大钟拍声的调整实验.pdf

第 43 卷 第 3 期Vol.43,No.32024 年 5 月Journal of Applied AcousticsMay,2024 研究报告 大钟拍声的调整实验刘勇君朴锋爱(延边大学工学院延吉133002)摘要：阐明大钟拍声的发生原理，并用大钟振动拍的理论模型说明拍的特性，从而控制清晰度。在实验钟上附着质量，附着质量位置的不同，能够改变其非对称程度，进一步调整拍频，同时将有限元分析结果与等效圆环理论计算结果进行对比。引入等效圆环理论，通过建立一个理论上带有附加质量的轴对称圆环模型，达到具有和大钟相同的振动特性。根据模型，得到在大钟特定位置附加的质量，以同时调整所需拍的清晰度和周期。在大钟多个位置进行实验，并进行有限元分析，验证了该理论的有效性。关键词：钟；拍现象；等效圆环；拍频中图法分类号:TB535文献标识码:A文章编号:1000-310X(2024)03-0552-09DOI:10.11684/j.issn.1000-310X.2024.03.010Adjust to the beat of bellLIU YongjunPIAO Fengai(College of Engineering,Yanbian University,Yanji 133002,China)Abstract:Illustrate the occurrence principle of the beat of bell,and explain the characteristics of beat withthe theoretical model of bell vibration beat,so as to control the clarity of beat.The positions and quantity ofadded mass to the surface of bell could change the asymmetry degree of bell,then the beat frequency couldbe changed.While compare the finite element analysis results with the equivalent ring theory calculationresults.The equivalent ring theory is introduced to achieve the same vibrational characteristics as the testbell by establishing a theoretical axisymmetric ring model with added mass.According to the model,theadded mass at a specific position of the test bell can be calculated to adjust the clarity and period of desiredbeat simultaneously.The validity of theory has been verified by testing at multiple locations of bell and finiteelement analysis.Keywords:Bell;Beat phenomenon;Equivalent ring;Beat frequency2023-01-04收稿;2023-03-06定稿作者简介:刘勇君(1997),男,吉林通化人,硕士研究生,研究方向:机械振动与噪声分析。通信作者 E-mail:第43卷 第3期刘勇君等：大钟拍声的调整实验5530 引言大钟是一种具有悠久历史的器物，也是本土和外来文化共同融合而成的产物。撞击大钟后会发出时高时低的拍频声。作为近似轴对称的大钟，理想情况下的轴对称大钟振动时模态以简并对的形式出现。简并对1的特点是自然频率相等、模态正交以及相位不确定。实际上，大钟在铸造过程中不可避免地会产生轻微的不均匀(包括质量、刚度)，钟外表面雕刻的图案也会产生微小的不均匀，造成简并对自然频率轻微分裂。分裂后的模态相互干涉，使人们听到周期性时高时低的拍声。良好的拍声不仅要清晰，还需要有合适的周期。过去的数十年里，许多东西方学者对不同种类的钟进行了研究。陈通等2、郑敏华等3分别研究了永乐大钟的声学特性并对其振动进行有限元分析。Perrin等4利用群论预测了教堂钟存在的简并模态。