高一数学下册巩固与练习题52.doc

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1．(2008年高考陕西卷)已知{an}是等差数列，a1＋a2＝4，a7＋a8＝28，则该数列前10项和S10等于(　　)
A．64 B．100
C．110 D．120
解析：选B.设等差数列公差为d，则由已知得
，
即，
解得a1＝1，d＝2，
∴S10＝10a1＋d＝10×1＋×2＝100.
2．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项的和为Sn，则数列{}的前10项的和为(　　)
A．120 B．70
C．75 D．100
解析：选C.Sn＝＝n(n＋2)，∴＝n＋2.
故＋＋…＋＝75.
3．(原创题)设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2，∴f(x)＝x(x＋1)，＝＝－，用裂项相消法求和得Sn＝.故选A.
4．若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，S17＋S33＋S50等于________．
解析：由题意知Sn＝
∴S17＝9，S33＝17，S50＝－25，
∴S17＋S33＋S50＝1.
答案：1
5．若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，则＋＋…＋＝________.
解析：令n＝1得＝4，即a1＝16，当n≥2时，＝(n2＋3n)－[(n－1)2＋3(n－1)]＝2n＋2，所以an＝4(n＋1)2，当n＝1时，也适合，所以an＝4(n＋1)2(n∈N*)．于是＝4(n＋1)，故＋＋…＋＝2n2＋6n.
答案：2n2＋6n
6．已知等差数列{an}中，Sn是它前n项和，设a6＝2，S10＝10.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按取出的顺序组成一个新数列{bn}，试求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设数列{an}首项，公差分别为a1，d.
则由已知得a1＋5d＝2①
10a1＋d＝10②
联立①②解得a1＝－8，d＝2，
所以an＝2n－10(n∈N*)．
(2)bn＝a2n＝2·2n－10＝2n＋1－10(n∈N*)，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝－10n＝2n＋2－10n－4.
练习

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a、b∈R)，且S25＝100，则a12＋a14等于(　　)
A．16 B．8
C．4 D．不确定
解析：选B.由数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a、b∈R)，
可得数列{an}是等差数列，S25＝＝100，
解得a1＋a25＝8，所以a1＋a25＝a12＋a14＝8.
2．数列{an}、{bn}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a20＋b20＝60.则{an＋bn}的前20项和为(　　)
A．700 B．710
C．720 D．730
解析：选C.由题意知{an＋bn}也为等差数列，所以{an＋bn}的前20项和为：
S20＝＝＝720.
3．数列9,99,999，…的前n项和为(　　)
A.(10n－1)＋n B．10n－1
C.(10n－1) D.(10n－1)－n
解析：选D.∵数列通项an＝10n－1，
∴Sn＝(10＋102＋103＋…＋10n)－n
＝－n
＝(10n－1)－n.故应选D.
4.(2010年哈师大附中模拟)设an＝－n2＋17n＋18，则数列{an}从首项到第几项的和最大(　　)
A．17 B．18
C．17或18 D．19
解析：选C.令an≥0，得1≤n≤18.
∵a18＝0，a17>0，a19<0，
∴从首项到第18项或17项和最大．
5．数列an＝，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为(　　)
A．－10 B．－9
C．10 D．9
解析：选B.数列的前n项和为
＋＋…＋
＝1－＝＝，∴n＝9，
∴直线方程为10x＋y＋9＝0.
令x＝0，得y＝－9，
∴在y轴上的截距为－9.
6．若{an}是等差数列，首项a1>0，a2009＋a2010>0，a2009·a2010<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是(　　)
A．4017 B．4018
C．4019 D．4020
解析：选B.∵a1>0，a2009＋a2010>0，a2009·a2010<0，且{an}为等差数列，
∴{an}表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，
且a2009是绝对值最小的正数，a2010是绝对值最小的负数(第一个负数)，且|a2009|>|a2010|.
∵在等差数列{an}中，a2009＋a2010＝a1＋a4018>0，
S4018＝>0，
∴使Sn>0成立的最大自然数n是4018.
7．数列1，，，…的前n项和Sn＝________.
解析：由于an＝＝＝2(－)
∴Sn＝2(1－＋－＋－＋…＋－)
＝2(1－)＝.
答案：
8．若＝110(x∈N＋)，则x＝________.
解析：原式分子为1＋3＋5＋…＋(2x－1)
＝＝x2，
分母为＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－＝，
原式为：＝x2＋x＝110⇒x＝10.
答案：10
9．数列{an}中，a1＝－60，且an＋1＝an＋3，则这个数列前30项的绝对值的和是________．
解析：{an}是等差数列，an＝－60＋3(n－1)＝3n－63，an≥0，解得n≥21.
∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|
＝－(a1＋a2＋…＋a20)＋(a21＋…＋a30)＝S30－2S20
＝－(－60＋60－63)·20＝765.
答案：765
10．已知函数f(x)＝m·2x＋t的图象经过点A(1,1)、B(2,3)及C(n，Sn)，Sn为数列{an}的前n项和，n∈N*.
(1)求Sn及an；
(2)若数列{cn}满足cn＝6nan－n，求数列{cn}的前n项和Tn.
解：(1)由，得，
∴f(x)＝2x－1，∴Sn＝2n－1(n∈N*)．
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.
当n＝1时，S1＝a1＝1符合上式．
∴an＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)知cn＝6nan－n＝3n×2n－n.
从而Tn＝3(1×2＋2×22＋…＋n×2n)－(1＋2＋…＋n)
＝3(n－1)·2n＋1－＋6.
11．将n2个数排成n行n列的一个数阵：
a11　　a12　　a13　　…　　a1n
a21　　a22　　a23　　…　　a2n
a31　　a32　　a33　　…　　a3n
…　　 …　 　…　 　…　　…
an1　　an2　　an3　　…　　ann
已知a11＝2，a13＝a61＋1，该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列，其中m为正实数．
(1)求第i行第j列的数aij；
(2)求这n2个数的和．
解：(1)由a11＝2，a13＝a61＋1得2m2＝2＋5m＋1，
解得m＝3或m＝－(舍去)．
aij＝ai1·3j－1＝[2＋(i－1)m]3j－1＝(3i－1)3j－1.
(2)S＝(a11＋a12＋…＋a1n)＋(a21＋a22＋…＋a2n)＋…＋(an1＋an2＋…＋ann)
＝＋＋…＋
＝(3n－1)·＝n(3n＋1)(3n－1)．
12.(2009年高考全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(1＋)an＋.
(1)设bn＝，求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解：(1)由已知得b1＝a1＝1，且＝＋，
即bn＋1＝bn＋，从而b2＝b1＋，
b3＝b2＋，
…
bn＝bn－1＋(n≥2)．
于是bn＝b1＋＋＋…＋＝2－(n≥2)．
又b1＝1，
故所求的通项公式为bn＝2－.
(2)由(1)知an＝2n－，
故Sn＝(2＋4＋…＋2n)－(1＋＋＋＋…＋)，
设Tn＝1＋＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋…＋＋，②
①－②得，
Tn＝1＋＋＋＋…＋－
＝－＝2－－，
∴Tn＝4－.
∴Sn＝n(n＋1)＋－4.

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