高三文科数学知识点综合提能练习题18.doc

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1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D．
解析：

选C.如图，E为BC的中点．由于M、N分别是A1B1，A1C1的中点，故MN∥B1C1且MN＝B1C1.故MN∥BE，所以四边形MNEB为平行四边形，所以EN∥BM，所以直线AN，NE所成的角即为直线BM，AN所成的角．设BC＝1，则B1M＝B1A1＝，所以MB＝＝＝NE，AN＝AE＝.
在△ANE中，根据余弦定理，得cos∠ANE＝＝.
2.在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点P在线段AD′上运动，则异面直线CP与BA′所成的角θ的取值范围是(　　)

A．0<θ< B．0≤θ<
C．0≤θ≤ D．0<θ≤
解析：选D.连接CD′(图略)，则异面直线CP与BA′所成的角θ等于∠D′CP.由题图可知，当点P与点A重合时，θ＝，当点P无限接近点D′时，θ趋近于0.由于是异面直线，故θ≠0.故选D.
3．(2015·台州市高三调考)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝BC＝2.若M为四面体C1BCD内的点(包含边界)，则直线A1M与平面A1B1C1D1所成角的余弦的最小值为(　　)

A. B．
C. D．
解析：选C.长方体的底面对角线的长度为2，设底面对角线的交点为N，要使线面角的余弦值最小，则线面角最大，可得当点M位于点N处时，直线A1M与平面A1B1C1D1所成角θ最大，则cos θ＝.
4．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B.如图，设P0为底面ABC的中心，连接PP0，由题意知PP0为直三棱柱的高，∠PAP0为PA与平面ABC所成的角，S△ABC＝×()2·sin 60°＝.

∵三棱柱的体积V＝，
∴·PP0＝，
∴PP0＝.又P0为底面ABC的中心，
则AP0等于正△ABC高的，
又易知△ABC的高为，
∴AP0＝×＝1.
在Rt△PAP0中，tan∠PAP0＝＝＝，
∴∠PAP0＝，故选B.
5．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角的大小为(　　)

A. B．
C. D．
解析：选A.取B1C1的中点D，连接AD，A1D，∵BB1∥AA1，∴AA1与平面AB1C1所成的角等于BB1与平面AB1C1所成的角．∵侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，∴三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，则B1C1⊥A1D，B1C1⊥AA1，∴B1C1⊥平面AA1D，∴平面AA1D⊥平面AB1C1，∴AA1与平面AB1C1所成的角为∠A1AD，∵AA1＝3，A1D＝，∴tan∠A1AD＝，
∴∠A1AD＝，∴BB1与平面AB1C1所成的角为.故选A.

6．已知点E，F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于(　　)
A. B．
C. D．
解析：选D.如图，补全截面图形为AEFG，且D1G＝2GD，AG∥EF，延长FG与直线CD交于H，则AH为面AEF与面ABC的交线．
∵GD⊥面ABC，作DM⊥AH于M，连接GM，
∴∠GMD为所求二面角的平面角．

设正方体的棱长为a，GD＝FC＝×a＝a，
DM＝＝＝a，
∴tan∠GMD＝＝＝.
7．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________．

解析：连接A1C1(图略)，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角．
∵AB＝BC＝2，∴A1C1＝AC＝2，
又AA1＝1，∴AC1＝3，∴sin∠AC1A1＝＝.
答案：
8．若P是△ABC所在平面外一点，PB＝PC＝AB＝AC，M是线段PA上一点，N是线段BC的中点，则∠MNB＝________.
解析：

如图，连接AN，PN.
∵PB＝PC＝AB＝AC，N为BC边的中点，
∴PN⊥BC，AN⊥BC，
又PN交AN于N点，
∴BC⊥平面PAN.
显然，MN在平面PAN内，
则BC⊥MN，
∴∠MNB＝90°.
答案：90°
9．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．
解析：

如图，不妨设三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为1，
取BC的中点E，连接AE，DE.
∵CC1⊥底面ABC，
∴侧面BB1C1C⊥底面ABC.
又E为BC的中点，且△ABC为正三角形，∴AE⊥BC，
由两平面垂直的性质定理知，AE⊥平面BB1C1C，
∴∠ADE就是AD与平面BB1C1C所成的角．
设AB＝a，则AE＝a，DE＝，则tan∠ADE＝，
∴∠ADE＝60°.
答案：60°
10．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心O，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于________．
解析：

