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第37 卷第2 期2024年4月文章编号：10 0 4-8 8 2 0(2 0 2 4)0 2-0 134-10烟台大学学报（自然科学与工程版）Journal of Yantai University(Natural Science and Engineering Edition)Vol.37 No.2Apr.2024doi:10.13951/ki.37-1213/n.230208基于干扰和输出受限的电机驱动机械臂轨迹跟踪控制聂振霞，崔明月（烟台大学数学与信息科学学院，山东烟台2 6 40 0 5）摘要：对于一类由直流电机驱动的机械臂，考虑了在干扰和输出受限下的轨迹跟踪控制问题。在干扰有界的条件下,设计了一个干扰观测器来估计干扰。为了防止违反约束条件，基于机械臂系统的结构特性,引入了一个障碍Lyapunov函数,然后设计了一个矢量形式的可调轨迹跟踪控制器，使跟踪误差可充分小，同时输出不能违反其约束界限。最后通过对一个拟人机械臂的仿真结果,验证了所提方案的有效性。关键词：机械臂；直流电机；轨迹跟踪；输出受限；干扰中图分类号：0 2 31.2文献标志码：A机器人技术的发展影响着人类的生产和生活方式,因此对于机器人的控制及应用1-2 受到了广泛的关注。为了令机器人达到预期的响应，一些高性能控制策略被开发出来,如PID控制3、鲁棒控制4、自适应控制5、滑模控制6 、无源控制7 和神经网络控制8 。然而,以上大多数研究在考虑实际应用时，没有考虑执行器的作用的缺点。由于电动执行机构具有易获取能源、灵敏度高、精度高等优点，因此电机驱动的机械臂，特别是直流电机驱动的机械臂受到越来越多的重视。对于由直流电机驱动的刚性机械臂,文献9 给出了跟踪控制器的设计框架。文献10 提出了一种响应速度快、鲁棒性好的新方法。对于由直流电机驱动的柔性关节机械臂，文献11 研究了一些有效的控制方法。众所周知,机械臂的关节变量乃至速度变量都必然受到环境、结构和应用的影响,若不能保持在限定的范围内,可能会导致系统性能受损。然而,以上大多数都没有考虑到约束条件。为了处理约束,学者提出了许多方法,包括模型预测控制12 ,引用调控器13 和集不变性概念14。受文献15 工作的启发，障碍李雅普诺夫函数（BLF)已被广泛用于处理约束16-17 。文献18 对具有全状态约束的机械臂设计了自适应神经网络控制器,文献19 利用障碍Lyapunov函数引人了非奇异终端滑模控制。对于输出约束的欧拉-拉格朗日系统,文献2 0 中提出了一种新的容错控制策略。此外,由于机械臂可能会受到环境或噪声引起的各种干扰，非线性扰动观测器2 已经被广泛应用于干扰的估计，而对于机械臂系统，文献2 3 中设计了新的非线性扰动观测器，基于上述讨论,本研究解决了一类由直流电机驱动的机械臂在输出受限和未知干扰下的轨迹跟踪控制问题。本研究工作包括以下几个方面：（1)在保持输出约束的同时,如何处理未知干扰是控制器设计的主要难点。在干扰有界的条件下,设计收稿日期：2 0 2 3-0 2-2 3基金项目：国家自然科学基金资助项目（6 2 0 7 32 7 5）；山东省自然科学基金资助项目（ZR2021MA102）。通信作者：崔明月（），副教授，博士，主要研究方向为随机控制和机械系统控制。第2 期了一种新的干扰观测器来估计扰动。针对机械臂结构特性,引人障碍Lyapunov 函数防止违反约束。(2)对于机械臂的准下三角结构形式,在基于干扰观测器和障碍Lyapunov 函数的条件下,设计了矢量形式的轨迹跟踪控制器,并且通过调整参数使跟踪误差可充分小，同时输出不违反约束边界。最后通过对一个拟人机械臂的仿真结果,验证了该控制方案的有效性。聂振霞，等：基于干扰和输出受限的电机驱动机械臂轨迹跟踪控制1351问题提出考虑在干扰作用下由直流电机驱动的n个自由度机械臂,其中第i个关节如图1所示，当i=1,2，,n时,q;表示第i个关节变量,I,和u;分别表示第i个直流电机的电流和电压,L;,R,Km和Ke分别表示第i个直流电机的电枢电感、电枢电阻、转矩常数和反电动势系数。