线性代数前四章复习省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

v行列式性质行列式性质性质性质2 行列式中某一行全部元素公因子能够提到行列式记行列式中某一行全部元素公因子能够提到行列式记号外面号外面.（倍乘）（倍乘）性质性质1 行列式与它转置行列式相等行列式与它转置行列式相等.性质性质4 对换两行对换两行,行列式值反号行列式值反号.（对调改变符号）（对调改变符号）性质性质3 若行列式某一行元素都是两数之和若行列式某一行元素都是两数之和,则该行拆开则该行拆开,原行列式能够表为对应两个行列式之和原行列式能够表为对应两个行列式之和.性质性质6 把行列式某一行各元素乘以同一数加到另一行对应把行列式某一行各元素乘以同一数加到另一行对应元素上去元素上去,行列式值不变行列式值不变.（倍加不改变行列式）（倍加不改变行列式）性质性质5 若有两行元素对应成百分比若有两行元素对应成百分比,则行列式值为零则行列式值为零.设设 A,B 为为 n 阶矩阵阶矩阵,则有则有|AB|=|A|B|.行列式行列式第1页vLaplace 按行列展开按行列展开定理定理 行列式等于某一行行列式等于某一行(列列)元素与其对应代数余元素与其对应代数余子式乘积之和子式乘积之和.即即 设设 A=(aij)为为 n 阶方阵阶方阵,则有则有第2页矩阵矩阵1.矩阵定义矩阵定义一些特殊矩阵：一些特殊矩阵：零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、三角阵、对角阵、数量阵、单位阵三角阵、对角阵、数量阵、单位阵第3页2.矩阵基本运算矩阵基本运算矩阵相等矩阵相等:同型矩阵：同型矩阵：两个矩阵行数相等、列数也相等两个矩阵行数相等、列数也相等两个矩阵同型，且对应元素相等两个矩阵同型，且对应元素相等矩阵加（减）法、数与矩阵相乘矩阵加（减）法、数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘：矩阵与矩阵相乘：乘法满足：乘法满足：矩阵乘法不满足：矩阵乘法不满足：交换律、消去律交换律、消去律第4页 A是是n 阶方阵，阶方阵，方阵幂：方阵幂：方阵多项式：方阵多项式：而且而且（m,k为正整数）为正整数）方阵行列式：方阵行列式：满足满足:第5页转置矩阵转置矩阵:一些特殊矩阵一些特殊矩阵:把矩阵把矩阵 行换成同序数列得到行换成同序数列得到 新矩阵，叫做新矩阵，叫做 转置矩阵，记作转置矩阵，记作 .满足：满足：对称矩阵和反对称矩阵：对称矩阵和反对称矩阵：幂等矩阵：幂等矩阵：为为n阶方阵，且阶方阵，且第6页伴随矩阵：伴随矩阵：若若若若若若第7页3.逆矩阵逆矩阵定义：定义：A为为n阶方阵，若存在阶方阵，若存在n阶方阵阶方阵,使得使得则称矩阵则称矩阵A是可逆（非奇异、非退化、满秩）是可逆（非奇异、非退化、满秩）矩阵矩阵B称为矩阵称为矩阵A逆矩阵。逆矩阵。唯一性：唯一性：若若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A逆矩阵是唯一逆矩阵是唯一.判定定理判定定理:n阶方阵阶方阵A可逆可逆且且推论：推论：设设A、B为同阶方阵，若为同阶方阵，若则则A、B都可逆，且都可逆，且第8页满足规律：满足规律：逆矩阵求法：逆矩阵求法：（1）待定系数法待定系数法（2）伴随矩阵法伴随矩阵法（3）初等变换法初等变换法分块矩阵运算规则与普通矩阵运算规则相类似分块矩阵运算规则与普通矩阵运算规则相类似4.分块矩阵分块矩阵第9页5.5.初等变换初等变换对调变换、倍乘变换、倍加变换对调变换、倍乘变换、倍加变换三种初等变换都是可逆，且其逆变换是同一类型三种初等变换都是可逆，且其逆变换是同一类型初等变换初等变换矩阵等价：矩阵等价：假如矩阵假如矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵就称矩阵A与矩阵与矩阵B等价。记作等价。记作初等矩阵：初等矩阵：由单位矩阵由单位矩阵E E经过一次初等变换得到方阵经过一次初等变换得到方阵 称为初等矩阵称为初等矩阵.与矩阵相同、协议相互比较与矩阵相同、协议相互比较定理：定理：第10页解矩阵方程初等变换法解矩阵方程初等变换法(A、B可逆可逆)矩阵方程矩阵方程解解第11页、秩（、秩（A）：A不等于不等于0子式最高阶数。