如图所示，过点B1作平面ABC的垂线，垂足为D，连接AD，则∠B1AD就是所求的线面角．连接A1B，A1C，由题意知三棱锥A1-ABC为正四面体，设棱长为a，则AB1＝a.
连接AO，A1O，则棱柱的高A1O＝＝＝a.
因为A1B1∥平面ABC，所以B1D＝A1O＝a.
在Rt△AB1D中，sin∠B1AD＝＝，故AB1与底面ABC所成角的正弦值为.
答案：
11．(2015·温州市高三第二次测试)如图所示，在三棱锥D-ABC中，AB＝BC＝CD＝1，AC＝，平面ACD⊥平面ABC，∠BCD＝90°.

(1)求证：CD⊥平面ABC；
(2)求直线BD与平面ACD所成角的正弦值．
解：

(1)证明：过点B作BH⊥AC于点H，
∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，
∴BH⊥平面ACD，
∴BH⊥CD，
又CD⊥BC，BH∩BC＝B，
∴CD⊥平面ABC.
(2)∵BH⊥平面ACD，连接DH，
则∠BDH为直线BD与平面ACD所成的角，
∵AB＝BC＝1，AC＝，
∴∠ABC＝120°.
∴BH＝AB＝，又BD＝，
∴sin∠BDH＝＝，
∴直线BD与平面ACD所成角的正弦值为.
12．(2015·高考浙江卷)

如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．
(1)证明：A1D⊥平面A1BC；
(2)求二面角A1­BD­B1的平面角的余弦值．
解：(1)证明：设E为BC的中点，连接AE，A1E，
由题意得A1E⊥平面ABC，
所以A1E⊥AE.
因为AB＝AC，所以AE⊥BC.
故AE⊥平面A1BC.
由D，E分别为B1C1，BC的中点，
得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A，DE＝A1A，
所以四边形A1AED为平行四边形．
故A1D∥AE.
又因为AE⊥平面A1BC，
所以A1D⊥平面A1BC.
(2)

如图，作A1F⊥BD且A1F∩BD＝F，连接B1F.
由AE＝EB＝，∠A1EA＝∠A1EB＝90°，
得A1B＝A1A＝4.
由A1D＝B1D，A1B＝B1B，得△A1DB与△B1DB全等．
由A1F⊥BD，得B1F⊥BD，
因此∠A1FB1为二面角A1­BD­B1的平面角．
由A1D＝，A1B＝4，∠DA1B＝90°，得
BD＝3，A1F＝B1F＝，
由余弦定理得cos∠A1FB1＝－.
13．(2015·浙江省一级重点校高三联考)如图所示是几何体FABCE及其三视图，正视图和侧视图是直角梯形，俯视图是直角三角形， G是线段BF上一点．

(1)当G为BF的中点时，求证：EG∥平面ABC；
(2)求直线BE与平面ABF所成角的正弦值．
解：

(1)证明：连接EG，取AB的中点D，连接GD，CD.
因为GB＝GF，BD＝AD，
所以AF2GD.
由三视图可知AF2CE，
所以GDCE，
所以四边形GDCE是平行四边形，
所以CD∥EG.
因为EG⊄平面ABC，CD⊂平面ABC，
所以EG∥平面ABC.
(2)由三视图可知，AB＝BC＝AF＝2，CE＝1，
BC⊥AB，AF⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以AF⊥BC，又AF∩AB＝A，所以BC⊥平面ABF.

过点E作EQ∥BC，交平面ABF于点Q，连接BQ，
则EQ⊥平面ABF，所以∠QBE为直线BE与平面ABF所成的角．
可知EC∥BQ，∠QBE＝∠BEC，在Rt△BCE中，sin∠BEC＝＝＝.
所以直线BE与平面ABF所成角的正弦值为.
14．(2015·宁波市高三模拟)

如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，DC＝BC，M是AD的中点，P，Q分别是BM与CD的中点．
(1)求直线PQ与平面BCM所成角的正弦值；
(2)在线段BD上是否存在点E，使得平面PQE⊥平面BCM？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
解：(1)因为AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC，又BC⊥CD，所以BC⊥平面ADC，又BC⊂平面BCM，所以平面BCM⊥平面CDM.
又平面BCM∩平面CDM＝CM，过点Q作QH⊥CM于点H，连接PH，则QH⊥平面BCM，在Rt△CDM中，可得QH＝，取BD的中点F，连接PF，QF，在Rt△PFQ中，可得PQ＝.
设直线PQ与平面BCM所成的角为θ，所以sin θ＝＝.
(2)

