章现实世界中的数学模型市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第一章第一章现实世界中数学模型现实世界中数学模型第1页第一节第一节 现实世界模型现实世界模型第2页 在现实生活中，我们对在现实生活中，我们对“模型模型”（Model）这个名词并）这个名词并不陌生。我们经常谈到不陌生。我们经常谈到“物理模型物理模型”、“化学模型化学模型”、“生物生物模型模型”等。等。“原型原型”（Prototype）和）和“模型模型”是一对对偶体。是一对对偶体。原型：是指人们在现实世界里关心、研究或从事生原型：是指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理实际对象。在科技领域中通常使用系统、过产、管理实际对象。在科技领域中通常使用系统、过程等词汇来描述对应对象。程等词汇来描述对应对象。第3页 模型：指为了某个特定目标将原型一部分信息简模型：指为了某个特定目标将原型一部分信息简缩、提炼而组成原型替换物。缩、提炼而组成原型替换物。尤其要说明是：模型不是原型原封不动复制品。尤其要说明是：模型不是原型原封不动复制品。原型有各个方面和各个层次特征，而模型只要求与某原型有各个方面和各个层次特征，而模型只要求与某种目标相关那些方面和层次。种目标相关那些方面和层次。模型基本特征是由结构模型目标决定。模型基本特征是由结构模型目标决定。第4页 一、形象模型一、形象模型 依据某种物体实际大小，按一定百分比制作模型称依据某种物体实际大小，按一定百分比制作模型称为形象模型。比如汽车模型、建筑模型都是形象模型。为形象模型。比如汽车模型、建筑模型都是形象模型。形象模型又称为直观模型。形象模型又称为直观模型。第5页 二、物理模型二、物理模型 物理模型主要指科研工作者为一定目标依据相同原物理模型主要指科研工作者为一定目标依据相同原理结构模型，它不但能够能够显示原型外形或相同理结构模型，它不但能够能够显示原型外形或相同特征，而且能够用来进行模拟试验，间接地研究模型特征，而且能够用来进行模拟试验，间接地研究模型一些规律。一些规律。第6页 三、思维模型三、思维模型 思维模型是指人们对原型重复认识，将获取知识思维模型是指人们对原型重复认识，将获取知识以经验形式直接存放于人脑中，从而能够依据思维或直以经验形式直接存放于人脑中，从而能够依据思维或直觉作出对应决议。觉作出对应决议。思维模型特征是轻易接收，也能够在一定条件思维模型特征是轻易接收，也能够在一定条件下或得满意结果，不过它往往带有含糊性、片面性、下或得满意结果，不过它往往带有含糊性、片面性、主观性、偶然性等缺点。主观性、偶然性等缺点。第7页 四、符号模型四、符号模型 用一些比较生动、鲜明符号来刻画某种事物特征，用一些比较生动、鲜明符号来刻画某种事物特征，这种模型称为符号模型。比如地图、电路图、化学结构这种模型称为符号模型。比如地图、电路图、化学结构表等。表等。第8页 五、数学模型五、数学模型 在初等数学中，我们就已经碰到了数学模型详细问在初等数学中，我们就已经碰到了数学模型详细问题，只是那时并不知道这就是数学模型。我们看下面题，只是那时并不知道这就是数学模型。我们看下面例子。例子。第9页 例例 甲乙两地相距甲乙两地相距740km，某船从甲地到乙地顺水需，某船从甲地到乙地顺水需要要30小时，从乙地到甲地逆水需要小时，从乙地到甲地逆水需要50小时，问船速、水小时，问船速、水速各为多少？速各为多少？分析：在该问题中，两地之间距离是已知，而且分析：在该问题中，两地之间距离是已知，而且假定在考查问题时间段中水流速不变，在这么假假定在考查问题时间段中水流速不变，在这么假设之下，我们能够得出问题解。设之下，我们能够得出问题解。求解求解 设水流速为设水流速为 ，船行驶速度为，船行驶速度为 ，则当顺，则当顺水航行时相关系水航行时相关系第10页当船只逆水航行时，有当船只逆水航行时，有即有方程组即有方程组上式即为原问题数学表示式，又称为数学模型。上式即为原问题数学表示式，又称为数学模型。第11页 轻易求出该问题解：轻易求出该问题解：。即船速为。即船速为20km/h，水速为，水速为5km/h。