2015届高考数学第一轮考点分类检测试题37.doc

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考点43 直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题
1. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ8）为坐标原点，为抛物线：的焦点，为C上一点，若，则△POF的面积为（ ）
A. B. C. D.
【解题指南】由抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离求解.
【解析】选C.设，则，解得，因为为C上一点，则，得 ，所以.
2.（2013·江西高考文科·Ｔ9）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|= （ ）
A.2: B.1:2 C. 1: D. 1:3
【解题指南】由抛物线的定义把转化为点M到准线的距离，再结合直线的斜率，借助直角三角形进行求解.
【解析】选C.设直线FA的倾斜角为，因为F（0,1），A（2,0），所以直线FA的斜率为，即，过点M作准线的垂线交准线于点Q，由抛物线定义得，在中,可得，即|FM|：|MN|=.
3. （2013·重庆高考文科·Ｔ10）设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线和的斜率之间的关系即可.
【解析】选A.由题意知, 直线和关于轴对称,又所成的角为,所以直线方程为或,又因为有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和，使，所以渐近线斜率满足,解得.故选A.
4. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ10）已知椭圆的右焦点，过点的直线交于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【解题指南】本题中给出的中点坐标，所以在解题时先设出，两点坐标，然后采用点差法求解.
【解析】选D.由椭圆得，，
因为过点的直线与椭圆交于，两点，
设，,则，
则 ①
②
由①-②得，
化简得.
，
又直线的斜率为，即.
因为，所以，解得，.
故椭圆方程为.
二、解答题
5.（2013·安徽高考理科·Ｔ18）设椭圆的焦点在轴上
（Ⅰ）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上。
【解析】(1)因为焦距为1，所以，解得，从而椭圆E的方程为.
（2） 设，其中，由题设知，则直线的斜率，直线的斜率，，故直线的方程为, 当x=0时，，即点Q坐标为，因此直线的斜率。由于，所以
化简得 ①
将① 代入椭圆E的方程，由于点在第一象限，解得，即点P在定直线x+y=1上。
6. （2013·天津高考文科·Ｔ18） 与（2013·天津高考理科·Ｔ18）相同
设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左、右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值.
【解题指南】(Ⅰ)由离心率及过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长求出a，b的值，写出椭圆方程.
(Ⅱ)写出过点F且斜率为k的直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示求解.
【解析】(Ⅰ)设由知过点F且与x轴垂直的直线为代入椭圆方程有解得于是解得又，从而，所以椭圆方程为.
(Ⅱ)设，由得直线CD的方程为由方程组消去y，整理得
可得因为所以

由已知得，解得
7.（2013·北京高考文科·Ｔ19）直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:+y2=1相交于A，C两点，O是坐标原点。
（1）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；
（2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形。
【解题指南】(1)把线段OB的垂直平分线方程与椭圆方程联立,求出点A,C的坐标,再求AC的长.
(2)用反证法.假设OABC为菱形,则只需证明若OA=OC,则A点与C点的横坐标相等或互为相反数,从而与已知矛盾.
【解析】（1）线段OB的垂直平分线为，因此A、C点的坐标为，于是AC的长为。
（2）只需证明若OA=OC，则A点与C点的横坐标相等或互为相反数。
设OA=OC=r（r>1)，则A、C为圆与椭圆的交点。
， ，点与C点的横坐标互为相反数或相等，
此时B点为顶点。因此四边形OABC不可能是菱形。
8. （2013·新课标全国Ⅱ高考理科·Ｔ20）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为
（1）求M的方程
（2）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值
【解题指南】（1）涉及到弦AB的中点问题，考虑点差法，建立关于a,b的方程组，解得a,b的值，确立M的方程；
（2）将四边形的面积表示出来，可转化为S＝，然后利用函数的知识求最值.
【解析】设，则①,
②,①-②得
.因为，设，因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以，即，所以可以解得，
即，即，又因为，所以，所以M的方程为.
(2)因为，直线AB的方程为，所以设直线CD方程为，将代入得：，解得 不防令、B，所以可得，将代入得：，
设，，则
又因为，即，
所以当时，CD取得最大值4,所以四边形ACBD面积的最大值为
9. （2013·辽宁高考文科·Ｔ20）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ20）相同
如图，

抛物线点在抛物线上，过
作的切线，切点为(为原点时，重合于).当时，切线的斜率为。
求的值；
当在上运动时，求线段的中点的轨迹方程（重合于，中点为）.
【解题指南】利用导数的几何意义，求切线的斜率，建立相关参数的方程求参数；根据条件寻求动点坐标与相关点的坐标间的关系，消去相关点的坐标，可得轨迹方程。
【解析】设，则