子式最高阶数。、秩基本关系式：、秩基本关系式：、关于秩主要结论：、关于秩主要结论：6、矩阵秩第12页、秩求法：、秩求法：1）初等变法：）初等变法：2）若）若P可逆，则可逆，则4)当当 时，时，5)第13页4)矩阵秩等式证实矩阵秩等式证实（1）证）证思绪思绪（2）证）证思绪思绪则则则则有有r阶子式不为阶子式不为0全部全部r+1阶子式全为阶子式全为0第14页比如：比如：设设 为为 阶矩阵，阶矩阵，为为 阶单位矩阵。阶单位矩阵。证实：证实：证：证：综上，综上，第15页一一.向量组线性相关性向量组线性相关性1.向量间线性运算：加法、数乘。向量间线性运算：加法、数乘。2.线性组合、线性表示线性组合、线性表示(1)判断向量判断向量 可由向量组可由向量组 线性表示惯用方法线性表示惯用方法方法方法1：只要证出只要证出就可得出就可得出向量组线性相关性向量组线性相关性第16页(2)在判断或证实中，惯用到两个主要结论在判断或证实中，惯用到两个主要结论结论结论1：向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示结论结论2：若向量组若向量组线性无关，线性无关，而向量组而向量组线性相关，线性相关，则向量则向量 必能由向量组必能由向量组 线性表示，线性表示，且表示式唯一。且表示式唯一。方法方法2：证以下非齐次线性方程组有解证以下非齐次线性方程组有解方法方法3：利用矩阵初等行变换利用矩阵初等行变换行最简形矩阵行最简形矩阵第17页(2)利用惯用结论：利用惯用结论：1个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。2个非零向量线性相关个非零向量线性相关对应分量成百分比对应分量成百分比n1个个n维向量线性相关。维向量线性相关。部分相关部分相关 整体相关；整体无关整体相关；整体无关 部分无关。部分无关。3.线性相关性判别方法线性相关性判别方法(1)普通方法：设数普通方法：设数使得使得成立成立转化为齐次线性方程组是否有非零解问题。转化为齐次线性方程组是否有非零解问题。原向量组无关，维数增加后得到新向量组依然无关；原向量组无关，维数增加后得到新向量组依然无关；原向量组相关，维数降低后得到新向量组依然相关。原向量组相关，维数降低后得到新向量组依然相关。第18页(3)利用向量组秩判断：利用向量组秩判断：设向量组设向量组秩为秩为当当 时，时，线性无关。线性无关。当当 时，时，线性相关；线性相关；4.极大无关组选取或证实极大无关组选取或证实(1)初等变换法（最惯用）初等变换法（最惯用）将列向量组写成矩阵将列向量组写成矩阵初等行变换初等行变换行阶梯或行最简形矩阵行阶梯或行最简形矩阵一个极大无关组，一个极大无关组，比如：比如：求向量组求向量组并把其余向量用该极大无关组线性表示。并把其余向量用该极大无关组线性表示。第19页解：解：是一个极大无关组是一个极大无关组而且而且考虑：还有那些极大无关组？考虑：还有那些极大无关组？初等行变换初等行变换一定要化成最简型一定要化成最简型不能用列变换不能用列变换第20页(2)极大无关组证实极大无关组证实方法方法1：利用定义利用定义线性无关；线性无关；其它向量都可由其它向量都可由线性表示。线性表示。（即向量组中任意（即向量组中任意r+1个向量都线性相关）个向量都线性相关）方法方法2：已知已知是向量组是向量组A一个极大无关组，一个极大无关组，又又A中部分组中部分组与与等价，等价，则则也是也是A一个极大无关组。一个极大无关组。比如：比如：设设是向量组是向量组A极大无关组，且极大无关组，且证实证实 也是也是A极大无关组。极大无关组。第21页证实证实：（即证（即证 与与 等价）等价）向量组向量组 可由向量组可由向量组 线性表示。线性表示。又又向量组向量组 可由向量组可由向量组 线性表示。线性表示。两个向量组等价两个向量组等价也是极大无关组。也是极大无关组。第22页二二.矩阵秩、向量组秩求法矩阵秩、向量组秩求法初等变换后，看非零行行数。初等变换后，看非零行行数。三三.关于向量组秩、矩阵秩证实关于向量组秩、矩阵秩证实关于向量组秩几个主要定理：关于向量组秩几个主要定理：（1）若向量组）若向量组能够由向量组能够由向量组线性表示，则线性表示，则(2)(2)(三秩相等三秩相等)矩阵矩阵A秩秩A行秩行秩A列秩。列秩。第23页