第12页 在上面例中我们看到数学模型普通意义：在上面例中我们看到数学模型普通意义：对于现实世界一个特定对象，为了一个特定目对于现实世界一个特定对象，为了一个特定目，依据特有内在规律，作出一些必要假设，利用，依据特有内在规律，作出一些必要假设，利用适当数学工具，得到一个数学结构。适当数学工具，得到一个数学结构。第13页 注意：本课程重点并不是单单介绍现实世界数学注意：本课程重点并不是单单介绍现实世界数学模型，而主要是介绍建立数学模型全部过程和求解模型，而主要是介绍建立数学模型全部过程和求解过程。过程。建立模型过程就称为数学建模。建立模型过程就称为数学建模。第14页第二节第二节 数学建模主要意义数学建模主要意义第15页 一、在普通工程领域中，数学建模依然大有用武之一、在普通工程领域中，数学建模依然大有用武之地。地。二、在高新技术领域中，数学建模几乎是必不可少二、在高新技术领域中，数学建模几乎是必不可少工具。工具。三、数学快速进入一些新兴领域，为数学建模开拓三、数学快速进入一些新兴领域，为数学建模开拓了许多新处女地。了许多新处女地。第16页 四、数学建模在国民经济和社会活动中详细表现：四、数学建模在国民经济和社会活动中详细表现：1.预报与决议；预报与决议；2.分析与设计；分析与设计；3.控制与优化；控制与优化；4.规划与管理。规划与管理。第17页第三节第三节 数学模型例子数学模型例子第18页 一、椅子放稳问题一、椅子放稳问题 问题问题 一个有四个脚方凳能否在地上放稳，如能一个有四个脚方凳能否在地上放稳，如能话，给出详细方法。话，给出详细方法。假设假设1 椅子四个脚是等长而且四个脚恰好位于一椅子四个脚是等长而且四个脚恰好位于一个四方形顶点上；个四方形顶点上；假设假设2 地面是一张连续改变曲面；地面是一张连续改变曲面；假设假设3 在任一时刻。椅子最少有三只脚落地。在任一时刻。椅子最少有三只脚落地。第19页 建模建模 设椅子四只脚位于点设椅子四只脚位于点 其连线构其连线构成一正方形，对角线交点为坐标原点，对角线成一正方形，对角线交点为坐标原点，对角线 为坐标轴（坐标系统如图所表示）。为坐标轴（坐标系统如图所表示）。设设 为为 两点椅子脚离开地面距离只和；两点椅子脚离开地面距离只和；为为 两点椅子脚离开两点椅子脚离开地面距离之和，则由条件得地面距离之和，则由条件得第20页 注意到：注意到：而且而且椅子四脚落地意味着椅子四脚落地意味着 故不妨假设故不妨假设则问题归结为是否存在则问题归结为是否存在 使得使得第21页 解模解模 由条件对任意由条件对任意 ，有，有 且且 令令则则 因因第22页由闭区间连续函数零点定理知，存在由闭区间连续函数零点定理知，存在使得使得注意到条件：椅子四个脚中在同一时刻最少有三脚落注意到条件：椅子四个脚中在同一时刻最少有三脚落地，即地，即所以由所以由 ，即有，即有第23页 此说明在问题所设条件下，椅子能够放稳，并给出此说明在问题所设条件下，椅子能够放稳，并给出了放稳详细方法。了放稳详细方法。注注 若在原问题中，若将一个四方形椅子改为长方若在原问题中，若将一个四方形椅子改为长方形桌子，则该怎样求解？形桌子，则该怎样求解？第24页 二、人口增加预报问题二、人口增加预报问题 伴随科学技术发展，在近几个世纪来，世界人口也伴随科学技术发展，在近几个世纪来，世界人口也得到了快速增加。下面数据表反应了近几个世纪得到了快速增加。下面数据表反应了近几个世纪人口增加情况。人口增加情况。年年1625183019301960人口（亿）人口（亿）5102030年年197419871999人口（亿）人口（亿）405060第25页 从表中看出，人口每增加十亿时间，由一百多年缩从表中看出，人口每增加十亿时间，由一百多年缩短至十二、三年。常此以往，人口问题将严重困扰世界短至十二、三年。常此以往，人口问题将严重困扰世界经济发展。经济发展。第26页 下表是我国在下表是我国在20世纪中人口发展情况：世纪中人口发展情况：年年1908193319531964人口（亿）人口（亿）3.04.76.07.2年年19821990人口（亿）人口（亿）10.311.312.95第27页 认识人口数量改变规律，建立适当人口模型，作认识人口数量改变规律，建立适当人口模型，作出准确预报，是有效控制人口增加前提。