2023年二次函数与几何综合压轴题题型归纳.doc

O
x
y
A
B
C
D
一 基本构图：
y=（如下几种分类函数解析式就是这个）
★和最小，差最大 在对称轴上找一点P，使得PB+PC和最小，求出P点坐标
在对称轴上找一点P，使得PB-PC差最大，求出P点坐标

O
x
y
A
B
C
D

★求面积最大 连接AC,在第四象限找一点P，使得面积最大，求出P坐标

O
x
y
A
B
C
D
★ 讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得为直角三角形，
求出P坐标或者在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边直角三角形．

★ 讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得为等腰三角形，
求出P坐标
O
x
y
A
B
C
D

★ 讨论平行四边形 1、点E在抛物线对称轴上，点F在抛物线上，
且以B，A，F，E四点为顶点四边形为平行四边形，求点F坐标

二 综合题型
例1 (中考变式）如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。交Y轴于C
(1)求该抛物线解析式与△ABC面积。

(2)在抛物线第二象限图象上与否存在一点M，使△MBC是以∠BCM为直角直角三角形，若存在，求出点P坐标。若没有，请阐明理由

(3)若E为抛物线B、C两点间图象上一种动点(不与A、B重叠)，过E作EF与X轴垂直，交BC于F，设E点横坐标为x.EF长度为L，
求L有关X函数关系式？关写出X取值范围？
当E点运动到什么位置时，线段EF值最大，并求此时E点坐标？

(4)在（5）状况下直线BC与抛物线对称轴交于点H。当E点运动到什么位置时,以点E、F、H、D为顶点四边形为平行四边形？

(5)在（5）状况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE面积最大？

例2 考点： 有关面积最值
如图，在平面直角坐标系中，点A、C坐标分别为(－1，0)、(0，)，点B在x轴上．已知某二次函数图象通过A、B、C三点，且它对称轴为直线x＝1，点P为直线BC下方二次函数图象上一种动点（点P与B、C不重叠），过点P作y轴平行线交BC于点F．
y
x
B
A
F
P
x＝1
C
O
（1）求该二次函数解析式；
（2）若设点P横坐标为m，试用含m代数式体现线段PF长；
（3）求△PBC面积最大值，并求此时点P坐标．

例3 考点：讨论等腰
如图，已知抛物线y＝x 2＋bx＋c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A坐标为（2，0），点C坐标为（0，－1）．
（1）求抛物线解析式；
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE面积最大时，求点D坐标；
B
C
O
A
备用图
y
x
（3）在直线BC上与否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P坐标，若不存在，阐明理由．
D
B
C
O
A
y
x
E

例4考点：讨论直角三角

⑴ 如图，已知点A（一1，0）和点B（1，2），在坐标轴上
确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件点P共有（ ）．
(A）2个 （B）4个 （C） 6个（D）7个

⑵ 已知：如图一次函数y＝x＋1图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x 2＋bx＋c图象与一次函数y＝x＋1图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）
（1）求二次函数解析式；
（2）求四边形BDEC面积S；
O
A
B
y
C
x
D
E
2
（3）在x轴上与否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点直角三角形？若存在，求出所有点P，若不存在，请阐明理由．

例5 考点：讨论四边形
已知：如图所示，有关x抛物线y＝ax 2＋x＋c（a≠0）与x轴交于点A（－2，0），点B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求出此抛物线解析式，并写出顶点坐标；
（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D坐标，并求出直线AD解析式；
（3）在（2）中直线AD交抛物线对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．与否存在以A、M、P、Q为顶点平行四边形？假如存在，请直接写出点Q坐标；假如不存在，请阐明理由．
B
A
y
O
C
x

综合练习：
1、平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴正半轴交于点C，点 A坐标为(1，0)，OB＝OC，抛物线顶点为D。
(1) 求此抛物线解析式；
(2) 若此抛物线对称轴上点P满足∠APB＝∠ACB，求点P坐标；
(3) Q为线段BD上一点，点A有关∠AQB平分线对称点为，若，求点Q坐 标和此时△面积。

2、在平面直角坐标系中，已知二次函数图像与轴交于点，与轴交于A、B两点，点B坐标为。
（1） 求二次函数解析式及顶点D坐标；
（2） 点M是第二象限内抛物线上一动点，若直线OM把四边形ACDB提成面积为1 ：2两某些，求出此时点坐标；
（3） 点P是第二象限内抛物线上一动点，问：点P在何处时△面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P坐标。

3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为，且对称轴与轴交于点。
（1）求点坐标（用含代数式体现）；
（2）为中点，直线交轴于，若（0，2），求抛物线解析式；
（3）在（2）条件下，点在直线上，且使得周长最小，在抛物线上，在直线上，若觉得顶点四边形是平行四边形，求点坐标。

4、已知有关方程。
（1） 若方程有两个不相等实数根，求取值范围；
（2） 若正整数满足，设二次函数图象与轴交于两点，将此图象在x轴下方某些沿x轴翻折，图象别旳某些保持不变，得到一种新图象；请你结合这个新图象回答：当直线与此图象恰好有三个公共点时，求出值（只需规定出两个满足题意k值即可）。

