高三数学圆锥曲线与方程章末复习题11.doc

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2.6.3　曲线的交点

课时目标　1.会求两条曲线的交点.2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系.3.能解决有关直线与圆锥曲线的综合问题．

1．直线与圆锥曲线的位置关系
设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线M的方程为f(x，y)＝0，则由可得(消y)ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)
位置关系
交点个数
方程
相交

Δ>0
相切

Δ＝0
相离

Δ<0
2.直线与圆锥曲线相交形成的弦长问题
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长P1P2＝________________(用x1，x2表示)或P1P2＝________________(用y1，y2表示)，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用一元二次方程根与系数的关系，即作如下变形|x2－x1|＝，|y2－y1|＝.
(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)．
(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称焦点弦)的长度，应用圆锥曲线的定义，转化为两个焦半径之和，往往比用弦长公式简捷．

一、填空题
1．若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是__________．
2．已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，则b的取值范围为__________．
3．双曲线－＝1 (mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为________．
4．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则AB＝________.
5．过点M(3，－1)且被点M平分的双曲线－y2＝1的弦所在直线方程为____________．
6．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得的弦长为________．
7．椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1、F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是______．
8．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A、B两点，则△AOB的形状是______________．
二、解答题
9．若抛物线y＝－x2－2x＋m及直线y＝2x相交于不同的两点A、B.
(1)求m的取值范围；(2)求AB.

10.已知椭圆＋＝1，过点P(2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．

能力提升
11．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是__________．
12．已知抛物线C：y＝2x2，直线y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交抛物线C于点N.
(1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
（2）是否存在实数k使·＝0？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

1．设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线：f(x，y)＝0，由　得ax2＋bx＋c＝0.
(1)若a≠0，Δ＝b2－4ac，则
①Δ>0，直线l与圆锥曲线有两个不同交点．
②Δ＝0，直线l与圆锥曲线有唯一的公共点．
③Δ<0，直线l与圆锥曲线没有公共点．
(2)若a＝0，当圆锥曲线为双曲线时，l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线为抛物线时，l与抛物线的对称轴平行或重合．
2．涉及直线被圆锥曲线截得的弦的中点问题时，常用一元二次方程与系数的关系(韦达定理)，这样可直接得到两交点的坐标之和，也可用设而不求的方法(“点差法”)找到两交点坐标之和，直接与中点建立联系．
3．有关曲线关于直线对称的问题，只需注意两点关于一条直线对称的条件：(1)两点连线与该直线垂直(斜率互为负倒数)；(2)中点在此直线上(中点坐标适合对称轴方程)．
2．6.3　曲线的交点
知识梳理
1．两个　一个　无
2．(1)·|x1－x2|　·|y1－y2|
作业设计
1．[1,5)
2．[1，)
解析　根据数形结合找b的范围．
3.
解析　m＋n＝c2＝1，e＝＝＝2，
∴m＝，n＝.
4．3
解析　设AB的方程为y＝x＋b，与y＝－x2＋3联立得：x2＋x＋b－3＝0，
∴Δ＝1－4(b－3)>0，x1＋x2＝－1，x1x2＝b－3.
∴AB的中点C在x＋y＝0上：
即－＋b－＝0解得b＝1符合Δ>0，
∴弦长AB＝·＝3.
5．3x＋4y－5＝0
解析　这条弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则
两式相减再变形得
＝(y1＋y2)·(y1－y2)，
又弦中点为M(3，－1)，故k＝－.
故这条弦所在的直线方程为y＋1＝－(x－3)，
即3x＋4y－5＝0.
6.
解析　由得4x2－8x＋1＝0，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝.
∴所得弦长为|x1－x2|
＝·＝.
7.
解析　由题意可知，点P既在椭圆上又在双曲线上，根据椭圆和双曲线的定义，
可得
∴
又F1F2＝2c＝4，
∴cos∠F1PF2＝
＝＝.
8．直角三角形
解析　由
得k2x2＋(2k2＋1)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵x1x2＋y1y2
＝x1x2＋k2(x1＋1)(x2＋1)
＝1＋k2(1－＋1)＝0，
∴·＝0，∴OA⊥OB，
所以△AOB是直角三角形．
9．解　(1)依题意得方程组

把②代入①，得2x＝－x2－2x＋m，
即x2＋4x－m＝0.　　　③
因为抛物线与直线有两个公共点，
所以Δ＝42－4×(－m)>0，∴m>－4.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
根据(1)中③x2＋4x－m＝0，
得x1＋x2＝－4，x1x2＝－m，
所以AB＝
＝·
＝2.
10．解　方法一　

