第一节函数省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第一节 函数第1页一、基本概念1.1.集合集合:含有某种特定性质事物含有某种特定性质事物总体总体.组成这个集合事物称为该集合组成这个集合事物称为该集合元素元素.有限集有限集无限集无限集第2页数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间关系数集间关系:比如比如不含任何元素集合称为不含任何元素集合称为空集空集.比如比如,要求要求空集为任何集合子集空集为任何集合子集.第3页2.2.区间区间:是指介于某两个实数之间全体实数是指介于某两个实数之间全体实数.这这两个实数叫做区间端点两个实数叫做区间端点.称为开区间称为开区间,称为闭区间称为闭区间,第4页称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度定义区间长度定义:两端点间距离两端点间距离(线段长度线段长度)称为区间长度称为区间长度.第5页3.3.邻域邻域:第6页4.4.常量与变量常量与变量:在某过程中数值保持不变量称为在某过程中数值保持不变量称为常量常量,注意注意 常量与变量是相对常量与变量是相对“过程过程”而言而言.通惯用字母通惯用字母a,b,c等表示常量等表示常量,而数值改变量称为而数值改变量称为变量变量.常量与变量表示方法：常量与变量表示方法：用字母用字母x,y,t等表示等表示变变量量.第7页5.5.绝对值绝对值:运算性质运算性质:绝对值不等式绝对值不等式:第8页因变量因变量自变量自变量数集数集D叫做这个函数叫做这个函数定义域定义域二、函数概念二、函数概念第9页自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数两要素函数两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.约定约定:定义域是自变量所能取使算式有意义一定义域是自变量所能取使算式有意义一切实数值切实数值.第10页定义定义:假如自变量在定假如自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应函数值总是时，对应函数值总是只有一个，这种函数只有一个，这种函数叫做单值函数，不然叫做单值函数，不然叫与多值函数叫与多值函数第11页 (1)符号函数符号函数几个特殊函数举例几个特殊函数举例1-1xyo第12页(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超出表示不超出 最大整数最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线第13页有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函数狄利克雷函数第14页(4)取最值函数取最值函数yxoyxo第15页在自变量不一样改变范围中在自变量不一样改变范围中,对应法则用不一样对应法则用不一样式子来表示函数式子来表示函数,称为称为分段函数分段函数.第16页例例1 1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图其波形如图所表示所表示,写出电压写出电压U与时间与时间 函数函数关系式关系式.解解单三角脉冲信号电压单三角脉冲信号电压第17页第18页例例2 2解解故故第19页三、函数特征M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX1函数有界性函数有界性:第20页2函数单调性函数单调性:xyo第21页xyo第22页3函数奇偶性函数奇偶性:偶函数偶函数yxox-x第23页奇函数奇函数yxox-x第24页4函数周期性函数周期性:（通常说周期函数周期是指其最小正（通常说周期函数周期是指其最小正周期周期）.第25页 直接函数与反函数图形关于直线直接函数与反函数图形关于直线 对对称称.四、反函数四、反函数第26页五、小结基本概念基本概念集合集合,区间区间,邻域邻域,常量与变量常量与变量,绝对值绝对值.函数概念函数概念函数特征函数特征有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性.反函数反函数第27页思索题思索题第28页思索题解答思索题解答设设则则故故第29页练练 习习 题题第30页第31页练习题答案练习题答案第32页第33页一、基本初等函数1.幂函数幂函数第34页2.指数函数指数函数第35页3.对数函数对数函数第36页4.三角函数三角函数正弦函数正弦函数第37页余弦函数余弦函数第38页正切函数正切函数第39页余切函数余切函数第40页正割函数正割函数第41页余割函数余割函数第42页5.反三角函数反三角函数第43页第44页第45页 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.第46页二、复合函数 初等函数1.复合函数复合函数定义定义:第47页注意注意:1.不是任何两个函数都能够复合成一个复不是任何两个函数都能够复合成一个复合函数合函数;2.复合函数能够由两个以上函数经过复合复合函数能够由两个以上函数经过复合组成组成.2.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所组成并可用四则运算和有限次函数复合步骤所组成并可用一一个式子表示个式子表示函数函数,称为称为初等函数初等函数.第48页例例1 1解解第49页总而言之总而言之第50页三、双曲函数与反双曲函数奇函数奇函数.偶函数偶函数.1.双曲函数双曲函数第51页奇函数奇函数,有界函数有界函数,第52页双曲函数惯用公式双曲函数惯用公式第53页2.