径为R，设系统输入为M（即M(t)），输出为（即），

题图2.7

解：分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：

消除中间变量x，即可得到系统动力学方程
+k(c)

2.8 求图( 题图2.8) 所示系统的传递函数（f(t)为输入，y2(t)为输出）。
解分别对，进行受力分析，列写其动力学方程有

对上两式分别进行拉氏变换有

消除得

2.9 若系统传递函数方框图如图(题图2.9) 所示, 求：
(1) 以R(s)为输入，当N(s) = 0 时，分别以C(s)，Y(s)， B(s)，E(s) 为输出的闭环传递函数。
(2) 以N(s)为输入，当R(s) = 0 时，分别以C(s)，Y(s)，B(s)，E(s) 为输出的闭环传递函数。
(3) 比较以上各传递函数的分母，从中可以得出什么结论。

题图2.8 题图2.9
解（1）以为输入，当N()=0时：
若以C()为输出，有
若以Y()为输出，有
若以B()为输出，有
若以E()为输出，有
（2）以为输入，当R()=0时：
若以C()为输出，有
若以Y()为输出，有
若以B()为输出，有
若以E()为输出，有
（3）从上可知：对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递函数不同，反馈回路的传递函数不同，系统的传递函数也不同，但系统的传递函数分母保持不变，这是因为这一分母反映了系统的固有特性，而与外界无关。

2.10 求出图( 题图2 .10) 所示系统的传递函数。

题图2.10

解方法一：利用公式（2.3.1），可得

方法二：利用方框图简化规则，有图（题2.16.b）

2.11 求出图( 题图2 .11) 所示系统的传递函数。
解根据方框图简化的规则，有图（题2.17.b）

题图2.11

2.12 图(题图2 .12) 所示为一个单轮汽车支撑系统的简化模型。代表汽车质量，B代表振动阻尼器，为弹簧，为轮子的质量，为轮胎的弹性，试建立系统的数学模型。

题图2.12
问题2 质点振动系统。这是一个单轮汽车支撑系统的简化模型。代表汽车质量，B代表振动阻尼器，为弹簧，为轮子的质量，为轮胎的弹性，建立质点平移系统数学模型。
解答：

拉氏变换：

2.13 液压阻尼器原理如图(题图2.13)所示。其中，弹簧与活塞刚性联接，忽略运动件的惯性力，且设为输入位移，为输出位移，k弹簧刚度，c为粘性阻尼系数，求输出与输入之间的传递函数。

题图2.13
解：
1）求系统的传递函数 活塞的力平衡方程式为

经拉氏变换后有

解得传递函数为

式中，为时间常数。

2.14 由运算放大器组成的控制系统模拟电路图如图(题图2.14)所示，试求闭环传递函数

题图2.14
解：

式（1）（2）（3）左右两边分别相乘得
即

所以：

2.15 某位置随动系统原理方块图如图(题图2.15)所示。已知电位器最大工作角度，功率放大级放大系数为，要求：　
(1) 分别求出电位器传递系数、第一级和第二级放大器的比例系数和；　
(2) 画出系统结构图；
(3) 简化结构图，求系统传递函数；

题图2.15 位置随动系统原理图

解：
（1）=3 =2
（2）

系统结构图如下：

（3）系统传递函数

2.16 设直流电动机双闭环调速系统的原理图如图(题图2.16)所示，要求：　
(1)分别求速度调节器和电流调节器的传递函数；
(2)画出系统结构图（设可控电路传递函数为；电流互感器和测速发电机的传递函数分别为和）；
(3)简化系统结构图，求系统传递函数。

题图2.16 直流电动机调速系统原理图
解：（1）速调

流调

（2）系统结构图如下

(3)简化结构图，求系统传递函数
因为求系统传递函数，所以令，系统结构图如下：

所以：

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