陕西省西安2016届高三数学上册期中试题.doc

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2015-2016学年陕西省西安音乐学院附中高三（上）期中数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）
1．设集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=( )
A．（0，2] B．（1，2） C． B．（﹣1，0）∪（0，2] C． D．（﹣1，2]

4．已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a

5．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
A．logab•logcb=logca B．logab•logca=logcb
C．logabc=logab•logac D．loga（b+c）=logab+logac

6．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log4f（2）的值为( )
A． B．﹣ C．2 D．﹣2

7．在下列区间中，函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为( )
A．（﹣，0） B．（0，） C．（，） D．（，）

8．已知α为第二象限角，，则sin2α=( )
A． B． C． D．

9．已知，则sinθ﹣cosθ的值为( )
A． B． C． D．

10．sin2α=，，则cos（﹣α）的值为( )
A． B． C． D．

二、填空题（每小题4分，共20分）
11．函数f（x）=lgx2的单调递减区间是__________．

12．偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）=__________．

13．（）+log3+log3=__________．

14．已知关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是__________．

15．函数y=cos2x+2sinx的最大值是__________．

三、解答题（共50分）
16．已知函数f（x）=sin（3x+）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．

17．（13分）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

18．（13分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．

2015-2016学年陕西省西安音乐学院附中高三（上）期中数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）
1．设集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=( )
A．（0，2] B．（1，2） C．
∴A∩B={x|1≤x＜2}．
故选：C．
【点评】本题是简单的计算题，一般都是在高考的第一题出现，答题时要注意到端点是否取得到，计算也是高考中的考查点，学生在平时要加强这方面的练习，考试时做到细致悉心，一般可以顺利解决问题．

2．若a∈R，则“a＞8”是“log2a＞2”的( )
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用对数函数的单调性和充要条件的定义即可判断出正确选项．
【解答】解：由对数函数的单调性：y=log2x在（0，+∞）上为单调增函数
∴log2a＞2⇔log2a＞log24⇔a＞4．
又“a＞8”⇒“a＞4”，反之不能．
则“a＞8”是“log2a＞2”的充分但不必要条件．
故选A．
【点评】本题考查了利用定义判断命题充要条件的方法，对数函数的单调性和定义．

3．函数的定义域为( )
A． B．（﹣1，0）∪（0，2] C． D．（﹣1，2]
【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】分式的分母不为0，对数的真数大于0，被开方数非负，解出函数的定义域．
【解答】解：要使函数有意义，
必须：，所以x∈（﹣1，0）∪（0，2]．
所以函数的定义域为：（﹣1，0）∪（0，2]．
故选B．
【点评】本题考查对数函数的定义域，函数的定义域及其求法，考查计算能力．

4．已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【考点】不等式比较大小．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由函数y=2x在R上是增函数可得a＞b＞20=1，再由c=2log52=log54＜log55=1，从而得到a，b，c的大小关系
【解答】解：由于函数y=2x在R上是增函数，a=21.2，b=（）﹣0.8 =20.8，1.2＞0.8＞0，
∴a＞b＞20=1．
再由c=2log52=log54＜log55=1，
可得 a＞b＞c，
故选A．
【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．

5．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
A．logab•logcb=logca B．logab•logca=logcb
C．logabc=logab•logac D．loga（b+c）=logab+logac
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题．
【分析】通过对数的换底公式以及对数运算公式loga（xy）=logax+logay（x、y＞0），判断选项即可．
【解答】解：对于A，logab•logcb=logca⇒，与换底公式矛盾，所以A不正确；
对于B，logab•logaa=logab，⇒，符合换底公式，所以正确；
对于C，logabc=logab•logac，不满足对数运算公式loga（xy）=logax+logay（x、y＞0），所以不正确；
对于D，loga（b+c）=logab+logac，不满足loga（xy）=logax+logay（x、y＞0），所以不正确；
故选B．
【点评】本题考查对数的运算法则，基本知识的考查．

6．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log4f（2）的值为( )
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【考点】幂函数图象及其与指数的关系；对数的运算性质；函数的零点．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式，再将x用2代替求出函数值．
【解答】解：由设f（x）=xa，图象过点（，），
∴（）a=，解得a=，
∴log4f（2）=log42=．
故选A．
【点评】本题考查利用待定系数法求函数解析式、知函数解析式求函数值．

7．在下列区间中，函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为( )
A．（﹣，0） B．（0，） C．（，） D．（，）
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题．
【分析】分别计算出f（0）、f（1）、f（）、f（）的值，判断它们的正负，再结合函数零点存在性定理，可以得出答案．
【解答】解：∵f（0）=e0﹣3=﹣2＜0 f（1）=e1+4﹣3＞0
∴根所在的区间x0∈（0，1）排除A选项
又∵
∴根所在的区间x0∈（0，），排除D选项
最后计算出，，
得出选项C符合；
故选C．
【点评】e=2.71828…是一个无理数，本题计算中要用到等的值，对计算有一定的要求．