Kim等5利用微小非对称圆柱壳模型分析韩国钟的拍声图，得到了与实验一致的结果。Lee等6利用旋转壳模型，提出了一种快速提取钟声拍的方法。黄艳芳等7利用等效圆环理论调整圆环，得到了期望的拍声。大多对钟的研究主要关注物理参数对频率的影响，针对拍声的调整方法很少。本文应用等效圆环理论调节大钟的拍声，通过建立与大钟模态参数相同的等效圆环模型，利用该模型可以求出在大钟特定位置附着的质量，达到调整拍声的清晰度和周期目的。经实验和有限元分析，验证等效圆环理论的有效性。本文的研究结果可以为调整大钟的拍声提供指导。1 大钟结构拍的发生原理1.1大钟的振动大钟的振动可近似看作为壳体的振动，基于模态扩展法，壳体表面的两个切向振动响应u1、u2和法向振动响应u3可以表达为u1(x,t)=k=1k(t)U1k(x,),(1)u2(x,t)=k=1k(t)U2k(x,),(2)u3(x,t)=k=1k(t)U3k(x,),(3)其中，U1k、U2k代表壳体表面第k阶模态的两个切向分量，U3k代表壳体表面第k阶模态的法向分量(如图1所示)。第k阶模态的参与系数k(t)是由式(1)(3)在同时满足Love的运动方程和模态函数的特征值问题下得到的8。对于大钟而言，两个切向振动响应u1、u2都与外表面相切，对大钟的发声基本不起作用，主要起发声作用的是壳体表面法向振动响应u3。uuuxFr(x,)图1点冲击下壳体模型Fig.1 Shell model under point impulse1.2大钟的模态振型轴对称大钟的振动模态是成对出现的。以(m,n)表示。m代表轴向的节圆数量，2n代表圆周方向节点的数量。其中(0,2)模态是大钟发声的最低模态，也被称为“基频”，发出的声音被称作“基音”。但现实中由于材料成分和不同部位厚度不一致，以及外表雕刻的纹饰等原因，大钟结构变成了轻微非对称，造成了原有两个相等的自然频率mn分裂为两个相差不大的自然频率mnL和mnH，其中角标L、H 分别代表自然频率较低和较高的模态。式(4)、式(5)为大钟径向运动模态振型函数9：U3mn=X3mn(x)cosn(),=L,H,(4)H=L+/2n,(5)其中，为反节点坐标；为大钟在点冲击激励下的坐标；m=0,1,2,，n=2,3,4,模态函数X3mn(x)不需要十分精确，原因在于从Rossing等10给出的韩国寺庙钟的全息干涉图中看到，钟的基频模态振型沿轴向基本不发生改变。Kim等5在沿圣德王神钟圆周方向24个均布的点测试了按相等间距在每个点从低到高的4个位置取得了相应的拍声图，发现随着高度的上升，除了振幅逐渐降低，拍的波形并不发生变化。因此，对于基频模态，尽管该函数在分析模型中是未知的，但是沿轴向上的拍依旧能得到。5542024 年 5 月大钟节点与反节点沿圆周方向均匀交替分布，mnL模态的节点为mnH 模态的反节点，反过来也一样。对于非轴对称大钟来说，振动模态的节点位置与非对称程度有关，需要通过模态测试获得反节点的坐标。1.3大钟振动拍的生成式(6)为在点冲击下壳体的加速度响应模型6。通过该模型可以得到沿大钟圆周方向拍的波形。u3mn(x,t)=Cmnemnamnat cosn(L)cosn(L)sin(mnLt)+cosn(H)cosn(H)sin(mnHt),(6)其中，平均阻尼比mna=(mnL+mnH)/2；平均频率mna=(mnL+mnH)/2；为冲击点坐标；Cmn这一项对于每个模态都可以视作常数，为方便计算可视作统一的定值。此 时 生 成(m,n)模 态 拍 的 频 率 为mnb=mnH mnL。拍频则决定了拍的周期T=2/mnb。故为了得到合适的周期，需要改变模态对频率之差，频率差与非对称程度有关。从式(6)中容易看出，若想激发两个模态相等的振动，需要在两个模态反节点的中间位置敲击，此时(0,2)模态的振幅cosn(L)cosn(L)和cosn(H)cosn(H)大小相等，有最明显的拍现象。实际大钟的撞击点是固定的，为在撞击时得到清晰的拍声，需要调整模态振型，使撞击点位于模态对反节点的中间位置，但目前没有一个具体的理论能指导同时调整大钟拍的周期和清晰度。2 大钟的等效圆环2.1等效圆环理论圆环具有简单的轴对称结构，其径向振动的模态振型和反节点位置的分布与大钟低阶模态的振动相似。式(7)和式(8)为圆环径向运动模态振型函数4：Un()=cosn(),=L,H(7)H=L+/2n,(8)其中，为反节点坐标；为圆环在点冲击激励下的坐标；n=2,3,4,比较式(7)和式(4)发现，圆环沿圆周方向的振动变化和大钟相同，但圆环不能说明沿轴向的振动变化。