出准确预报，是有效控制人口增加前提。下面介绍两个基本人口模型，并利用表1给出近两个世纪美国人口统计数据（单位：百万）对模型作出检验，最终用它预报美国人口。第28页年年179018001810182018301840人口人口3.95.37.29.612.917.1年年185018601870188018901900人口人口23.231.438.650.262.976.0年年191019201930194019501960人口人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3年年197019801990人口人口204.0226.5251.4281.4表表1 美国人口数据统计美国人口数据统计第29页 指数增加模型指数增加模型 一个简单人口模型是指数模型：记今年人口为一个简单人口模型是指数模型：记今年人口为 ，年增加率为年增加率为 ，则以后第，则以后第 年人口为年人口为在上面问题中，假定人口增加率在上面问题中，假定人口增加率 是一个不变常是一个不变常数。数。200多年前，马尔萨斯基于增加率不变基础，建立多年前，马尔萨斯基于增加率不变基础，建立了著名人口指数模型。了著名人口指数模型。第30页 建模建模 记时刻记时刻 时人口为时人口为 ，并视其为连续变量，并视其为连续变量，初始时初始时 人口为人口为 ，从，从 到到 时间内人口时间内人口增量为增量为 ，则有，则有令令 则得到则得到 应满足微分方程：应满足微分方程：第31页由这个方程轻易解得：由这个方程轻易解得：当当 时，时，式表明人口将按指数规律无限增加。故式表明人口将按指数规律无限增加。故称为指数增加模型。称为指数增加模型。参数预计：参数预计：式中式中 和和 能够用表能够用表1中数据进行中数据进行预计。为了利用简单最小二乘法，将预计。为了利用简单最小二乘法，将式取对数后得式取对数后得其中：其中：。第32页 以1790年到19数据拟合式，可得 以1790年到全部数据拟合式，可得第33页17901900实际人口与计算人口比较实际人口与计算人口比较计算人口曲线计算人口曲线实际人口实际人口第34页1790实际人口与计算人口比较实际人口与计算人口比较计算人口曲线计算人口曲线实际人口实际人口第35页年年179018001810182018301840人口人口3.95.37.29.612.917.1x14.25.57.29.512.516.5x26.07.49.111.113.616.6年年185018601870188018901900人口人口23.231.438.650.262.976.0 x121.728.637.649.565.185.6x220.324.930.537.345.755.9表表2 指数增加模型拟合美国人口数据结果指数增加模型拟合美国人口数据结果第36页 结果分析结果分析 用上面得到参数用上面得到参数 代入代入式，将计式，将计算结果与实际数据作比较得下表，表中计算人口算结果与实际数据作比较得下表，表中计算人口 是用是用1790年数据拟合结果；计算人口年数据拟合结果；计算人口 是用全部数据拟是用全部数据拟合结果，用这个模型基本上能够描述合结果，用这个模型基本上能够描述19世纪以前美国世纪以前美国人口增加情况，不过进入人口增加情况，不过进入20世纪后，美国人口增加明世纪后，美国人口增加明显放慢，此时模型不再适合了。显放慢，此时模型不再适合了。第37页年年191019201930194019501960人口人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3x1x268.483.7102.5125.5153.6188.0年年197019801990人口人口204.0226.5251.4281.4x1x2230.1281.7344.8422.1第38页 从历史上看，指数增加模型与十九世纪以前欧洲一些从历史上看，指数增加模型与十九世纪以前欧洲一些地域人口统计数据能够很好地吻合，另外，以此模型作地域人口统计数据能够很好地吻合，另外，以此模型作短时间里人口预测能够得到很好地结果。原因是此时短时间里人口预测能够得到很好地结果。原因是此时人口增加率几乎是一个不变常数。