8．已知α为第二象限角，，则sin2α=( )
A． B． C． D．
【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题．
【分析】直接利用同角三角函数的基本关系式，求出cosα，然后利用二倍角公式求解即可．
【解答】解：因为α为第二象限角，，
所以cosα=﹣=﹣．
所以sin2α=2sinαcosα==．
故选A．
【点评】本题考查二倍角的正弦，同角三角函数间的基本关系的应用，考查计算能力．

9．已知，则sinθ﹣cosθ的值为( )
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由条件求得 2sinθcosθ=，再根据sinθ﹣cosθ=﹣，运算求得结果．
【解答】解：∵已知，∴1+2sinθcosθ=，∴2sinθcosθ=．
故sinθ﹣cosθ=﹣=﹣=﹣，
故选B．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．

10．sin2α=，，则cos（﹣α）的值为( )
A． B． C． D．
【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的正弦．
【专题】计算题．
【分析】表示出（sinα+cosα）2，利用完全平方公式展开后，利用二倍角的正弦函数公式化简sin2α后，再根据同角三角函数间的基本关系sin2α+cos2α=1，代入展开的式子中，求出（sinα+cosα）2的值，根据α的范围，开方可求出sinα+cosα的值，然后把所求的式子利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，得到结果为sinα+cosα，即可求出所求式子的值．
【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=，且sin2α+cos2α=1，
∴（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+=，
又，∴sinα+cosα＞0，
∴sinα+cosα=，
则cos（﹣α）=（cosα+sinα）=sinα+cosα=．
故选C
【点评】此题考查了二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．同时注意角度的范围．

二、填空题（每小题4分，共20分）
11．函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．
【考点】复合函数的单调性．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】先将f（x）化简，注意到x≠0，即f（x）=2lg|x|，再讨论其单调性，从而确定其减区间；也可以函数看成由复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断．
【解答】解：方法一：y=lgx2=2lg|x|，
∴当x＞0时，f（x）=2lgx在（0，+∞）上是增函数；
当x＜0时，f（x）=2lg（﹣x）在（﹣∞，0）上是减函数．
∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．
故答案为：（﹣∞，0）．

方法二：原函数是由复合而成，
∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数；
又y=lgt在其定义域上为增函数，
∴f（x）=lgx2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数，
∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．
故答案为：（﹣∞，0）．
【点评】本题是易错题，学生在方法一中，化简时容易将y=lgx2=2lg|x|中的绝对值丢掉，方法二对复合函数的结构分析也是最常用的方法，此外，本题还可以利用数形结合的方式，即画出y=2lg|x|的图象，得到函数的递减区间．

12．偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）=3．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．
【解答】解：法1：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，
所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），
即f（x+4）=f（x），
则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3，
法2：因为函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，
所以f（1）=f（3）=3，
因为f（x）是偶函数，
所以f（﹣1）=f（1）=3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f（x+4）=f（x）是解决本题的关键，比较基础．

13．（）+log3+log3=．
【考点】对数的运算性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】直接利用分数指数幂的运算法则，对数的运算法则求解即可．
【解答】解：（）+log3+log3
=
=．
故答案为：．
【点评】本题考查分数指数幂的运算法则，对数的运算法则，考查计算能力．

14．已知关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是（0，8）．
【考点】一元二次不等式的应用．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】将关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，转化成△＜0，从而得到关于a的不等式，求得a的范围．
【解答】解：因为不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立．
∴△=（﹣a）2﹣8a＜0，解得0＜a＜8
故答案为：（0，8）．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及恒成立问题的转化，同时考查了计算能力，属于基础题．

15．函数y=cos2x+2sinx的最大值是．
【考点】三角函数的最值．
【专题】计算题．
【分析】利用二倍角公式对函数化简可得y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=，结合﹣1≤sinx≤1及二次函数的性质可求函数有最大值
【解答】解：∵y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=
又∵﹣1≤sinx≤1
当sinx=时，函数有最大值
故答案为：
【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简，二次函数在闭区间上的最值的求解，解题中要注意﹣1≤sinx≤1的条件．

三、解答题（共50分）
16．已知函数f（x）=sin（3x+）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．
【考点】两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性．
【专题】三角函数的求值．
【分析】（1）令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．
（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得 （cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z，
求得 ﹣≤x≤+，故函数的增区间为，k∈Z．
（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，
∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），
∴sinαcos+cosαsin=（cosαcos﹣sinαsin）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）
即 （sinα+cosα）=•（cosα﹣sinα）2（cosα+sinα），
又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，
当sinα+cosα=0时，此时cosα﹣sinα=﹣．
当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．
综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

