第八章不定积分省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx
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1、1不定积分概念与基本积分公式2 换元积分法与分部积分法3有理函数和可化为有理函数不定积分第八章 不定积分第1页1不定积分概念与基本积分公式不定积分概念与基本积分公式第八章 不定积分第2页在第三章我们研究了已知 f,怎样求 f 导数 f 表示式,得到了一些计算法则,比如:(f+g)=f+g,(f g)=f g+f g,(f)=f 这些计算方法加上基本初等函数导数公式,我们能够处理初等函数求导问题,即是,若 f 为初等函数,f 表示式能求出.第3页我们现在来研究第三章求导问题逆问题。问题:在已知 f 表示式时,f 表示式是什么形式呢?即是,已知函数 f 表示式,求 f 原函数是什么。第4页.基本积
2、分表 换元积分法 分部积分法 有理函数积分本章主要内容本章主要内容:第5页 比如,在区间(,)内,因为(sin x)cos x,所以 sin x是 cos x一个原函数。提问:提问:cos x还有其它原函数吗?提醒:提醒:cos x原函数还有sin xC。定义1 假如在区间 I 上,可导函数 F(x)导数为 f(x),即对任一 xI,都有F(x)f(x)或 dF(x)f(x)dx,则称函数 F(x)是函数 f(x)在区间 I 上原函数。原函数概念第6页两点说明:两点说明:2、f(x)任意两个原函数之间只差一个常数,即如果(x)和 F(x)都是 f(x)原函数,则(x)F(x)C(C为某个常数)
3、。1、假如F(x)是 f(x)原函数,那么F(x)C 都是 f(x)原函数,其中 C 是任意常数。定义1 假如在区间 I 上,可导函数 F(x)导数为 f(x),即对任一 xI,都有F(x)f(x)或 dF(x)f(x)dx,则称函数 F(x)是函数 f(x)在区间 I 上原函数。原函数概念第7页注注2.符号差异:与不定积分概念不定积分概念不定积分概念不定积分概念1.定义:定义:设I为某区间,称f(x)在I上原函数全体为f(x)在I上不定积分,记作积分号被积函数积分变量注注1.(3)式中积分号下f(x)dx,可看作是原函数微分。数一族函数(3)第8页定理定理1.设F(x)是f(x)在区间I上一
4、个原函数,则(4)其中C为任意常数0 x0yxy=F(x)+C1y=F(x)+C2y=F(x)+C3y=F(x)+C4第9页 例例1 例例2 例例3 解:解:第10页-1O 1x y y=x2 函数f(x)原函数图形称为f(x)积分曲线。C1y=x2+C1C2y=x2+C2C3y=x2+C3 函数f(x)积分曲线也有没有限多条。函数f(x)不定积分表示f(x)一簇积分曲线,而f(x)正是积分曲线斜率。三、不定积分几何意义三、不定积分几何意义第11页 例例4求过点(1,3),且其切线斜率为2x曲线方程。解解:设所求曲线方程为 yf(x),则 y f(x)2x,即f(x)是2x 一个原函数。因为所
5、求曲线经过点(1,3),故 31C,C2。于是所求曲线方程为yx22。2 1O12x2112 yyx2+2yx2(1,3)所以y=f(x)x2C。第12页例例5:解:解:轻易看到两边除以3,得求导数性质yy=x2xyx所以,第13页2.不定积分性质:不定积分性质:1)2)3)4)第14页3.基本积分公式基本积分公式积分公式积分公式导数公式导数公式1231)2)3)第15页5)6)7)56744)第16页10)11)10119)98)8第17页4.积分公式简单应用积分公式简单应用例例1.求解解:第18页例例2.求解解:第19页例例3.求解解:第20页例例4.求f(x)=x2+1,x0时,练习:练
6、习:3(8,9,10)例例16第58页例例18例例19例例20第59页练习:练习:3(24,28,30)例例21例例22第60页三三 第二类换元法第二类换元法第一类换元法是经过变量替换第一类换元法是经过变量替换 将积分将积分下面介绍第二类换元法是经过变量替换下面介绍第二类换元法是经过变量替换 将积分将积分第61页证证设设 为为 原函数原函数,令令则则则有换元公式则有换元公式定理定理2 2第62页第二类积分换元法第二类积分换元法第63页例例1313 求求解解1 1 三角代换三角代换第64页例例1414 求求解解 令令第65页例例1515 求求解解 令令注注三角代换目标是化掉根式三角代换目标是化掉
7、根式.第66页例例1616 求求解解令令2 2 根式代换根式代换考虑到被积函数中根号是困难所在,故考虑到被积函数中根号是困难所在,故第67页当被积函数含有两种或两种以上根当被积函数含有两种或两种以上根式式 时,可采取令时,可采取令 (其(其中中 为各根指数最小公倍数)为各根指数最小公倍数)例例1717 求求解解令令第68页3 3 其它形式代换其它形式代换注注1 积分中为了化掉根式除采取上述代换外还积分中为了化掉根式除采取上述代换外还可用双曲代换可用双曲代换.也能够化掉根式也能够化掉根式 中中,令令第69页注注2 2 倒数代换倒数代换 也是惯用代换之一也是惯用代换之一 例例1818 求求令令解解
8、第70页例例1919 求求解解令令分母次幂太高分母次幂太高第71页第72页基基本本积积分分表表续续第73页第74页考虑积分考虑积分处理思绪处理思绪利用两个函数乘积求导法则利用两个函数乘积求导法则.分部积分公式分部积分公式四四 分部积分法分部积分法第75页分部积分公式分部积分公式 下面利用两个函数乘积求导法则,得下面利用两个函数乘积求导法则,得出求积分基本方法出求积分基本方法分部积分法分部积分法.对此不等式两边求不定积分对此不等式两边求不定积分即即第76页分部积分公式:关键:恰当选取u和确定v.怎样选取u:(LIATE法)L-对数函数I-反三角函数A-代数函数T-三角函数E-指数函数依据LIAT
9、E法,f(x)与g(x)谁排在LIATE这一字母表前面就选谁为u.即若选f(x)为u,则g(x)dx=dv。v=g(x)dx、或v=g(x).使用分部积分公式,若选f(x)=u,则vg(x)注:而v=g(x).第77页例例1 1 求积分求积分解解令令假如令假如令显然,显然,选择不妥,积分更难进行选择不妥,积分更难进行.第78页 普通地,若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数乘积乘积,就考虑设幂函数为就考虑设幂函数为 ,使其降幂一次使其降幂一次(假定幂假定幂指数是正整数指数是正整数)第79页例例2 2 求积分求积分解解 若被积函数是幂函数和指数函数乘积若被积函数是幂函数
10、和指数函数乘积,就考虑设幂函数为就考虑设幂函数为 v,使其降幂一次使其降幂一次(假定假定幂指数是正整数幂指数是正整数)第80页例例3 3 求积分求积分解解第81页例例4 4 求积分求积分解解 若被积函数是幂函数和对数函数乘积,若被积函数是幂函数和对数函数乘积,就考虑设对数函数为就考虑设对数函数为 .第82页例例5 5 求积分求积分解解令令 若被积函数是幂函数和反三角函数乘积,若被积函数是幂函数和反三角函数乘积,就考虑设反三角函数为就考虑设反三角函数为u.第83页例例6 6 求积分求积分解解复原法在求不定积分时有着广泛应用。复原法在求不定积分时有着广泛应用。第84页例例7 7 求积分求积分解解第
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