人口增加率几乎是一个不变常数。不过，从长久看，任何地域、任何国家人口不可不过，从长久看，任何地域、任何国家人口不可能无限增加，这是因为人口增加率实际上是在不停能无限增加，这是因为人口增加率实际上是在不停地改变。普通情况下，当人口较小时，增加较快；当地改变。普通情况下，当人口较小时，增加较快；当人口到达一定数量时，增加率显著下降。因而用平均人口到达一定数量时，增加率显著下降。因而用平均增加率增加率 来代替改变增加率来代替改变增加率 ，会与实际结果有较，会与实际结果有较第39页大差距。大差距。第40页 阻滞增加模型（阻滞增加模型（Logistic模型）模型）分析分析 当人口增加到一定数量后，自然资源、环境条当人口增加到一定数量后，自然资源、环境条件等原因对人口增加会起到一个阻滞作用，而且伴随件等原因对人口增加会起到一个阻滞作用，而且伴随人口不停增加，阻滞作用会越来越大。阻滞增加模型人口不停增加，阻滞作用会越来越大。阻滞增加模型就是基于这个事实，对指数增加模型基本假设进行修就是基于这个事实，对指数增加模型基本假设进行修改后得到。改后得到。第41页 建模建模 设增加率设增加率 随人口数量随人口数量 增加而下降，则关增加而下降，则关系式系式可改写成可改写成其中其中 是是 减函数。深入假定，设减函数。深入假定，设 是是 线线性函数，即性函数，即这里这里 称为固有增加率。引入称为固有增加率。引入 ，称为人口容量，即，称为人口容量，即第42页当当 时，人口不再增加，即时，人口不再增加，即 代入代入式式得得 于是于是式为式为把把代入方程代入方程，得，得第43页方程方程右端因子右端因子 表达人口本身增加趋势，因子表达人口本身增加趋势，因子 则表达了资源和环境对人口增加阻滞作用。则表达了资源和环境对人口增加阻滞作用。注意到：注意到：越大，前一因子越大，而后一因子越小，人越大，前一因子越大，而后一因子越小，人口增加是两个因子共同作用结果。口增加是两个因子共同作用结果。以以 为横轴，为横轴，为纵轴作为纵轴作出方程出方程图形。从该图形图形。从该图形中能够大致描绘出中能够大致描绘出 图形。图形。第44页Logistic模型模型 xt 曲线曲线第45页 参数预计参数预计 为了利用简单线性最小二乘法预计这个模型参数为了利用简单线性最小二乘法预计这个模型参数 和和 ，将方程，将方程表为表为 用数值微分和曲线拟合，利用从1860到1990年数据计算得到 /，第46页 结果分析：用上面数据代入方程解：结果分析：用上面数据代入方程解：将计算结果与实际数据加以对比：有下面图表将计算结果与实际数据加以对比：有下面图表第47页年年179018001810182018301840人口人口3.95.37.29.612.917.1x13.95.06.58.310.713.7年年185018601870188018901900人口人口23.231.438.650.262.976.0 x117.522.328.335.845.056.2表表3 阻滞增加模型拟合美国人口数据结果阻滞增加模型拟合美国人口数据结果第48页年年191019201930194019501960人口人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3x169.785.5103.9124.5147.2171.3年年197019801990人口人口204.0226.5251.4281.4x1196.2221.2245.3第49页阻滞增加型拟合图形（阻滞增加型拟合图形（17901990）计算人口曲线计算人口曲线实际人口实际人口第50页 从数据中能够看出，在阻滞增加模型中即使有一段时从数据中能够看出，在阻滞增加模型中即使有一段时间，数据拟合情况不是很好，但在最终一段时间，吻间，数据拟合情况不是很好，但在最终一段时间，吻合得相当不错。合得相当不错。以该数据来预测人口情况，我们有与实际数据有约与实际数据有约 误差，能够认为该模型是能够误差，能够认为该模型是能够令人满意。令人满意。将数据加入，能够预测到在年美国人口将到达 百万。第51页 三、传染病蔓延问题三、传染病蔓延问题 问题问题 当某种传染病流行时，得病者人数是怎样改变当某种传染病流行时，得病者人数是怎样改变？在何时病人增加率最大？