十直流电机KR杆图1由直流电机驱动的第i关节机械臂Fig.1 The ith joint of manipulator actuated by DC-motors由文献1、2 知,机械臂的动力学模型为M(q)j+C(q,q)q+g(q)+p(q)=KmI+$,(1)LLi=-RI-Kq+u+n,其中=q,q2，,=,2，,=，,”为系统的控制输人,专是由振动环境引起的未知干扰力或力矩，n是由电路热噪声引起的未知扰动电压。M（q）R,C（q,）R,g（q）和p(q)分别为广义惯性矩阵、科里奥利向心矩阵、广义重力和阻尼力。Km=diagiKml，K m，,K m）,L=d i a gL,L2,Ln+,R=diag i R,R2,.,R,+以及 K。=d i a g i K e,K 2,.,K e n t 。根据文献1、2 3,系统(1)具有以下性质。性质1 对qR,存在常数入0 和入0 使得0 入,InM(q)入Inxn。性质2 M(）-2 C(q,)是斜对称矩阵，即对zR,z（M(q）-2 C(,)z=0,其中M(）=dM(q)dt由于机械臂的关节位置q以及速度都会受到环境、结构和应用的影响。将q和视为输出,受到约束如下：2,=q=R1 qi1 0g,i=1,2,nl,(2)Lo,=iqeR|lql0和 0 是约束边界。控制目标是设计轨迹跟踪控制器,能使q尽可能跟踪到参考轨迹q,同时输出不违反约束条件,并且闭环系统所有信号都有界。对此,需要对期望轨迹q,和未知干扰(t),n(t)进行如下假设。假设1其期望轨迹q,是三阶连续可微的,并且存在正常数Y,和Y（i=1,2，,n)使得lglY，lqilYuuo假设2 干扰信号(t)和(t)有界且连续可微,同时一阶导数也是有界的,即存在正常数K 和Kz使得1(t)I Ki,ln(t)I 0 和2 0 为观测增益,l=maxiLi，,L,输出和为和的估计值。引理1在假设1下,干扰观测器(4)可以使干扰的估计误差=-和=-满足lim 1 1231,2l,d=+K。通过调整和。足够大,可使误差充分小。其中：min2证明根据式(3)和式(4),估计误差和满足选取Lyapunov函数专+十2由式(6)可知V。的导数为V。=+n-入2 M-(g)-l2nL-n由假设2 和Young不等式2 4 知32+11212+,4142根据性质1,将式(9)代人式(8)得烟台大学学报（自然科学与工程版）3i=M-l(q)(I+-C(q,v)v-g(q)-p(v),J62=L-(-RI-Kv+u+n),12=专-入2%1M-(q)店,m=n-l2L-ln。第37 卷(3)(4)2dt-00(7)(8)1(9)14(10)Y1利用Gronwall 引理2 5,通过式(10)可得Vo(t)Vo(to)e-(-o)结合式(7)说明式(5)是成立的。注1本文中,对系统施加了持续的时变干扰。在干扰有界的的条件下，设计了一种新的干扰观测器(4），使估计误差可充分小。如果干扰变化缓慢,有理由假设=0=Ki,=0=K2,在这种情况下,干扰观测器（4)可以使误差系统(6)全局渐近稳定。2.2控制器设计接下来,将设计一个基于障碍Lyapunov 函数的轨迹跟踪控制器。引人误差变量Y2d(11)第2 期其中ci0是设计参数,根据式(3)可得Z1=-C/Z1+Z2,z2=M-(q)(-C(q,v)z2-2(z1,Z2,qr,q,j,)+Kma2+Km3+),聂振霞，等：基于干扰和输出受限的电机驱动机械臂轨迹跟踪控制rZ1=q-q,Z2=V-q,+CiZ1,z3=-2(q,v,qr,q,j,),137(12)(13)d2其中:=M(q)(,-ci(-cizi+z2)+C(q,v)(q,-cizi)+g(q)+p(v)-,;=L2.22(-C(q,v)v-g(q)-p(v)+KmI+)+L2aG+1)+RI+K,v-noaq选取Lyapunov函数-2+2其中:0 k,minigi-Y,0ka0,c0,则有V1-c/hiziz-czhaz2 z,M(g)z2-cz Lzs+1 12+1 n1a2v+Km2-2+22LaC2M(q)1d21V1222217.3Z3+十221(16)12(17)(18)7.32(19)138由式(6),式(13)和式(18)知闭环系统为店=专-入2%1M(q)l,n=i-ly2Lln,z1=-Ci1+Z2,z2=M-(q)(-C(q,v)z2Lzs=L-l(-c,Lz3-kaKI z2烟台大学学报（自然科学与工程版）K12K11d2L第37 卷(20)2Z2+KmZ3+),Z.3Z.32M-(g)+n)。