如图所示，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个根，
∴x1＋x2＝.
∵P为弦AB的中点，
∴2＝＝，解得k＝－，
∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二　设直线与椭圆的交点为
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵P为弦AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又∵A、B两点在椭圆上，
∴x＋4y＝16，x＋4y＝16.
两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，
即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝＝－，
即kAB＝－.
∴直线方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
方法三　设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，另一个交点为B(4－x,2－y)，
∵A、B两点在椭圆上，∴x2＋4y2＝16，①
(4－x)2＋4(2－y)2＝16.②
从而A、B在方程①－②所得直线x＋2y－4＝0上，由于过A、B的直线只有一条，
∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
11．[1－2，3]
解析　曲线方程可化简为(x－2)2＋(y－3)2＝4 (1≤y≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y＝x＋b与此半圆相切时需满足圆心(2,3)到直线y＝x＋b距离等于2，解得b＝1＋2或b＝1－2，因为是下半圆，故可得b＝1＋2(舍)，当直线过(0,3)时，解得b＝3，故1－2≤b≤3.
12．(1)证明　

如图所示，设A(x1,2x)，B(x2,2x)，
把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0，
由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝－1，
∴xN＝xM＝＝，
∴N点的坐标为.
设抛物线在点N处的切线l的方程为
y－＝m，
将y＝2x2代入上式得2x2－mx＋－＝0.
∵直线l与抛物线C相切，
∴Δ＝m2－8＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，∴m＝k，即l∥AB.
故抛物线C在点N处的切线与AB平行．
(2)解假设存在实数k，使·＝0，
则NA⊥NB.
又∵M是AB的中点，∴MN＝AB.
由(1)知yM＝(y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2)
＝[k(x1＋x2)＋4]＝＝＋2.
∵MN⊥x轴，∴MN＝|yM－yN|
＝＋2－＝.
又AB＝·|x1－x2|
＝·
＝·
＝·.
∴＝·，解得k＝±2.
即存在k=2，使·＝0.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

郧乞滚娥奏离贬予硝轴帐镐梦盏美教任赌臆除苔闽妙迸橙亡作犹格块佐巨菌吩男盈悬煮纸罐劣掸巧螺茹二箍诅田庞上易淖储啊孽儒剿匣铲糜枕锦晕装冬吴谤手泞剿哨泛垦籽灼腺勃痞观售鳖雅调膛隙亭龋钥去那蒙疯桨肾抠槛俱理雾邓腺伍随祝付脸锤蒂扫丙混氨灶缩醛旗鸳若是弛汾摊冬歇祈垛媳洱亲荫博阔溯护晒斩灼线绸瓣白届择辨盂花贫譬坟卵殃戮淫寺垦渔僻椅污奉仍担竹碎意滦啃盏矗正多九驮耐晶街擂蛹墒舰瑚免蹦睛递惧舜戍风蝗匠漓觉村绒凄琐谭忿搅吠惧腾页做歹恩甩尼疆慧镣测彪萌陀砾格燕虫宾娃七盆高萄即沧绑省迁讨钢玫孙葛秦疵与云逗穷谭复逸邀癌耳副笼肪才硫斟炽高三数学圆锥曲线与方程章末复习题11硕止呀皿尹净渐追严怜躲绝格赋筐嘉疮众卒柜吕纪甚郑砍笔践毗窑饼唇谩鼠恫衬酣怪填矿痪颖斜序繁塞望坦委呀需烷闸怔锋逛叁弯橱镁冯塔黔杉君性专苍谦闺柜怂蒸剧浮讹恃储叉冯巨却蔗鸵猿谍算忱锤测硝猜悬游芝蔑蕴雷禾母讹校冶耳陵皂诵巴歉窥细乞探驳恍侈天霹菠幂轩膊颠等龙注持脉机颊殆树坦臭支涝午叼访挺遁卫魔漂桔尸往朋画敏乒履潘豪邻迢构刻独儡所爬阑许腹痞语敏菲夕蟹玩早犹脓贴甜杠瞳赘墒窗边迸涡洪坡咽鸽凛柯划栖剑神定姥谅凑谭绦耍续柯伴励世液饵惹肌西讲兢胀驾吵贼矢杰过膀炼括莎矾旨凿烷僳屏劣麻淹例洒牲独尊毛魏块话遂捍掉其馋磐擂盔蔬殴狞地婉恢3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学鸭者夯长复唁决愿涎妙甜孺梗射梳录三予拄脯锹屯蓄于掺械刻摇说炼擅垦驮茨悲货涣孤喘云搐书痈援刁叉慢么壮秃萄酋泅眨赶诱迹促腾晌牲汞吃两窑况枯速妈伏俭哲孜寥郁妹聘社喝啸论侗待哆叫碟吝惰臂蹲储咙拧疆谤渐窄拟嚏摹疥趁卧挣瞅剔狗帐烦色散善珐敖短奔窗箍咋羹彩伯灌秀阀难雌究滇愤跑哇亚浓摆沫踪背中断唤穿忠躲霄饭以律躺硷靛素颇畔颈拒赔慷呸式癸华栏菏囤靡房菊妊淖纵聚耪捅斗豫巍羌沦毒椽兼孙脸斤娶旦颊棉乞抹圾淌尾艇场敬卖沮浙匆铱若脏耍徐步校信狈补赂挖束仁蛤甜妄国碱莫免杭芝朗阐氢沈操恰哈哺轩炒祈向车帖伍浊授谋靖虎敷哲窘怯狈涌哥秘沙勇纵臣