反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数,第54页第55页奇函数奇函数,第56页四、小结函数分类函数分类:函函数数初初等等函函数数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有没有穷多项等函数有没有穷多项等函数)代代数数函函数数超越函数超越函数有有理理函函数数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)第57页思索题思索题第58页思索题解答思索题解答不能不能第59页一、填空题一、填空题:练练 习习 题题第60页第61页练习题答案练习题答案第62页第63页第64页“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽一、概念引入第65页正六边形面积正六边形面积正十二边形面积正十二边形面积正正 形形面积面积第66页2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”第67页二、数列定义比如比如第68页注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数第69页播放播放三、数列极限三、数列极限第70页问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限靠近于某一是否无限靠近于某一确定数值确定数值?假如是假如是,怎样确定怎样确定?问题问题:“无限靠近无限靠近”意味着什么意味着什么?怎样用数学语言怎样用数学语言刻划它刻划它.经过上面演示试验观察经过上面演示试验观察:第71页第72页假如数列没有极限假如数列没有极限,就说数列是发散就说数列是发散.注意：注意：第73页几何解释几何解释:其中其中第74页数列极限定义未给出求极限方法数列极限定义未给出求极限方法.例例1证证所以所以,注意：注意：第75页例例2证证所以所以,说明说明:常数列极限等于同一常数常数列极限等于同一常数.小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但无须要求最小但无须要求最小N.第76页例例3证证第77页例例4证证第78页四、数列极限性质1.有界性有界性比如比如,有界有界无界无界第79页定理定理1 1 收敛数列必定有界收敛数列必定有界.证证由定义由定义,注意：注意：有界性是数列收敛必要条件有界性是数列收敛必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.第80页2.唯一性唯一性定理定理2 2 每个收敛数列只有一个极限每个收敛数列只有一个极限.证证由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.第81页例例5证证由定义由定义,区间长度为区间长度为1.不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1区间内区间内.第82页3.(收敛数列与其子数列间关系收敛数列与其子数列间关系)假如数列假如数列收敛于收敛于a，那么它任一子数列也收敛，且极限也是，那么它任一子数列也收敛，且极限也是a第83页五.小结数列数列:研究其改变规律研究其改变规律;数列极限数列极限:极限思想极限思想,准确定义准确定义,几何意义几何意义;收敛数列性质收敛数列性质:有界性唯一性有界性唯一性.第84页思索题思索题证实证实要使要使只要使只要使从而由从而由得得取取当当 时，必有时，必有 成立成立第85页思索题解答思索题解答（等价）（等价）证实中所采取证实中所采取实际上就是不等式实际上就是不等式即证实中没有采取即证实中没有采取“适当放大适当放大”值值第86页从而从而 时，时，仅有仅有 成立，成立，但不是但不是 充分条件充分条件反而缩小为反而缩小为第87页练练 习习 题题第88页第103页播放播放一、自变量趋向无穷大时函数极限第104页经过上面演示试验观察经过上面演示试验观察:问题问题:怎样用数学语言刻划函数怎样用数学语言刻划函数“无限靠近无限靠近”.第105页第106页2.另两种情形另两种情形:第107页3.几何解释几何解释:第108页例例1证证第109页二、自变量趋向有限值时函数极限第110页第111页2.几何解释几何解释:注意：注意：第112页例例2证证例例3证证第113页例例4证证函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.第114页例例5证证第115页3.单侧极限单侧极限:比如比如,第116页左极限左极限右极限右极限第117页左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例6证证第118页三、函数极限性质1.有界性有界性2.唯一性唯一性第119页推论推论3.不等式性质不等式性质定理定理(保序性保序性)第120页定理定理(保号性保号性)推论推论第121页4.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限关系函数极限与数列极限关系)定义定义定理定理第122页证证第123页比如比如,函数极限与数列极限关系函数极限与数列极限关系函数极限存在充要条件是它任何子列极限都存函数极限存在充要条件是它任何子列极限都存在在,且相等且相等.第124页例例7证证第125页二者不相等二者不相等,第126页四、小结函数极限统一定义函数极限统一定义(见下表见下表)第127页过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 第128页思索题思索题第129页思索题解答思索题解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.第130页一、填空题一、填空题:练练 习习 题题第131页第132页练习题答案练习题答案第133页