线性代数复习典型例题省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

线线线线 性性性性 代代代代 数数数数1第1页例例12解解解解2第2页注：注：注：注：(1)(2)3第3页计算计算 n 阶行列式阶行列式解解将第将第 列都加到第一列上列都加到第一列上,得得 例例74第4页特征特征1：对于全部行（列）元素相：对于全部行（列）元素相加后相等行列式，可把加后相等行列式，可把第第2行至行至n行加到第一行（列），行加到第一行（列），提取公因子后在简化计算。提取公因子后在简化计算。5第5页爪形行列式爪形行列式 例例8特征特征2：第一：第一行，第一列及行，第一列及对角线元素除对角线元素除外，其余元素外，其余元素全为零行列式全为零行列式称为爪型行列称为爪型行列式。式。6第6页范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 例例9从最终一行开始从最终一行开始,每行减去上一行每行减去上一行 倍倍.7第7页按最终一列展开再提取每列公因子按最终一列展开再提取每列公因子8第8页9第9页10第10页例例5证实证实 A 和和 A+2E 都可逆都可逆,并求其逆并求其逆.设方阵设方阵 A 满足满足证证证证11第11页例例6设设 A,B 和和 A+B 均可逆均可逆,证实证实 也可逆也可逆,并求其逆并求其逆.证证证证12第12页例例7设设A为为3阶方阵阶方阵,求求解解解解13第13页设设 即有初等矩阵即有初等矩阵 使得使得问问作一次行变换作一次行变换再作一次行变换再作一次行变换继续继续考虑对考虑对 作行变换作行变换求逆矩阵初等变换法求逆矩阵初等变换法求逆矩阵初等变换法求逆矩阵初等变换法求逆矩阵初等变换法求逆矩阵初等变换法14第14页解矩阵方程解矩阵方程解解例例1215第15页16第16页17第17页证证例例818第18页(5)设设 A 是是 n 阶方阵阶方阵 其中其中 都是方阵都是方阵,则称则称A为为分块对角矩阵分块对角矩阵.19第19页例例1时，时，有没有穷多解。有没有穷多解。，时，时，无解。无解。，时，时，有没有穷多解。有没有穷多解。问问 a,b 为何值时为何值时,方程组有解方程组有解,无解。无解。解解：20第20页例例5解解解解：系数矩阵是方阵首选行列式法：系数矩阵是方阵首选行列式法问问 为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解。有为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解。有没有穷多解时，求通解。没有穷多解时，求通解。21第21页分析分析：当：当 时有唯一解，当时有唯一解，当 时，此时系数矩阵中时，此时系数矩阵中参数已确定，方程组可能无解，也可能有没有穷多解，这取决参数已确定，方程组可能无解，也可能有没有穷多解，这取决于右端项。再用初等行变换法加以判别。于右端项。再用初等行变换法加以判别。当当 时，方程组有唯一解。时，方程组有唯一解。当当 时时当当 时，时，方程组无解。，方程组无解。当当 时，时，方程组有没有穷多解。，方程组有没有穷多解。22第22页通解为通解为23第23页向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示存在数存在数 使使即即有解有解学会这种转换就能够了学会这种转换就能够了学会这种转换就能够了学会这种转换就能够了!注意注意:符号混用符号混用另外另外,假如解唯一假如解唯一,则表示方法是唯一则表示方法是唯一.假如假如(按定义按定义)(转换为方程组转换为方程组)(用矩阵秩用矩阵秩)方程组方程组定理定理定理定理3.1.13.1.124第24页存在不全为零数存在不全为零数 使使即即有非零解有非零解.还是转换！转换线性无关还是转换！转换线性无关还是转换！转换线性无关还是转换！转换线性无关向量组向量组线性相关线性相关(按定义按定义)(转化为方程组转化为方程组)齐次齐次方程组方程组(用矩阵秩用矩阵秩)把向量组排成矩阵，假如矩阵秩等于向量个数就线性无关，把向量组排成矩阵，假如矩阵秩等于向量个数就线性无关，不然假如矩阵秩小于向量个数就线性相关。不然假如矩阵秩小于向量个数就线性相关。定理定理定理定理3.2.33.2.3证实向量组线性相关性基本方法证实向量组线性相关性基本方法（向量方程）（向量方程）25第25页(7)含有含有n个向量个向量n元向量组线性相关（无关）元向量组线性相关（无关）P101推论推论2由它组成由它组成n阶矩阵行列式阶矩阵行列式t 取何值时取何值时,以下向量组线性相关以下向量组线性相关?