23稳定性分析为了进行稳定性分析，首先给出以下引理。引理2 对于任意正常数k和n维向量e,满足eA(t)ek,就有eTA(t)e其中 A(t）R是一个正定对称矩阵。如果存在正常数a 和2,使得iInxnA(t)Inxn,则式(2 1)对k于lel也是成立的。a2证明 定义其中=-A(0eeAA(t)e令f对0 求导得显然f关于是单增的并且fmin=0,从而结论得证。k如果lel-,由ajlnnA(t)a,Inn可以得到eA(t)ea,lelh。那么式(2 1)成立。2显然.p-cAO0注2是一个时变的障碍Lyapunov函数。由于A(t)是一个正定对称矩阵,因此存在一个可逆矩阵B(t)，使得A(t)=B(t)B(t)。设=B(t)e,如果llk(即IB(t)elk),则不等式(2 1)成立。当A(t)=I时,引理2 可以变成是文献16 中引理2 的矢量形式。下面给出本节的主要结论。定理1在假设1和假设2 下，考虑直流电机驱动的机械臂系统（1），通过干扰观测器（4）和控制律(18）,如果初始条件满足lz,（0)1 k b，l z(0)I(1)闭环系统(2 0)内的所有信号都是有界的，(2)机械臂的关节位移q和速度q始终在约束集。和2,中，(3)跟踪误差q-q,满足liml q-q,12 ki(1-e-%),通过调整参数1，2 足够大，可以使上述方程的右侧充分小。证明对于闭环系统(2 0）,通过定义V=V。+VI,结合式(10)和式(19)得到(21)eA(t)e=-eA(t)eInR-eA(t)e=-ln(1+),由于eA(t)ek,则可以验证eTA(t)eK-eA()eR-eA(t)e0d()d(22):1+。(23)10+1+0则(24)(25)第2 期根据引理1和引理2,由lz,lk和lzzM(q)zlk,有其中 c=min12并且 inf=,结合式(2 7)和Gronwall 引理,有由V的定义和式(2 9)知经计算可得同理得到这就表明了=。事实上,如果,由式(2 8），（31)和式(32)可得这就导致了矛盾。因此,根据式(2 9)知V(t)V(0)e*+兴(1-e)V(0)+dC说明专,n,z1,z和z3是有界的。注意到参考信号q,的三阶连续可微有界性，由式(12)和z的定义,可以得到状态q,V和I是有界的,由式(18)可知u也是有界的。根据性质1,式（31）和式（32）,就有结合假设1和k,ka的定义，得到q,，即机械臂的关节位移和速度始终在约束集2 和2,中。根据式(34)可知(36)一聂振霞，等：基于干扰和输出受限的电机驱动机械臂轨迹跟踪控制4。对于初始条件lzi(0)Ikb,lzz(0)Ig=inf(t0ll z(t)Iki或者z(t)M(q(t)z(t)kl,V(t g)V(0)e-c(to)+I zi(t)12 ki(1-e-2(0)-)hs,z(t o)M(gq(t o)z2(t)hi(1-e-2v(0)-)h,=l z()1 k或者 k=zz()M(q()z2 ka,I zi I kg,zM(q)z2 ka,V(0)e+-139zZ M(q)z2C2h-zM(q)z2V-cV+d,k引人-ec(to)V(0)+-dd2V(0)Ce-ct)-Cszf Lz3+d。(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)这就说明了式(2 5)成立。由于c=min(37),d=K+K,式(2 5)的右侧可以通过选择足1L2,2,2c1,2c2,2c3够大的和2 使其充分小。注3当调整和2 足够大时，跟踪误差充分小，但Iul会变大。这说明跟踪误差充分小是以牺牲较大的控制为代价的。在实际控制必须仔细协调跟踪误差与容许控制之间的关系,达到期望的效果。