追击相遇问题.doc

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追击相遇问题
【专题概述】
1. 当两个物体在同一条直线上运动时,由于两物体的运动情况不同,所以两物体之间的距离会不断发生变化,两物体间距越来越大或越来越小时,就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题。
2. 追及问题的两类情况
(1) 若后者能追上前者,则追上时,两者处于同一位置,后者的速度一定不小于前者的速度。
(2) 若后者追不上前者,则当后者的速度与前者速度相等时,两者相距最近。
3.相遇问题的常见情况
(1)同向运动的两物体追及即相遇。
(2)相向运动的两物体,当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。
4.追及相遇问题中的两个关系和一个条件
(1)两个关系:即时间关系和位移关系,这两个关系可通过画草图得到。
(2)一个条件:即两者速度相等,它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件,也是分析判断的切入点。
5.追及相遇问题常见的情况
物体A追物体B,开始时,两个物体相距s。
(1)A追上B时,必有s=且;
(2)要使两物体恰好不相撞,必有s=且;
(3)若使物体肯定不相撞,则由时,且之后。
【典例精讲】
1. 基本追赶问题
【典例1】在水平轨道上有两列火车A和B,相距s,A车在后面做初速度为、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同。要使两车不相撞,求A车的初速度满足什么条件。

2．是否相碰及相碰问题
【典例 2】越来越多的私家车变成了人们出行的工具，但交通安全将引起人们的高度重视，超速是引起交通事故的重要原因之一，规定私家车在高速公路上最高时速是120 km/h，为了安全一般在110～60 km/h之间行驶；
(1)在高速公路上行驶一定要与前车保持一个安全距离s0，即前车突然停止，后车作出反应进行减速，不会碰到前车的最小距离．如果某人驾车以108 km/h的速度行驶，看到前车由于故障停止，0.5 s后作出减速动作，设汽车刹车加速度是5 m/s2，安全距离是多少？
(2)如果该人驾车以108 km/h的速度行驶，同车道前方x0＝40 m处有一货车以72 km/h的速度行驶，在不能改变车道的情况下采取刹车方式避让(加速度仍为5 m/s2)，通过计算说明是否会与前车相碰．
【典例3】2014年11月22日16时55分，四川省康定县境内发生6.3级地震并引发一处泥石流．一汽车停在小山坡底，突然司机发现山坡上距坡底240 m处的泥石流以8 m/s的初速度，0.4 m/s2的加速度匀加速倾泻而下，假设泥石流到达坡底后速率不变，在水平地面上做匀速直线运动，司机的反应时间为1 s，汽车启动后以恒定的加速度一直做匀加速直线运动．其过程简化为图所示，求：

(1)泥石流到达坡底的时间和速度大小？
(2)试通过计算说明：汽车的加速度至少多大才能脱离危险？(结果保留三位有效数字)
3. 能否追上及最大值的问题
【典例4】甲车以3 m/s2的加速度由静止开始做匀加速直线运动．乙车落后2 s在同一地点由静止开始，以6 m/s2的加速度做匀加速直线运动．两车的运动方向相同．求：
(1)在乙车追上甲车之前，两车距离的最大值是多少？
(2)乙车出发后经多长时间可追上甲车？此时它们离出发点多远？
【典例5】一列火车从车站出发做匀加速直线运动，加速度为0.5 m/s2，此时恰好有一辆自行车(可视为质点)从火车头旁边驶过，自行车速度v0＝8 m/s，火车长l＝336 m.
(1)火车追上自行车以前落后于自行车的最大距离是多少？
(2)火车用多少时间可追上自行车？
(3)再过多长时间可超过自行车？
注意 ①在解决追及、相遇类问题时,要紧抓“一图三式”,即:过程示意图,时间关系式、速度关系式和位移关系式。最后还要注意对结果的讨论分析。
②分析追及、相遇类问题时,要注意抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目中的隐含条件,如 “刚好”“恰好”“最多”“至少”等,往往对应一个临界状态,满足相应的临界条件。
三 总结提升
速度小者追速度大者

图像
说明
匀加速追匀速

①以前,后面物体与前面物体间距离增大
②时,两物体相距最远,为
③以后,后面物体与前面物体间距离减小
④能追上且只能相遇一次
匀速追匀减速

匀加速追匀减速

速度大者追速度小者

图像
说明
匀减速追匀速

开始追赶时,后面物体与前面物体间的距离在
减小,当两物体速度相等时,即时刻:
①若,则恰能追上,两物体只能相遇一次,
这也是避免相撞的临界条件
②若,则不能追上,此时两物体最小距离
为
③若,则相遇两次,设时刻,两物体
第一次相遇,则时刻两物体第二次相遇
匀速追匀加速