解解解解记记当当 t=5 时时,上面上面向量组线性相关向量组线性相关.例例426第26页设设 线性无关线性无关,问问 满足什么条件满足什么条件,线性相关线性相关.向量组向量组:分析分析:这是一个向量组表示另一向量组问题这是一个向量组表示另一向量组问题,就就是矩阵乘法关系。是矩阵乘法关系。P104则则例例627第27页设设(要讨论上面方程组何时有非零解要讨论上面方程组何时有非零解)(由由 )28第28页线性相关线性相关29第29页另证另证另证另证:因为因为 是列满秩矩阵是列满秩矩阵,故故线性相关线性相关上面秩上面秩 3殊途同归殊途同归殊途同归殊途同归30第30页例例7主要结论主要结论主要结论主要结论设向量组设向量组 能由向量组能由向量组线性表示为线性表示为且且A组线性无关。证实组线性无关。证实B组线性无关充要条件是组线性无关充要条件是证法一证法一证法一证法一(适合用于普通线性空间适合用于普通线性空间)设设31第31页例例3求向量求向量一个最大无关组一个最大无关组,并把其余并把其余向量用该最大无关组表出向量用该最大无关组表出.矩阵秩矩阵秩=?线性无关吗线性无关吗?是最大无关组吗是最大无关组吗?阅读书阅读书P109例例332第32页33第33页是右边最大无关组是右边最大无关组是左边最大无关组是左边最大无关组总结总结总结总结矩阵矩阵行行初等变换不改变矩阵初等变换不改变矩阵列向量组列向量组线性关系。线性关系。引理引理234第34页定理定理定理定理3.3.23.3.2 注注注注:以前我们把向量组与它们排成矩阵符号混用，以前我们把向量组与它们排成矩阵符号混用，而且把它们秩符号也混用正是因为三秩相等这个原因。而且把它们秩符号也混用正是因为三秩相等这个原因。但对于无限向量组符号就不能混用了。但对于无限向量组符号就不能混用了。向量组秩与矩阵秩关系向量组秩与矩阵秩关系三秩相等定理三秩相等定理35第35页证证(以前证过以前证过)例例2证实齐次方程组解集证实齐次方程组解集是一个向量空间是一个向量空间.以后称为齐次方程组以后称为齐次方程组解空间解空间解空间解空间.36第36页定义定义定义定义设设 是一向量组是一向量组,称称为由该向量组为由该向量组生成生成生成生成(或张成或张成或张成或张成)向量空间向量空间向量空间向量空间.记为记为 尤其地尤其地,由矩阵由矩阵 A 列向量生成向量空间称为列向量生成向量空间称为 A列列空间空间(或称或称像空间像空间或称或称值域值域).记为记为R(A)37第37页六、正交矩阵六、正交矩阵六、正交矩阵六、正交矩阵定义定义定义定义正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵.A 是正交矩阵是正交矩阵定理定理定理定理A 列组是规范正交组列组是规范正交组A 行组是规范正交组行组是规范正交组38第38页非齐次方程组解存在性定理非齐次方程组解存在性定理定理定理定理定理4.1.14.1.1对于对于非齐次非齐次非齐次非齐次方程组方程组(4-1)向量向量 可由可由A列向量组列向量组线性表示。线性表示。39第39页定理定理定理定理4.1.34.1.3对于对于齐次齐次齐次齐次方程组方程组(1)A列向量组线性无关列向量组线性无关(2)A列向量组线性相关列向量组线性相关推论推论1当方程个数当方程个数m小于未知量个数小于未知量个数n，则，则(4-3)必有非零解。必有非零解。40第40页例例3证实证实设设 ,首先证实首先证实利用这一结论利用这一结论证证主要结论主要结论主要结论主要结论41第41页例例4求一个齐次方程组求一个齐次方程组,使它基础解系为使它基础解系为记之为记之为 AB=O,这相当于要解矩阵方程这相当于要解矩阵方程,习惯把未知习惯把未知 A 放在右边放在右边,转置转置,只需解只需解然后再把这些解拼成然后再把这些解拼成 列列(A 行行)即可即可.解解 得基础解系得基础解系设所求齐次方程组为设所求齐次方程组为 ,则则取取即可即可.解解42第42页例例7设四元非齐次线性方程组系数矩阵秩为设四元非齐次线性方程组系数矩阵秩为3,已知已知 是它三个解向量是它三个解向量,且且求该方程组通解求该方程组通解.解解取取 ,则它就是解则它就是解,从而也是从而也是基础解系基础解系.基础解系所含向量个数基础解系所含向量个数=4 3=1故非齐次方程组通解为故非齐次方程组通解为43第43页第第1-4章章经典例题经典例题行列式计算行列式计算矩阵方程求解矩阵方程求解向量组极大无关组及表示向量组极大无关组及表示含参数线性方程组解讨论与求解含参数线性方程组解讨论与求解(转化为向量转化为向量组组)44第44页第第5、6章章经典例题经典例题P 194 2P191 例例1P204 445第45页