4仿真结果在本节中,由图2 所示的直流电机驱动的仿人机械臂验证了控制方案的有效性。广义坐标1,9 2,9 3分别表示腰部、上臂和前臂的旋转角度。J。为腰部的转动惯量。l和l2分别表示上臂和前臂的长度。ml和m表示上臂的质量和前臂的质量，它们分别被视为手臂末端的集中质量。g是重力加速度。广义力T1，T 2，T 3分别是对腰部、上臂和前臂并由三个独立的直流电机提供的力矩。由文献1、2 可知,动力学方程为(1）,其中n=3,即LLi=-RI-K.q+u+n,其中:g(q)=0,(m+m2)glicos q1+m2gl2cos(q2+q3),m2gl2cos(q2+q3)T,p(q)=p191,P292,P393 T,p;12M(q)j+C(q,q)q+g(q)+p(q)=K m I+,140为阻尼系数。M(q)=0(m1+m2)li+m,ls+2mzlilacosq30mzl2(l,+licos q3)其中 M=Jo+(m+m2)cosq2+m2l2(cos(q2+q3)2+2m2lil2cos 42cos(q2+q3)。(-Q201-302C(q,q)=q1021其中：0 1=(m+mz)i sin 2q2mzlil2sin(q2+q3)cos 20输出q,满足约束2,=1q31q;10.8,=1,2,31,2,=qR311q,10.8,i=1,2,3。参考信号为q,=（0.5s i n t+0.1,0.5s i n t-0.1,0.5s i n t-0.2），满足假设1,并且Yq=0.6,Y=0.5。烟台大学学报（自然科学与工程版）(M0-i01-d3m2lil2sin q3d2mzlil2sin q3sin2(q2+q3)+m2ll,sin(2q2+q3),02=m2722第37 卷03m2l2(lz+licos s)0-9102-(q2+ds)mzlilsin qs0(38)(39)=m.l in(4.)-L,i,=-R,li-Keiqi+ui+niTi=KmllJdT11L,i=-R2l2-Ke2j2+ua+n2gT2=Km2l212miL,i,=-Rl,-Keig3+us+n3T3=Kmel;m2图2 由直流电机驱动的三自由度人形机械臂Fig.2 The humanoid manipulator with three-freedom actuated by DC-motors如图3所示，干扰专，n分别为51=0.05(sin(0.4t)+0.5sin(0.6t)+1/3cos(0.9t)+1/4sin(1.2t),52=0.05(cos(0.3(t+3)+0.5sin(0.4t)+1/3cos(1.9t)+1/4cos(1.2t),|5;=0.05(cos(2t)+0.5sin(0.6t)+1/3cos(0.9t)+1/4cos(0.2t),(41)m1=0.01(sin(0.2t)+0.6sin(0.8t)+2/3cos(0.7t)+0.2sin(1.2t),n2=0.06(cos(0.2(t+4)+0.2sin(0.7t)+0.3cos(2t)+1/3cos(1.5t),(m3=0.02(cost+0.65sin(0.3t)+0.1cos(0.8t)+0.5cos(0.5t),并且满足假设2。其中K,=0.15,K，=0.0 9。根据第2 部分,状态反馈跟踪控制器由式(18)给出。根据定理1知，跟踪误差满足lim l q-q,I ki(1-e-),其中,c=mind=-Ki+-K2,22初始值,q(0)=(0.09,-0.08，-0.2),v(0)=（0,0,0),1(0)=（0,0,0)T,系统参数为J。=0.5,m=0.2,m2=0.1,l,=1,2=0.5,ki=35,k2=28,1=5,2=5,k,=0.03,ka=0.12,Cl=0.01,C2=0.3,Cg=0.4,P1=p2=p3=0.1,ka=ka=ke=0.1,L,=L,=L,=0.01。(42)12第2 期聂振霞，等：基于干扰和输出受限的电机驱动机械臂轨迹跟踪控制1410.20.10.1$20.05-m2300-0.1-0.20图4图6 显示了跟踪效果、跟踪误差和控制u，以及干扰的估计误差。