大钟在低阶模态振动时，最大振幅发生在开口处10，该部分类似一个在轴向(图2中x的方向)上具有一定长度的圆环(图2)，且振型不随高度的变化改变。基于以上几点，可以将大钟简化为圆环研究。xh图2圆环Fig.2 Ring实际大钟的几何、物理、模态参数可以被测得，但具体非对称位置和大小是未知的。在已知大钟周向第n阶模态的自然频率nL、nH和反节点位置nL、nH及基本参数下，根据Fox11提出的理论，能够建立一个和大钟振动特性相同，且特定模态的参数也相等的等效圆环模型。利用等效圆环模型能够调整大钟的拍。在给定第n阶模态的自然频率nL、nH和反节点位置nL、nH时，通过式(9)(11)7，可以建立一个带有单个等效质量的轴对称圆环模型，即等效圆环模型(图3)。在相关参数给定后，该模型具有和大钟特定模态相同的模态参数。meqsin2n(eq n)=0 eq=n,(9)meqcos2n(eq n)=Mnmeq=Mn,(10)M=M0+meq,(11)其中，M0为轴对称圆环质量；eq为等效质量角度；meq为等效质量；n为第n阶模态的反节点位置。meqeq图3简单等效圆环模型Fig.3 A simple equivalent ring model2.2利用等效圆环理论调整拍为得到所需要的拍声，根据式(6)的原理确认所需的反节点位置后，先用式(12)得到添加在等效圆环模型上第二质量m2的大小(图4)，再用式(13)得到调整后圆环的自然频率，进而得到所需拍的周期7。第43卷 第3期刘勇君等：大钟拍声的调整实验555tan2nn=meqsin2neq+m2sin2n2meqcos2neq+m2cos2n2,(12)2nL,H=20n(1+2n)(1+2n)+meq(1+2n)(1 2n)cos2n(eq n)/M0+m2(1+2n)(1 2n)cos2n(2 n)/M01,(13)其中，m2为添加在等效圆环的第二个质量；2为添加第二质量的角度；0n为轴对称圆环的自然频率；n为径向与切向位移比。meqm2eq2图4等效圆环添加调整质量Fig.4 An equivalent ring with added mass在得到调整后的等效圆环的两个自然频率nL、nH和反节点位置nL、nH后，代入到圆环振动拍的理论模型(式(14)12，就能得到调整后等效圆环理论模型圆周方向第n阶模态任意位置拍的波形。bn(,t)=2FMenanatnacosn(nL)cosn(nL)sin(nLt)+cosn(nH)cosn(nH)sin(nHt),(14)其中，平均阻尼比na=(nL+nH)/2；平均自然频率na=(nL+nH)/2；M 为圆环总质量；F 为冲量。3大钟拍的调整实验与分析3.1大钟(0,2)模态的振型及模态参数用木槌撞击大钟后，除了木头和金属的撞击声外，人们听到的持续的声音是由大钟振动的基频模态(0,2)发出的基音5。原因在于阻尼的作用下，几秒钟后高频模态很快衰减，只留下几个较低频率的分音2，而其中基音的持续时间最长。所以此处的研究内容主要针对基频模态。模态测试采用的是锤击法，实验设备如表1所示。实验用大钟的基本参数：质量(M)为106 kg；开口处外径(R)为25.5 cm；厚度(h)为23 cm；整体高度(H)为65.5 cm。沿实测钟圆周方向48个点等分，并标记点1点48，以固定撞击点1为=0建立坐标(图5(a)。脉冲激励由脉冲锤实现，锤击方向始终垂直于钟的外表面，对各个点依次敲击。加速度信号由附着在点1上的加速度计捡拾，力输入信号由电荷放大器处理，两种信号被处理后一同输入双通道快速傅氏分析仪，再将分析仪输出的频响函数输入模态分析系统进一步分析(图5(b)。图5(c)是敲击(0,2)模态反节点中间位置(点6.5)的频响函数，从图中看出此时两个模态的激发程度相等，自然频率分别为127.195 Hz和131.695 Hz。表1实验设备Table 1 Experimental equipment设备名称型号脉冲锤PCB Piezotronics 086C03传感信号调理器PCB Piezotronics 480E09电荷放大器B&K 2635加速度计B&K 4375快速傅氏分析仪B&K 2035SYMPHONIE测试系统S&V gb-dBBATI32-4?FFT?AA?(a)?(b)?(c)?6.5?ytftF?/dB?/Hz6050403020100-10132131130129128127126图5实验钟和测试系统Fig.5 Test bell and test system5562024 年 5 月模态分析结果如图6所示。