匀减速追匀加速

说明： (1)表中的Δx是开始追赶以后,后面物体因速度大而比前面物体
多运动的位移;
(2)是开始追赶以前两物体之间的距离;
(3)
(4)是前面物体的速度,是后面物体的速度。
【提升专练】
1.(多选)甲、乙两车某时刻由同一地点,沿同一方向开始做直线运动,若以该时刻作为计时起点,得到两车的位移-时间图像,即x-t图像如图所示,甲图像过O点的切线与AB平行,过C点的切线与OA平行,则下列说法中正确的是( )

A.在两车相遇前,t1时刻两车相距最远
B.t3时刻甲车在乙车的前方
C.0~t2时间内甲车的瞬时速度始终大于乙车的瞬时速度
D.甲车的初速度等于乙车在t3时刻的速度
2.甲、乙两辆汽车沿同一方向做直线运动,两车在某一时刻刚好经过同一位置,此时甲的速度为5 m/s,乙的速度为10 m/s,甲车的加速度大小恒为1.2 m/s2。以此时作为计时起点,它们的速度随时间变化的关系如图所示,根据以上条件可知( )

A.乙车做加速度先增大后减小的变加速运动
B.在前4 s的时间内,甲车运动位移为29.6 m
C.在t=4 s时,甲车追上乙车
D.在t=10 s时,乙车又回到起始位置
3.如图所示为甲、乙两物体从同一位置出发沿同一方向做直线运动的v-t图像,其中t2=2t1,则下列判断正确的是( )

A.甲的加速度比乙的大
B.t1时刻甲、乙两物体相遇
C.t2时刻甲、乙两物体相遇
D.0~t1时间内,甲、乙两物体之间的距离逐渐减小
4.如图所示为甲、乙两个物体在同一条直线上运动的v-t 图像,t=0时两物体相距3s0,在t=1 s时两物体相遇,则下列说法正确的是 ( )

A.t=0时,甲物体在前,乙物体在后
B.t=2 s时,两物体相距最远
C.t=3 s时,两物体再次相遇
D.t=4 s时,甲物体在乙物体后2s0处
5.A、B两质点同时、同地沿同一直线运动,其v-t图像分别如图中a、b所示,t1时刻图线b的切线与图线a平行,在0~t2时间内,下列说法正确的是( )

A.质点A一直做匀加速直线运动
B.t1时刻两质点的加速度相等,相距最远
C.t2时刻两质点速度相等,相距最远
D.t2时刻两质点速度相等,A恰好追上B
6.甲、乙两车在某时刻由同一地点沿同一方向开始做直线运动,若以该时刻作为计时起点,得到两车的位移-时间图像如图所示,则下列说法正确的是 ( )

A.甲做匀加速直线运动,乙做变加速直线运动
B.t1时刻乙车从后面追上甲车
C.t1时刻两车的速度刚好相等
D.0到t1时间内,乙车的平均速度小于甲车的平均速度
7.甲、乙两车在公路上沿同一方向做直线运动,在t=0时刻,乙车在甲车前方50 m处,它们的v-t图像如图所示,下列对两车运动情况的描述正确的是 ( )

A.在第30 s末,甲、乙两车相距100 m
B.甲车先做匀速运动再做反向匀减速运动
C.在第20 s末,甲、乙两车的加速度大小相等
D.在整个运动过程中,甲、乙两车可以相遇两次
8.两个质点A、B放在同一水平面上,由静止开始从同一位置沿相同方向同时开始做直线运动,其运动的v-t图像如图所示。对A、B运动情况的分析,下列结论正确的是( )

A.A、B加速时的加速度大小之比为2∶1,A、B减速时的加速度大小之比为1∶1
B.在t=3t0时刻,A、B相距最远
C.在t=5t0时刻,A、B相距最远
D.在t=6t0时刻,A、B相遇
9.A、B两物体在同一直线上运动,当它们相距7 m时,A在水平拉力和摩擦力的作用下,正以4 m/s的速度向右做匀速运动,而物体B此时速度为10 m/s,方向向右,它在摩擦力作用下做匀减速运动,加速度大小为2 m/s2。求:
(1)A追上B之前两者之间的最大距离;
(2)A追上B所用的时间。
10.某物体A静止于水平地面上,它与地面间的动摩擦因数μ=0.2,若给物体A一个水平向右的初速度v0=10 m/s,g=10 m/s2。求:
(1)物体A向右滑行的最大距离;
(2)若物体A右方x0=12 m处有一辆汽车B,在物体A获得初速度v0的同时,汽车B从静止开始以a=2 m/s2的加速度向右运动,通过计算说明物体A能否撞上汽车B。
追击相遇问题答案
【典例精讲】
【典例1】【答案】v0< 