从图4和图5可以看出跟踪误差非常小,而且q,j,q,和控制u在内的信号都是有界的,这说明了上述约束条件得到了满足。同时如图6所示，干扰误差专和有界,这也说明了控制器的有效性和稳定性分析的合理性。图7 显示了三种情况的跟踪误差，可以看到PID控制的点状虚线和无障碍控制的虚线，在一段时间后违反了由虚线表示的预定义边界。-0.05-0.1510时间/sFig.3 The disturbance torques and disturbances voltages15图3干扰力矩和干扰电压200510时间/s1520q1qrl0.50q2qr20.5q2010.50q3qr30.5-10-0.5510时间/sFig.4Output of waist,upper arm and forearms of the manipulator0.80.4-0.511520图4机械臂的腰部、上臂和前臂输出值ui一u2-u30510时间/s0.010.005152005-q1-qn1-92-q2q3-91310时间/s15200-0.4-0.8L0-0.005-0.01510时间/sFig.5 Control and tracking error of the manipulator15图5机械臂的控制和跟踪误差200510时间s1520142烟台大学学报（自然科学与工程版）0.04第37 卷0.040.020.0200-0.02-0.02-0.0400.040.021b-10.02-0.04L05结 论研究了输出约束和未知干扰下直流电机驱动机械臂的轨迹跟踪控制问题。设计了干扰观测器来估计干扰,并引人了障碍Lyapunov函数来防止违反约束。然后设计了轨迹跟踪控制器，通过调整参数使跟踪误差可充分小，同时保证输出满足约束。仿真结果验证了该方案的有效性。对于如何处理状态约束,如何利用时变障碍Lyapunov 函数处理时变约束等问题有待解决。参考文献：1SPONG M W,HUTCHINSON S.Robot Modeling and Control MJ.New York:John Wiley&Sons Inc,2005.2谭民，徐德，侯增广，等。先进机器人控制M北京：高等教育出版社，2 0 0 73YUN JT,SUN Y,LI C Q,et al.Self-adjusting force/bit blending control based on quantitative factor-scale factor fuzzy-PID bitcontrol J.Alexandria Engineering Journal,2022,61(6):4389-4397.4吴玉香，周东霞，胡跃明。一类不确定非线性系统的鲁棒自适应控制J控制理论与应用，2 0 0 8，2 5（6）：10 53-1058.5 YANG C G,JIANG Y M,HE W,et al.Adaptive parameter estimation and control design for robot manipulators with finite-timeconvergence JJ.IEEE Transactions on Industrial Electronics,2018,65(10):8112-8123.6傅健，吴庆宪，姜长生，等连续非线性系统的滑模鲁棒正不变集控制J自动化学报，2 0 11，37（11）：139 5140 1.7OTT C,ALBU-SCHAFFER A,KUGI A,et al.On the passivity-based impedance control of flexible joint robots JJ.IEEETransactions on 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manipulator.Keywords:manipulator;DC-motor;trajectory tracking;output constrain;disturbance(责任编辑李春梅)