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高考数学总复习第一讲:函数与方程.doc
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4、象其数学特征,建立函数关系 在解决某些数字问题时,先设定一些未知数,然后把它们当作已知数,根据题设本身各量间的制约,列出等式,所设未知数沟通了变量之间的关系,这就是方程的思想 函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,一个函数若有解析表达式,那么这个表达式就可看成是一个方程一个二元方程,两个变量存在着对应关系,如果这个对应关系是函数,那么这个方程可以看成是一个函数,一个一元方程,它的两端可以分别看成函数,方程的解即为两个函数图象交点的横坐标,因此,许多有关方程的问题可以用函数的方法解决;反之,许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决总之,在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数
5、和方程的思想,用它来指导解题在解题中,同时要注意从不同的角度去观察探索,寻求多种方法,从而得到最佳解题方案 一、例题分析例1已知F(x)=x-x在x(0,1)时函数值为正数,试比较,的大小 分析:一般情况下,F(x)可以看成两个幂函数的差已知函数值为正数,即f1(x)=x的图象在x(0,1)上位于f2(x)=x的图象的上方,这时为了判断幂指数,的大小,就需要讨论,的值在(1,+)上,或是在(0,1)上,或是在(0,1)内的常数,于是F(x)成为两个同底数指数函数之差,由于指数函数y=at(00,所以得例2已知0a1,试比较 的大小 分析:为比较a与(a) 的大小,将它们看成指数相同的两个幂,由
6、于幂函数 在区间0,+上是增函数,因此只须比较底数a与a的大小,由于指数函数y=ax(0aa,所以aa,从而aa,得到a(a) 由于aa,函数y=ax(0a(a) 综上, 解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数,函数选得恰当,解决问题简单 例3关于x的方程 有实根,且根大于3,求实数a的范围 分析:先将原方程化简为ax=3,但要注意0x3且x1现将ax看成以a为底的指数函数,考虑底数a为何值时,函数值为3如图(1),过(3,3)点的指数函数的底 ,现要求0x3时,ax=3,所以 ,又因为x1,在图(1)中,过(1,3)点的指数函数的底a=3,所以 若将ax=3变形为 ,令 ,现研究指数
7、函数a=3t,由0x0, 所以y=3-|x+1|, x-2,0解法三、当x-2,-1时,x+42,3, 函数周期是2, f(x+4)=f(x) 而f(x+4)=x+4, x-2,-1时,f(x)=x+4=3+(x+1) 当x-1,0时,-x0,1, 且-x+22,3 函数是偶函数,周期又是2, , 于是在2,0上, 由于x-2,-1时,x+10,x(-1,0)时,x+10, 根据绝对值定义有x-2,0时,f(x)=3-|x+1| 本题应抓住“偶函数”“周期性”这两个概念的实质去解决问题 例5已知y=loga(2-ax)在0,1上是x的减函数,则a的取值范围是( ) (A)(0,1) (B)(1
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