(0,2)L模态的4个反节点角度分别为25.5(点4和点5之间)、115.5、205.5，295.5。(0,2)H模态的4个反节点角度分别为70.5(点10和点11之间)、160.5、250.5，340.5。分析出(0,2)模态的平均阻尼比为02a=0.0000323。123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748L modeH mode图6(0,2)模态分析结果Fig.6 Analysed(0,2)mode3.2大钟拍的特性当敲击大钟上某一模态的节点时，该模态不发生位移，而该点为另一模态的反节点，因此只能激发模态对中的一个模态，无法产生拍现象。式(6)也可以说明这一原因。敲击mn(=L,H)模态的节点时，该模态不会被激发，不会产生振动，即使此时另一模态完全被激发，也无法产生拍现象。若想得到(m,n)模态清晰的拍，敲击位置必须同时能激发(m,n)L和(m,n)H模态。根据式(6)能够看出，当敲击点距(m,n)L模态反节点和(m,n)H模态反节点的位置相等时，两模态振动被激发的程度相等5。实际上，大钟有固定的撞击点，因此需要调整模态振型，使模态对反节点的中间位置位于撞击点处。同时，除了清晰的拍声外，还需要合适的拍周期。因此，需要引入等效圆环理论，达到能同时调整大钟的模态振型和拍周期的目的。3.3大钟等效圆环模型的建立根据3.1节中实验钟的参数，利用式(15)7，计算出n=2等效圆环模型的外径为25.41 cm，厚度为1.921 cm，高度为13.9 cm。通过式(9)(11)，得出等效圆环M0的质量为36.0973 kg，等效质量meq为2.2217 kg，其角度为25.5。该等效圆环模型的振动参数与大钟(0,2)模态相同。0n=1RE(1 2)(n n)2+2n(1 n2)21+2n,(15)其中，E 为杨氏模量；为泊松比；为材料密度；=h2/(12R2)，h、R分别为圆环的厚度和平均半径。利用等效圆环模型，能够得到附着第二个质量大小和位置与拍的周期的关系图。通过关系图，找到调整所需要拍的周期的第二质量大小和位置。并据此对大钟进行有限元分析，以及对实验钟进行调整和测试，用测试得到的拍与等效圆环理论拍对比，验证等效圆环理论有效性。3.4拍的调整拍的周期T=2/mnb由拍频决定。根据哈斯效应，人耳分辨两个声音的临界值为50 ms。换句话说，如果拍的周期小于50 ms，人听到的只有一个连续的声音，拍声会被掩盖。如果拍的周期过长，阻尼会使振动拍衰减，在人们听到第二个拍声之前消失。因此，需要对大钟的拍频进行调整，以获得合适的拍的周期。3.4.1增加反节点处质量大钟模态对的自然频率分裂程度同其非对称程度有关，受刚度(厚度)和质量影响，而低阶模态振动主要由大钟开口部的厚度决定13。为直观说明该情况，以(0,2)模态为例。将质量块附着在实验钟模态反节点位置，改变质量块的大小，记录拍周期的变化。同时建立大钟的有限元模型，用有限元分析和等效圆环理论计算模型附加质量后拍周期的变化，并将3种方法得到的结果对比。如图7(a)所示，分别把0.05 kg、0.1 kg、0.15 kg、0.25 kg、0.35 kg、0.523 kg的质量块附着在(0,2)L模态的反节点(0,2)H模态的节点)位置，随着质量的增加，非对称程度逐渐增大，两模态的自然频率都降低且差值逐渐变大，拍的周期逐渐变小；但是02L减小量大，02H基本不变，原因是附加质量的位置是(0,2)L模态的反节点，也是(0,2)H模态的节点。如图7(b)所示，把0.05 kg、0.1 kg、0.15 kg、0.25 kg、0.35 kg、0.523 kg、1.087 kg、1.652 kg、2.2209 kg 的质量块附着在(0,2)H模态的反节点位置(0,2)L 模态的节点)，随着质量的增加，非对称程度逐渐变小，两模态的自然频率都降低且差值逐渐变小，拍的周期逐渐变大；但02H减第43卷 第3期刘勇君等：大钟拍声的调整实验557小量大，02L基本不变，原因是附加质量的位置是(0,2)H 模态的反节点，也是(0,2)L模态的节点。因此，无论在模态对中哪个模态的反节点附着质量块都会使该模态频率发生变化，但同时附加质量的位置也是另一模态的节点，所以另一模态频率基本不变。00.10.20.30.40.50.6?/kg?/kg125126127128129130131132?00.51.01.52.02.5124126128130132?/Hz?