相关部门应怎样控制传？在何时病人增加率最大？相关部门应怎样控制传染病蔓延？染病蔓延？第52页 模型一模型一 假设：病人是经过与他人接触而将病菌传染给他人假设：病人是经过与他人接触而将病菌传染给他人。深入地假设，在单位时间内一个病人能传染人。深入地假设，在单位时间内一个病人能传染人数为定量，记作数为定量，记作 ，称其为传染系数。，称其为传染系数。建模建模 设时刻设时刻 ，有病人数，有病人数 ，且初始时，且初始时再设从时刻再设从时刻 到时刻到时刻 时间段中病人增量为时间段中病人增量为从而有从而有第53页令令 则有微分方程，并有初始条件则有微分方程，并有初始条件从而问题转变为一个常微分方程初值问题从而问题转变为一个常微分方程初值问题.第54页 解模解模 方程方程为一阶线性齐次常系数微分方程，方程为一阶线性齐次常系数微分方程，方程通解为通解为再由初始条件得初值问题解为再由初始条件得初值问题解为式表明，病人数将按指数规律无限制地增加，即式表明，病人数将按指数规律无限制地增加，即第55页 实际问题是，一个地域人口总数是一个有限数，故实际问题是，一个地域人口总数是一个有限数，故上面模型并不适用上面模型并不适用.第56页 模型二模型二 假设假设 1.在传染病流行地域里，总人口数在传染病流行地域里，总人口数 是不变是不变;2.在单位时间内一个病人能传染健康人数量是个变在单位时间内一个病人能传染健康人数量是个变量量 .因为伴随病人数增加，健康人数量在降低，因为伴随病人数增加，健康人数量在降低，从而从而 也会降低也会降低.为此假定为此假定 与健康人数量成正比与健康人数量成正比,其其百分比系数为百分比系数为 ，依然称为传染系数，依然称为传染系数.第57页 建模建模 设时刻设时刻 时有病人数时有病人数 健康人数健康人数 。初始时刻初始时刻 时有病人数时有病人数 .由假定由假定1，有，有 在时刻在时刻 到到 时间段中，病人数增量为时间段中，病人数增量为两边同除以两边同除以 ，并令其趋于零，则有微分方程，并令其趋于零，则有微分方程第58页如此，把问题转变成一个微分方程如此，把问题转变成一个微分方程.第59页 解模解模 此方程是一个一阶可分离变量微分方程，容此方程是一个一阶可分离变量微分方程，容易解出易解出:两边积分，得两边积分，得第60页再由初始条件，得再由初始条件，得所以方程解为所以方程解为变形后有变形后有第61页即即所以所以第62页从而原方程解为从而原方程解为曲线大致图形以下：曲线大致图形以下：分析：当分析：当 时，时，此表明全部人都将成为病人，此表明全部人都将成为病人，这也是不合理这也是不合理.因为最终病人因为最终病人数将趋于零数将趋于零.第63页 此模型一个应用是，利用该模型能够预测该传染病此模型一个应用是，利用该模型能够预测该传染病何时会到达最大值何时会到达最大值.对对式求导并令其为零，则有式求导并令其为零，则有由方程由方程第64页从而方程从而方程意味着意味着即在病人数到达总人数二分之一时，病人数增加率到达即在病人数到达总人数二分之一时，病人数增加率到达最大最大.将将代入代入,得最传染得最传染病高峰时刻为病高峰时刻为第65页 模型三模型三 假设假设:1.在传染病流行区域内，总人口数在传染病流行区域内，总人口数 是不变是不变;2.在单位时间内，一个病人能传染健康人数量成正在单位时间内，一个病人能传染健康人数量成正比，其百分比系数记为比，其百分比系数记为 ，称为传染系数。，称为传染系数。3.在单位时间内，一个病人经过治疗或其它过程能够在单位时间内，一个病人经过治疗或其它过程能够不再成为病人可能性记为不再成为病人可能性记为 ，称为恢复系数。，称为恢复系数。第66页 建模建模 设时刻设时刻 有病人有病人 人，健康人人，健康人 ，免疫者，免疫者 人，初始时刻有病人人，初始时刻有病人 及免疫人数为及免疫人数为0.由假设由假设1及及3得得从时刻从时刻 到时刻到时刻 时段中病人数增量为时段中病人数增量为第67页其中其中 为免疫者数量增量。把为免疫者数量增量。把 除以上式两边，除以上式两边，并令其趋于零，则有微分方程：并令其趋于零，则有微分方程：再由再由式得式得所以所以第68页如此，模型三归结为求解一阶非线性微分方程组初值如此，模型三归结为求解一阶非线性微分方程组初值问题问题.