5如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（﹣4，0）和B．
（1）求该抛物线解析式；
（2）点Q是线段AB上动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CEQ面积最大时，求点Q坐标；
（3）平行于x轴动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D坐标为（﹣2，0）．问与否有直线l，使△ODF是等腰三角形？若存在，祈求出点F坐标；若不存在，请阐明理由．

三、中考二次函数代数型综合题
题型一、抛物线与x轴两个交点分别位于某定点两侧
例1．已知二次函数y＝x 2＋(m－1)x＋m－2图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2．
（1）若x1x2＜0，且m为正整数，求该二次函数体现式；
（2）若x1＜1，x2＞1，求m取值范围；
（3）与否存在实数m，使得过A、B两点圆与y轴相切于点C（0，2），若存在，求出m值；若不存在，请阐明理由；
（4）若过点D（0，）直线与（1）中二次函数图象相交于M、N两点，且 ＝ ，求该直线体现式．

题型二、抛物线与x轴两交点之间距离问题
例2 已知二次函数y= x 2+mx+m-5，
（1） 求证：无论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；
（2）求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间距离最短．

题型三、抛物线方程整数解问题
例1． 已知抛物线与x轴两个交点横坐标均为整数，且m＜5，则整数m值为_____________
例2．已知二次函数y＝x 2－2mx＋4m－8．
（1）当x≤2时，函数值y随x增大而减小，求m取值范围；
A
O
x
y
（2）以抛物线y＝x 2－2mx＋4m－8顶点A为一种顶点作该抛物线内接正（M，N两点在拋物线上），请问：△AMN面积是与m无关定值吗？若是，祈求出这个定值；若不是，请阐明理由；
（3）若抛物线y＝x 2－2mx＋4m－8与x轴交点横坐标均为整数，
求整数m值．

题型四、抛物线与对称，波及：点与点有关原点对称、抛物线对称性、数形结合
例1．已知抛物线（其中b>0，c≠0）与y轴交点为A，点A有关抛物线对称轴对称点为B(m,n)，且AB=2.
(1)求m,b值
(2)假如抛物线顶点位于x轴下方，且BO=。求抛物线所对应函数关系式（友谊提醒：请画图思索）

题型五、抛物线中韦达定理广泛应用（线段长、定点两侧、点点有关原点对称、等等）
例1．已知：二次函数图象与x轴交于不一样两点A（，0）、B（，0）（＜），其顶点是点C，对称轴与x轴交于点D．
（1）求实数m取值范围；
（2）假如（+1）（+1）=8，求二次函数解析式；
（3）把（2）中所得二次函数图象沿y轴上下平移，假如平移后函数图象与x轴交于点、，顶点为点C1，且△是等边三角形，求平移后所得图象函数解析式．
综合提高
1．已知二次函数图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），且| AB|＝2 ，图象对称轴为x＝1．
（1）求二次函数体现式；
（2）若二次函数图象都在直线y＝x＋m下方，求m取值范围．

2．已知二次函数y＝－x 2＋mx－m＋2．
（1）若该二次函数图象与x轴两个交点A、B分别在原点两侧，并且AB＝ ，求m值；
（2）设该二次函数图象与y轴交点为C，二次函数图象上存在有关原点对称两点M、N，且S△MNC ＝27，求m值．

3. 已知有关x一元二次方程x 2－2(k＋1)x＋k 2＝0有两个整数根，k＜5且k为整数．
（1）求k值；
（2）当此方程有两个非零整数根时，将有关x二次函数y＝x 2－2(k＋1)x＋k 2图象沿x轴向左平移4个单位，求平移后二次函数图象解析式；
（3）根据直线y＝x＋b与（2）中两个函数图象交点总个数，求b取值范围．

4．已知二次函数图象通过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点纵坐标为m．
（1）若m为定值，求此二次函数解析式；
（2）若二次函数图象与x轴尚有异于点A另一种交点，求m取值范围；
（3）若二次函数图象截直线y＝－x＋1所得线段长为2 ，求m值．

四、中考二次函数定值问题
1. （江西南昌8分）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
（1）写出二次函数L1开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象两条相似性质；②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF长度与否发生变化？假如不会，祈求出EF长度；假如会，请阐明理由．

2. （山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴直线、．
(1)求抛物线对应二次函数解析式；
(2)求证以ON为直径圆与直线相切；
(3)求线段MN长(用k体现)，并证明M、N两点到直线距离之和等于线段MN长．

3. （浙江义乌12分）如图1，已知直线y=kx与抛物线交于点A（3，6）．
（1）求直线y=kx解析式和线段OA长度；
（2）点P为抛物线第一象限内动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重叠），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN长度之比与否为定值？假如是，求出这个定值；假如不是，阐明理由；
（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧点，点E在线段OA上（与点O、A不重叠），点D（m，0）是x轴正半轴上动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件E点个数分别是1个、2个？

4．（•株洲）孔明是一种喜欢探究钻研同学，她在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a＜0)性质时，将一把直角三角板直角顶点置于平面直角坐标系原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答如下问题：
（1）若测得OA=OB=2（如图1），求a值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B坐标，并求点A横坐标；
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B连线段总通过一种固定点，试阐明理由并求出该点坐标．