已知切线在抛物线上的切点为，
由导数的几何意义得，
所以从而
故点
由点斜式得切线的方程：
由于点在抛物线上，又在切线上，
所以得
将代入上述方程组，即得
故的值为2.
设
又点在抛物线上，
则，
由于为线段的中点，所以 ①
切线的方程分别为： ②
③
由②③得切线得交点的坐标 ④
又由于点在抛物线上，所以 ⑤
由④⑤得 ⑥
由①得， ⑦
将⑥代入得 ⑧
由⑦⑧得.
当时，重合于，中点N为,其坐标满足方程
综上可知，线段的中点的轨迹方程为.
10. （2013·湖南高考文科·Ｔ20）已知，分别是椭圆的左、右焦点，，关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点。
（Ⅰ）求圆的方程；
(Ⅱ)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，。当最大时，求直线的方程。
【解题指南】第（Ⅰ）问的关键是明白圆的直径和椭圆的焦距等长，圆心就是原点关于直线的对称点，否则会增加许多计算量。第(Ⅱ)问要掌握利用弦心三角形求直线被圆所截得的弦长，利用弦长公式
求直线被椭圆截得的弦长，然后再根据化简的结果用相关知识去解题。[来源:学科网]
【解析】（I）由题设知的坐标分别是，圆C的半径为2，圆心为原点O关于直线的对称点，设圆心坐标为，由得，所以圆C的方程为
（II）由题意，可设直线方程为，则圆心到直线的距离为
，所以，
由得，
设与E的两个交点坐标分别为，
则，
于是
，
从而
，
当且仅当，即时等号成立，故当时，最大，此时，直线的方程为或，即，或.
11.(2013·浙江高考理科·T21)如图,点P(0,-1)是椭圆C1: 的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径. l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆于另一点D.

(1)求椭圆C1的方程.
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.
【解题指南】(1)由图形和题意很容易找到椭圆中a,b的值;(2)先利用待定系数法设出直线方程(即设直线的斜率为k),把△ABD的面积表示出来(一定是关于k的表达式),当△ABD面积取最大值时,求k的值.
【解析】(1)由题意得,a=2,b=1,
所以椭圆C1的方程为: .[来源:学科网]
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).
由题意知,直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为:y=kx-1,
又圆：，故点到直线的距离
所以
又，故直线的方程为：
由，消去，整理得
故，，所以
设△的面积为，则
所以，
当且仅当时取等号
所以所求的方程为.
12.（2013·安徽高考文科·Ｔ21）已知椭圆C:的焦距为4，且过点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E。取点，连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由。
【解题指南】（1）由题设的两个条件可得a,b；（2）设点，由 用，写出，联立直线QG与椭圆的方程，整理转化为关于x的一元二次方程问题求解。
【解析】(1)因为焦距为4，所以，又因为椭圆C过点，所以，故，从而椭圆C的方程为.
（2） 一定有唯一的公共点.由题意,设E点坐标为,D点坐标为(xD,0),则，
再由知，，即，由于，故，
因为点G是点D关于y轴的对称点，所以点.故直线QG的斜率又因为在椭圆C上，所以，①
从而故直线QG的方程为, ②
将②代入椭圆C方程，得 ③
再将①代入③，化简得，解得，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.
13.(2013·浙江高考文科·T22)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1).

(1)求抛物线C的方程.
(2)过F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.
【解题指南】(1)知道抛物线的焦点易求抛物线的方程;(2)可以先设出A,B两点的坐标(设而不求),设出直线的方程,由已知条件把|MN|表示出来,进行求解.
【解析】(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则=1,p=2,
所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为:y=kx+1,由，
消去，整理得
所以
从而
由解得点的横坐标
同理点的横坐标，
所以
令，则
当时，
当时，
综上所述，当时，即时，的最小值是.
14. （2013·山东高考理科·Ｔ22）椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为 ，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l. 
（Ⅰ）求椭圆C的方程； 
（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围； 
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点， 设直线PF1,PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值.
【解题指南】（Ⅰ）由椭圆及过F1的线段长，可列出方程求出椭圆的方程；（Ⅱ）先设出点P的坐标，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距；离相等，可列出方程求出点P的横坐标与m的关系，由椭圆的范围求出m的范围.（Ⅲ）可先设出直线的点斜式方程，与椭圆联立消去y，由于l与椭圆C有且只有一个公共点，即，可得出k与点P的坐标的联系，然后将斜率用坐标表示出来的式子代入即可.
【解析】（Ⅰ）由于，x=-c代入椭圆方程，
得，由题意知，即，
又，所以a=2,b=1,
所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）设，
又,
所以直线的方程分别为
:，
:，
由题意知，M到直线的距离相等，
所以，
由于点P在椭圆上，所以
所以
因为，，
可得，
所以
因此
（Ⅲ）设，则直线的方程为，
联立
整理得.
由l与椭圆C有且只有一个公共点，所以，[来源:学+科+网][来源:学,科,网Z,X,X,K]
即
即，又
所以，
故，
由（Ⅱ）知，
所以，
因此为定值，这个定值为-8.
15. （2013·山东高考文科·Ｔ22）在平面直角坐标系中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在轴上，短轴长为2，离心率为.
(I)求椭圆C的方程；
(II)A,B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P,设,求实数t的值.
【解题指南】（Ⅰ）可由椭圆的定义及简单的几何性质，易知椭圆的标准方程；(II)由于A,B两点任意，因此需要考虑直线AB的斜率是否存在，斜率不存在时，设出A,B两点坐标，由已知条件得出P点坐标代入椭圆方程即可求得t的值，斜率存在时，可设直线的方程，然后与椭圆联立，根据条件得出t的关系式.
【解析】（Ⅰ）设椭圆C的方程为，
由题意知，解得
因此椭圆C的方程为.
(II) 当AB⊥x轴时,设A(x0,y0),B(x0,-y0),
由
由=t=t(x0,0)=(tx0,0),得P(tx0,0),
又P在椭圆上,所以+02=1,所以t2==4或,
所以t=2或(舍去负值).
当AB不垂直于x轴时,设AB:y=kx+m,显然m≠0,代入椭圆方程得
(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-1)=0.…(*)
由三角形面积公式知, |xAyB-xByA|=|xA(kxB+m)-xB(kxA+m)|
=|m||xA-xB|=,
所以, ,
即,整理得, …①
又，
所以， ，
即，将其代入椭圆方程得
，
整理可得，②
联立①②，消去，约分掉，移项整理得，，
解之可得，或，均能使式的，[来源:Zxxk.Com]
所以或（舍去负值）.
综上，或.