第69页 上面方程组求解是极为困难。我们从另一个角度上面方程组求解是极为困难。我们从另一个角度来进行讨论来进行讨论.引入量引入量 ，称为特征系数，则微分方程转变为，称为特征系数，则微分方程转变为此方程为变量可分离微分方程，分离变量后求解：此方程为变量可分离微分方程，分离变量后求解：第70页得得由此得到初值问题由此得到初值问题解为解为第71页 解分析解分析 因为因为故解曲线故解曲线必定在下述一个三角形区域内：必定在下述一个三角形区域内：由由知知 即随时间即随时间 增加，健康人数增加，健康人数 将降低。再将降低。再由由知当知当 时，时，此时病人数到达了极大值此时病人数到达了极大值 再来看当初间在增加时病人数和健康人数极值情再来看当初间在增加时病人数和健康人数极值情况。况。第72页 因为因为 由极限存在准则：故极限值由极限存在准则：故极限值存在，且因为存在，且因为 故极限值故极限值 存在。从而由存在。从而由式式式知极限值式知极限值必存在，且必存在，且第73页 其次，假定其次，假定 则由则由 当当 相当大时，有相当大时，有 此与此与 存在性矛盾，所以存在性矛盾，所以 从图中能够看出，在健康人数初始值从图中能够看出，在健康人数初始值 条件条件下，当初间下，当初间 时，健康人数量时，健康人数量降低，而病人数降低，而病人数 先增加，在达先增加，在达到极大值到极大值 后再降低；而在健后再降低；而在健康人数初始值康人数初始值 条件下，条件下，第74页当初间当初间 增加时，健康人数量增加时，健康人数量 降低，病人数量降低，病人数量 也减也减少。少。结论：只有当结论：只有当 时传染病才会蔓延。时传染病才会蔓延。数量数量 称为阀值。显然称为阀值。显然 越大则越不轻易使传染病蔓越大则越不轻易使传染病蔓延。由延。由 定义知，欲使定义知，欲使 增大，可使恢复系数增大，可使恢复系数 增大增大和传染系数和传染系数 值降低。其实际意义是：提升医疗水平及值降低。其实际意义是：提升医疗水平及提升卫生保健水平，是预防传染病蔓延良好路径。提升卫生保健水平，是预防传染病蔓延良好路径。第75页 从以上分析中能够看到，模型三还是比较符合实际从以上分析中能够看到，模型三还是比较符合实际情况。情况。第76页应应 用用 应用模型三，我们来预计一次传染病流行过程中被传应用模型三，我们来预计一次传染病流行过程中被传染者总数。染者总数。第77页 若一次被传染病流行后健康人数量为若一次被传染病流行后健康人数量为 ，则被传染者，则被传染者总数为总数为显然，显然，应该满足应该满足中中 时形式时形式 因为普通有因为普通有 故故 代入代入、，得近似方程，得近似方程，第78页 又因为又因为 由幂级数展开式，由幂级数展开式，为为 略去较高项，有略去较高项，有解出，得解出，得第79页若记健康人数量超出阀值部分为若记健康人数量超出阀值部分为 ，即，即则被传染者总数为则被传染者总数为第80页 尤其地，当健康人数量初始值超出阀值部分很小尤其地，当健康人数量初始值超出阀值部分很小时，即时，即 时，就有时，就有 从上面几个式中能够看到，在阀值从上面几个式中能够看到，在阀值 提升后，提升后，值值将变小，于是，一次传染病流行过程中被传染者总数将变小，于是，一次传染病流行过程中被传染者总数也会变小。也会变小。第81页 在上面讨论中，参数在上面讨论中，参数 能够由实际数据预计得到。能够由实际数据预计得到。因初始值因初始值 从而从而 故由故由得得从而从而第82页检检 验验 所建立模型在应用于实践前，还必须用已往一些所建立模型在应用于实践前，还必须用已往一些经验和统计资料做一番检验。假如它与实际数据吻合，经验和统计资料做一番检验。假如它与实际数据吻合，则该模型能够用于实际应用；假如它与实际数据吻合则该模型能够用于实际应用；假如它与实际数据吻合得不好，则该模型还不能做定量应用。在后一个情况得不好，则该模型还不能做定量应用。在后一个情况下，则需要对模型做深入地修改，直到模型与实际数下，则需要对模型做深入地修改，直到模型与实际数据吻合为止。据吻合为止。第83页 假设有一组数据，该数据反应是某医院每七天传染假设有一组数据，该数据反应是某医院每七天传染病病人病愈和死亡情况：（时间单位病病人病愈和死亡情况：（时间单位 为一周）为一周）时间时间1234N治愈治愈人数人数 今以这组数据来检验模型三。