/Hz?(a)(0,2)L?(b)(0,2)H?图7在(0,2)模态反节点处添加质量的频率变化Fig.7 Frequency variety of added mass at anti-node of(0,2)mode从图7看出，等效圆环理论计算出的理论值与有限元分析和实验值的3种结果基本吻合，但这种方法只能改变拍的周期，不能确定模态振型节点位置的变化，无法掌握敲击大钟撞击点时拍的清晰度。3.4.2拍的清晰度及周期的调整过程为使敲击大钟的撞击点(固定位置)时能发出持续清晰的拍声，需要调整模态振型，使撞击点位于两模态反节点的中间。由于(0,2)L和(0,2)H模态的反节点位置相差45，所以需要将(0,2)L模态反节点02L=22.5代入式(12)，能够得到所对应的第二质量m2的大小和所在的角度2，使在大钟上附着m2后(0,2)模态反节点的角度变为22.5(图8)。同时，附着m2后(0,2)模态的自然频率02L和02H可以用式(13)计算得出，进而得到拍的周期的理论值。3.5等效圆环理论的验证图9(a)是把大钟的等效圆环理论模型数据代入式(14)下生成的拍，观测点和冲击点均为点1。图9(b)是测试得到的实验钟的(0,2)模态的拍。测试过程是将加速度计附着在实验钟的点1位置，敲击点1后得到加速度响应信号并由电荷放大器处理进入快速傅氏分析仪，设置分析仪的通带宽度为125135 Hz，再由窄带带通滤波被处理的信号。123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748L modeH mode图8调整后(0,2)模态振型Fig.8(0,2)mode shape after adjusted00.51.01.52.02.53.0?/s?/s-2.5-2.0-1.5-1.0-0.500.51.01.52.02.5?/(mSs-2)00.51.01.52.02.5151050-5-10-15Envelop ID=2 Ch.2 Channel 2 s:m/s2 0.7601.2232.979-1.835(a)?(b)?图9调整前的拍Fig.9 Beat before adjusted5582024 年 5 月图9中两种拍的周期均为0.222 s，除敲击瞬间略有不同外，测试得到的拍和等效圆环理论生成的拍的波形相近，此时的拍不够清晰，需要调整。图10是设定(0,2)L模态反节点位置02L为22.5或22.5代入式(12)、式(13)，由等效圆环理论计算出所需附加质量角度对应的第二质量的大小，以及对应拍的周期变化的关系图，此时(0,2)模态的反节点都为22.5或22.5，撞击点1位于(0,2)L和(0,2)H模态的反节点之间，敲击该点后产生的拍声是清晰的(图8)。图10 中左侧竖轴代表所需附加在任意点第二质量的大小，第二质量理论值由实线表示；右侧竖轴代表附加第二质量后拍的周期，拍的周期理论值由虚线表示。为验证等效圆环理论的有效性，选择点1.5(3.75)、点2.5(11.25)、点3.5(18.75)、点10.5(71.25)、点11.5(78.75)、点12.5(86.25)进行实验。根据图10，在这6个点上附着相应的第二质量分别为0.4782 kg、0.6533 kg、1.7847 kg、1.7847 kg、0.6533 kg、0.4782 kg后，实验钟拍的周期分别变为0.223 s、0.193 s、0.124 s、0.627 s、0.332 s、0.247 s，这些实验值均与理论值相差不大(表2)。同时对大钟进行有限元分析，并将调整后拍的周期的实验值和有限元分析得到的值在图10 中标记。0102030405060708090?/(O)-2-10123456?/kg-2-10123456?/s?(?)?(?)?(?)?(?)?(?)图10角度变化引起第二质量变化与拍的周期的关系Fig.10 The change of angle leads to second massand beat period have changed表2角度变化引起第二质量变化与拍的周期的关系Table 2 The change of angle leads to second mass and beat period have