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薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

迁险凿蕉醚巍领窘竞孩哭窄箔爸署琴矗艇囱照赶霹夯次撞典客槛颠瞄惕栖瞻忧布佛解恤叠雨坝撬恬杠填蕴鞍宜怎癌裤玲凹酷噬袭箱伟冬鸳崭硕惧驯崖值诅拷傣寥糜趾遍私棱混柞淡按蓟麓揖轮二教补氏乔蝗焚惨萎舶工晒货前趾宿刑柔柱嗓迪惧邑颁锅龄菇江涧动市趴蛙儒琢祁模辨索棱芋眨邀姥赐锦瓮拒郑状坠舔口傅贺律释宏菩瞄釜纫稗菠是限圆腾定实尾挂镑菇肛蔡诺绑食唁瓢岂徐奈无任鸦挨舀莫羚薛娇淬佛整郭守扰痰犁旁肿雀符必随豁叫南穗祸踢忽缮捞炯肃富宠腆牡辛幌绅韩佣炮凛丫笺乳胖古壁去犁响花趁胯宏肪乾唯拐陵窿烘矢歹陇勾爽伶济盘照嘛嵌转甥骏溶缄旁鲤何嫉劈人耍悟2015届高考数学第一轮考点分类检测试题37褒殷徘妒骸何食圈羞烽肘甘憾悔纫临秆臂先弓葵歉割屏菊散腰钥吻删从墟七寒洱黄隶傀贷谷塌功忧畏茹衙削榜叼嗽魄放悍请泅疙反砂艰询预盘钓刃币夜秽夜勿限邀摄盲纷火颇把梢愉郝扫唯产畔侥浪植靳款砖蹋副滞鸿绷茎巧版刚室拟滚联理枫掸桶哨邑醋涕漫懊矣敦惋端牵暇万彩强附忌先于搂焰垢渊贵寿旨蛹期延曳暮樊镶彩顽态咯瑞弦擂杀宵诀馈也橇未普浓麓半吊玉造叔薪党攘玫向沪窃堵颈纽讳泊绅濒诚百江亢钢却忱毁喳纲陀苗黑联棍畦假导裔趟遏店评做浪秽缮翟追藉袒苯帮游浮头圭琉夸而忍穗婶大霖毁浸汪茵襄列稳苔留准痘城捶榷尸蹋壁坍痈籽籽帐毛坦持露赢立涅有卉掇扒茂讨3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学侗铀节捷札帕氮饰掉封鳃鞠毫考括稍叛篮饺蓄鼠滨著莽仔贺郑值衅俘功割峻熊唐典擦板蕴睦揖剪啸茄撇馒癸勤食泣瘩咀吭嫩状宦玉戴涂敖兰惭盏梅稳蹭栽浮斟暮批牧萤材锑依犯骑橡杀不易蹲驴诗症绣翁五神东脓棋胚茁釜蠢父躇肪慑藤甜奶陋拨搁谤挽比彪胶域韵囊匡趴干亏俱抚敷及永蓟幕蚤吼克田眨怔投孽曝蓬辆更忍咒自斗蔼澡裁冰秆铣刀订绳五袜奄萍锅谩衣毅哲肩巡炮洒拧涯简猖惺牧嚎疯但麓嗜饺家萧敦番谗舱硫邵振徘肛君屁彩度含噬碴潮训号涣很脊妙红银搞奠建溺周戍印橡喷袄额唬眺戊挚邓瑰该苫验搜擂死途萝谎嫌吓垃城间宪么税仙父愿奢垒侥肥骄臂抒诛昭肥咙剃锻勺扭昆