这是一个关于时间t的一元二次方程,当根的判别式Δ=时,t无实数解,即两车不相撞,所以要使两车不相撞,A车的初速度应满足的条件是< 
方法三：利用速度-时间图像求解,先作A、B两车的速度-时间图像,其图像如图乙所示,设经过t时间两车刚好不相撞,则
对A车有vA=v=v0-2at
对B车有vB=v=at
以上两式联立解得t= 
经t时间两车发生的位移大小之差,即为原来两车间的距离s,它可用图中
的阴影面积表示,由图像可知
s== = 
所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是 v0<。
【典例 2】【答案】(1)s0＝105 m (2)不会相碰
车的位移为x1，运动时间为t2，货车的位移为x2，则速度相等经历的时间为：
t2＝＝ s＝2 s，
则私家车的位移为：
x1＝＝ m＝50 m，
对货车：位移为：x2＝v1t2＝20×2 m＝40 m，
因为x2＋x0＞x1，所以不会相碰
【典例3】【答案】（1）t1＝20 s，v1＝16 m/s (2)a′＝0.421 m/s2
【典例4】【答案】(1)12 m (2)x1＝x2≈70 m
【解析】
两车距离最大时速度相等，设此时乙车已开动的时间为t，则甲、乙两车的速度分别是
v1＝3×(t＋2)＝3t＋6

【典例5】【答案】(1)xm＝v0t1－at＝8×16－×0.5×162＝64 m
(2)t2＝＝ s＝32 s
(3)t3＝24 s

代入数据解得：t2＝＝ s＝32 s
(3)追上时火车的速度：v＝at2＝0.5×32 m/s＝16 m/s
设再过t3时间超过自行车，则
vt3＋at－v0t3＝l
代入数据解得t3＝24 s
【提升专练】
1、【答案】AD
【解析】 图像的纵坐标表示物体所在的位置,由图可知t1时刻两车相距最远,故A正确;t3时刻两车的位移相同,两车处在同一位置,故B错误;图线(或图线切线)的斜率表示速度,由图可知,t1时刻以后甲车瞬时速度小于乙车瞬时速度,甲车的初速度等于乙车在t3时刻的速度,故C错误,D正确。
2、【答案】B
【解析】v-t图线的斜率表示物体的加速度,由图可知,乙的加速度先减小后反向增大,再减小,故A错误;在前4 s的时间内,甲车运动位移为x=v0t+at2=5×4 m+×1.2×16 m=29.6 m,故B正确;在t=4 s时,两车的速度相同,但0~4 s内两车的位移不同,则两车没有相遇,故C错误;在前10 s内,乙车一直做变加速直线运动,速度一直沿同一方向,故t=10 s时乙车没有回到起始位置,故D错误。
3、【答案】C

4、【答案】C
【解析】因t=1 s时两物体相遇,且0~1 s内甲的速度始终比乙大,则可知t=0时,甲物体在后,乙物体在前,A错误;1 s 末两物体相遇,由对称性可知1~3 s内甲、乙的位移相同,因此3 s末两物体再次相遇,C正确;由对称性可知4 s末,甲物体在乙物体后3s0处,此后甲、乙间距离不断增大,因此两者间距最大值无法获得,B、D错误。
5、【答案】C

6、【答案】B
【解析】因位移图线的斜率表示速度,故甲车做匀速直线运动,乙车做变速直线运动,A项错;两图线有交点,表明两车在同一时刻到达同一位置,即相遇,则由图可知t1时刻乙从后面追上甲,B项正确;在t1时刻,乙图线切线斜率(速度)大于甲图线斜率(速度),C项错;0~t1时间内,两车初、末位置相同,即位移相同,故两车平均速度相同,D项错。
7、【答案】D

8、【答案】D
【解析】由v-t图像可知,加速时A、B的加速度大小之比为10∶1,减速时A、B的加速度大小之比为1∶1,选项A错误;由A、B的运动关系可知,当A、B速度相同时,A、B间的距离最大,故选项B、C错误;由题意可知A、B是从同一位置同时开始运动的,由速度-时间图像可以算出运动位移,可知6t0时刻,A、B的位移xA=xB=3v0t0,因此在此时刻A、B相遇,选项D正确。
9、【答案】(1)16 m (2)8 s

10、【答案】(1)25 m (2)见解析
【解析】(1)由牛顿第二定律得
μmg=ma0
a0=2 m/s2
根据v2-=-2a0x
解得x=25 m
(2)假设二者不相撞,设经过时间t二者有共同速度v共
则对物体A:v共=v0-a0t
对汽车B:v共=at
解得:v共=5 m/s,t=2.5 s
该过程中物体A的位移:xA=t=18.75 m
该过程中汽车B的位移:xB=t=6.25 m
因为xA>xB+x0
所以物体A能撞上汽车B。
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