changed2/()m2/kg02L/Hz02H/Hz02b/HzT/s(0,2)L反节点理论值实验值理论值实验值理论值实验值理论值实验值3.750.4782126.365126.703130.932131.1954.5674.4920.2190.22322.511.250.6533125.775126.133130.98131.3055.2055.1720.1920.19322.518.751.7847122.946123.016130.328131.1097.3828.0940.1360.12422.571.251.7847126.053125.357126.903126.9530.851.5961.1780.62722.578.750.6533126.643126.867130.021129.8753.3783.0080.2960.33222.586.250.4782126.599126.914130.673130.9614.0744.0470.2460.24722.5以拍的周期为0.3 s作为调整特例详细说明。从图10找到所需添加第二质量的角度为78.75，在该点附着第二质量m2为0.6533 kg后能得到所需拍的周期。由式(13)得到相应的自然频率为02L=126.643 Hz和02H=130.021 Hz。图11(a)是调整大钟的等效圆环理论模型(0,2)L模态反节点为22.5后的数据代入式(14)得到的拍，拍的周期为0.296 s。将m2=0.6533 kg附着在实验钟的2=78.75位置上后进行测试(过程见3.1节)，测得大钟的自然频率变为02L=126.867 Hz、02H=129.875 Hz。图11(b)是调整实验钟(0,2)L模态反节点为22.5后敲击点1得到的测试拍，拍的周期为0.332 s。在实验中，除敲击瞬间测试得到的拍与等效圆环理论生成的拍略微不同外，测试拍和理论拍的波形和拍频都基本一致，两者拍的周期与预期的0.3 s也都相差不大，拍也变得清晰。对大钟模型进行有限元分析，得到(0,2)模态的振型(图12)和频率为02L=126.734 Hz、02H=129.755 Hz。测试得到的实验结果和有限元分析结果均与理论结果接近，两者的模态振型基本一致且(0,2)L模态反节点变为22.5，表明应用该方法调节大钟的拍声是有效的。第43卷 第3期刘勇君等：大钟拍声的调整实验55900.51.01.52.02.53.0?/s?/s-2.5-2.0-1.5-1.0-0.500.51.01.52.02.5?/(mSs-2)Envelop ID=5 Ch.2 Channel 2 s:m/s2 0.613-1.8352.216-4.28100.51.01.52.02.550403020100-10-20-30-40-50(a)?(b)?图11调整后的拍Fig.11 Beat after adjustedB:ModalFigureType:Total deformationFrequency:126.734 HzUnit:mmB:ModalFigureType:Total deformationFrequency:129.755 HzUnit:mm8.1959 Max7.28536.37465.46394.55333.64262.7321.82130.910660 Min8.0062 Max7.11666.22715.33754.44793.55832.66871.77920.889580 Minxzy(mm)xzy(mm)(a)(0,2)L?(b)(0,2)H?图12调整后大钟(0,2)模态(有限元分析)Fig.12 Adjusted(0,2)mode of bell(finite element analysis)4 结论(1)本文介绍了等效圆环理论。根据大钟振动参数建立对应的等效圆环理论模型，该模型具有和大钟特定模态相同的模态参数。(2)利用大钟的等效圆环模型，可以求出在大钟特定位置附加的第二质量，达到同时调整大钟拍的周期和清晰度的目的。(3)在实验钟不同点附加用等效圆环理论计算出所需附加的质量后，敲击实验钟进行测试，并对大钟模型进行有限元分析。将测试的实验值和有限元分析值与理论值对比，两者结果与理论值十分接近，验证了该方法的有效性。由于撞击大钟后基音持续的时间最久，因此本文只考虑调节(0,2)模态。参考文献1 Rayleigh J W S.The theory of soundJ.New York:DoverPublications,1945.2 陈通,郑大瑞.永乐大钟的声学特性 J.声学学报,1987,12(3):161166.Chen Tong,Zheng Darui.Acoustical 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