为此首先求出今以这组数据来检验模型三。为此首先求出 与与 关系：由关系关系：由关系，得微分方程，得微分方程第84页该初值问题解为该初值问题解为代入代入式得到式得到第85页因为病愈和死亡人数因为病愈和死亡人数 将指数函数按幂级数展将指数函数按幂级数展开：开：代入到上式，并略去高阶项后得：代入到上式，并略去高阶项后得：(21)第86页 用分离变量法求得上面方程解用分离变量法求得上面方程解其中其中由前式得到由前式得到第87页当当 则上式成为则上式成为(22)(23)其中，其中，(24)第88页 下面介绍参数 确定方法：当参数当参数 各取定某个数值时，对于各取定某个数值时，对于由公式由公式(23)可确定对应理论值：可确定对应理论值：结构理论值和实际值间误差平方和函数以下：结构理论值和实际值间误差平方和函数以下：第89页 经过在一定范围中寻找参数经过在一定范围中寻找参数 值值使值使值成为函数成为函数 一个极小值。一个极小值。假如假如 很小，则说明理论公式计算得到值是非常很小，则说明理论公式计算得到值是非常靠近实际值，说明模型是经得起检验；假如靠近实际值，说明模型是经得起检验；假如 比比较大，则说明理论计算得到值与实际值有相当大差较大，则说明理论计算得到值与实际值有相当大差距，所以需要进行修改。距，所以需要进行修改。第90页 Kermak和和Mckendrick利用本世纪初在印度孟买发生利用本世纪初在印度孟买发生依次瘟疫中死亡人数历史统计资料老检验模型三，依次瘟疫中死亡人数历史统计资料老检验模型三，求得参数值求得参数值 使得使得 为很为很小，从而验证了模型三合理性。小，从而验证了模型三合理性。我们做了三个传染病蔓延数学模型，一个比一个更接我们做了三个传染病蔓延数学模型，一个比一个更接近实际。一次次对问题进行简化和修改，建立了愈来愈近实际。一次次对问题进行简化和修改，建立了愈来愈复杂但更符合实际情况数学模型。复杂但更符合实际情况数学模型。第91页第四节第四节 建立数学模型方法和步骤建立数学模型方法和步骤第92页 从上面几个例子中我们看到建立数学模型基本方从上面几个例子中我们看到建立数学模型基本方法为：法为：一、模型准备一、模型准备了解问题和问题特征；了解问题和问题特征；二、模型假设二、模型假设对问题作出一些必要和合乎实际对问题作出一些必要和合乎实际假设；假设；三、模型建立三、模型建立用适当数学关系来刻画问题内用适当数学关系来刻画问题内部关系；部关系；第93页四、模型求解四、模型求解用适当数学工具，对模型中数用适当数学工具，对模型中数学关系进行求解；学关系进行求解；五、模型分析五、模型分析对求出解进行数学上分析：对对求出解进行数学上分析：对解中各个变量寻找数学上关系，从而找出这些关系解中各个变量寻找数学上关系，从而找出这些关系实际意义；实际意义；六、模型检验六、模型检验用以往数据对模型进行检验，以考用以往数据对模型进行检验，以考察该模型是否含有实际意义；察该模型是否含有实际意义；第94页七、模型应用七、模型应用对经过检验模型再应用于实际中。对经过检验模型再应用于实际中。第95页1.怎样处理下面实际问题怎样处理下面实际问题,包含需要哪些数据资料包含需要哪些数据资料?做些什么什么观察和试验做些什么什么观察和试验?练习练习预计一个人体内重量预计一个人体内重量;预计一个日光灯寿命预计一个日光灯寿命;决定十字路口交通灯信号设计决定十字路口交通灯信号设计;第96页一高层办公楼有一高层办公楼有4部电梯部电梯,早上班时非常拥挤早上班时非常拥挤,试指定试指定合理运行计划合理运行计划.2.在椅子放稳问题中在椅子放稳问题中,将椅子改为长方形办公桌将椅子改为长方形办公桌,该如该如何处理这个问题何处理这个问题.3.在人口增加模型中在人口增加模型中,假定人口增加服从这么规律假定人口增加服从这么规律:时时刻刻 人口为人口为 从从 到到 时间人口增量与时间人口增量与 成正比成正比,（其中（其中 为最大容量）为最大容量）,试建立模型试建立模型并求解并求解,并做出解图形并与指数增加模型并做出解图形并与指数增加模型,阻滞增加阻滞增加第97页模型结果进行比较模型结果进行比较.第98页第99页