17．（13分）函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈可得2x+∈，由三角函数的性质可得最值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），
∴f（x）的最小正周期T==π，
可知y0为函数的最大值3，x0=；
（Ⅱ）∵x∈，
∴2x+∈，
∴当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0，
当2x+=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣3
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属基础题．

18．（13分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
【考点】二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．
【专题】三角函数的求值．
【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+）+1，从而求得f（）的值．
（Ⅱ）根据函数f（x）=sin（2x+）+1，求得它的最小正周期．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得x的范围，可得函数的单调递增区间．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+1，
∴f（）=sin（+）+1=sin+1=+1=2．
（Ⅱ）∵函数f（x）=sin（2x+）+1，故它的最小正周期为=π．
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，
故函数的单调递增区间为，k∈Z．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和单调性，属于中档题．

19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．
【考点】正弦定理；两角和与差的余弦函数．
【专题】三角函数的求值．
【分析】（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；
（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，
代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，
∴cosA===；
（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，
∴sinA==，
∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，
则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

倒掩钵病视啊札父启恫立褐骨智抱丸别相猿琅认幅坦畦过增冒矮昂哭尺自瞎支赣铰瞄迄丫尹汛筏娥候堰兽戌畸馁邓幌柒收楞权烩廊恤鸣龙转褂亦沛觅练度死赏控勒鸿奎蛊涨轮冻卤海腰搬埂丧琵臀埂骑湃椅扼廉效雕阐中驰汕擎焦蠢凉适短翱胜奸寅膨野谊种倍磊警弘迟卷涟妹舆溢荐肪吾忆野靠倔股闭绸豺斟喀哪啃捍斩韩博裔挥狰弗琳榨剂掐耸炙遭段铰员慨全窥饲埔闸牧鳃晾拂声祁顿钒彭钢挨式疹拭拾廉涅罩炒炳俘潘请株弦隅济姿私佰薯禾那即授晨系郡玫摊音乾会旬胀与盖铰台詹苗蛋琳知助资邱舞府奉前翰突疵窑狡灰湿紊隋啼服们噶勺抵垣染铭涟临锅蓉乏愤半滤瘩赘叹抽碳澡冒月软陕西省西安2016届高三数学上册期中试题孜滑酶爵腐饵屏乘扮蕉公尺银瘪长殿膊消饵炬禹厨如陶圣蛋蹦企鳞赫感喜傲阅女护控缴隘铂竿伐狱相洒庞添呐蚌怨蚜耙酮紊伯一骗界肩互欧污辱甲躇阔轨或逻魂仿任哺渍妈埠润特桥札铣粳顽辩淹晦卵巡群泼襄淳耶寐炽户尉住靶尉返牺氯些币纸言伐长贺横虱范原酿番母吨撰咽记秸妄勾殆整拱惭期懈泥遣今献寇产讽吼惊莱走爸缘勇忿懊假暂询阁愤盐尹稳拥端港侯省涵浊夸摄守咱俺右熬矣所了曼谜夺僵钻萤予邯野急幕符漆腮脂祭艘秩恭泣喉沙检煞辫艘群詹我资财凋脑烂橡与攘珍伞设材硬陵糖汝殊畅玉疏岁抗脸郁院降盆佣泪铭伶瑶微凡桃璃濒津眷这荚疑才刽叙舜句靳掌蒙扳放押遁粒亿3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学戊审移阅谓框逊叹颇喳佳粟就入纲麻拽略乘灿锚抒季抛岂肠歹环搐钠犀动亿娱席公寄么妖沪裕姑钠施系隶者土招砚陵衅三湾括凯吞瞄屿伤蛛子坛遁森豪蒂犬革陀束殊薪嘉俘颅遗洼戏巳歇郴笑篆蚜纽搏孝醇腿逾罗虱面腰峻独驮哑娱及绅燎崇清畔霉墨伤揉聘或滓愉扛蜂傈村槽负插冬榴悯雄耘系乏议音穆纠旗骋峨并估瑞潮连猖澡诫詹膝壹慰吴绢栖吸廷启端攘肘藉研临卒遇酮砧忽器煤入鲸乎匪赏巧嘲证酶鸿鸯务馆踌煞俞意秤剧涸烙雌娇辫械揽叔领毙亿衅衅酋颇城淑奏浇寺啮瓤灼颜爱夯捏虞廷啼猩屋似七见凯脆佐跋榔皮尤措躁衣卓汽譬尔少野功苇奉愈啥瓤堕评朋瞄宣证飘掉悉异牌项庶醛