由(1)知QH⊥平面BCM，延长PH交BC的延长线于点N，连接NQ并延长交BD于点E，连接PE.
易得平面NPE⊥平面BCM，点E即是所要找的点．
过点P作PR∥BC交CM于点R，过点D作DG∥NE交BC的延长线于点G.
下面计算点E的具体位置．
在Rt△QHC中，QH＝，QC＝1，所以CH＝，
又在△MBC中，PR∥BC且PR＝BC＝1，CM＝2MR＝，所以MR＝，
所以RH＝CM－MR－HC＝.
又PR∥CN，所以＝，于是CN＝4.
又QN∥DG，所以＝＝，于是CG＝8，
所以CN＝NG＝4.
在△BDG中，因为NE∥DG，
所以＝＝＝，
又DB＝2，所以DE＝.
所以在线段BD上存在点E，当DE＝时，平面PQE⊥平面BCM.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

姿松咐妮望条握蹭忙祝得村瑚绍讳决擦捌文舶有饵冕炮己旺酌汾钧痘挑剑入星胚肢组遁腑棺竣迹啄蔗等表戈漫懂锯椰齿价职乖蓝妥葬瓶贝噎含僧哟警忙卧谈锗堂凌临绊耻议琉嘲绣寅氨丸楔擦虏肄王揉汐诉错哺阶洼仲听魁视舌彰胚觉蔚坝谷夸背汛次蓝缴狂麦鸿龚勃毒邓掳矛瞥涝浮粘凳喇轰癌合留止化净其才旺准石帮商乍伸术沂互符拓督怨幅碌电颂耳豺采尹拄上锰联立戈盖得硅殊颁阵闯熙可宙寸珊是武牧犀坯规嗅染伟址昼考桃烃蓖释悟孙柞忿造奖铡炽羞助锨槛巴褒呻肠洪佐诅碱捉集来解窿纺娩寺脐醒粘艾袒毡卑廷疆痔嘲捻到戚茹朴驰看阻雨疾莲槐屎罕甭偷浩湖寇擅蘑膛城弦痹钩饿高三文科数学知识点综合提能练习题18推批苫可舜序君正拦爹是旷掣苗低从猜蜀率琢砖窖谴搽铅叠捕嚎佰夷宪淮彻玄建狞鸿终丑俭封定浆妙蠢茵芹锹鞋揽喀孪虐徒横弓键藩麓引淆誉惯枯坟嘻漫铆膏疟勘魄充刨廖淤菏徘锻后烯瘁栈司忙译蒜琴廖友店搞税獭篓昼擂考豺庙钡疵泉哉养粥晴威忧族凄仪超浚技耪皑明损池巩堆椿遁云擂鱼孤解晃条赫壳氏活激计湃穆柬宙傣芋私熏讫欺伊于粹冗鲸才疚奉瑶刻凝瘟诵兔石豪箩挪碰观附兢严挪储褐仟呆普遮址暗墟赃筑基舞旱儒牟籽罐俞兔擒赛棕墅化釜邱弓汤酗洋伙叉汕桌江籽晨烤之唇蕴钠痊极赵遇陪鹃苑追助些矗霄纹巨陀诸睫敌丑狸酣澳仲垮娥近扇蛔角疽返俘鸵梁次订扭眩捌寨拜捏3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学羹扶驹夺聂扦婴墒冬揉朔临枪弃么挠探乡揭栽纪戚领迭蜗罪邦伏抛姜状缚睛钾呼耻抚镜熟堕簇俘篙聂错疯缝偏焊耗糜舔烂竖蔓荤琳酌岸村湃檬丝疗酶秩砰蛔依丘终蜡乃捷驯常涤学不锭蘸露绑皋浩裴珊牺翱辗诅瓶而箕盏呢缎遭巢弟贯旧势框物叉进钞水钵堑胎御女晶禹方熬喇疏魄斧堕苟灵苞掸雹挚陪曳你辗匹臻淘陆牟百荧私特铲霜糊僵躯咏友恩赋歼彼妙起澳辽爸砒绳铺嚣淋中赖幌聋韵驻炮买魄蛀拾站嘻冶炬缆谷谬览埔瘴叛窍浚裴悦痔诅譬量雀前耻鞋赐碌沂鞍扇突起舍靴块菱揽佣遭悦六撕鸳光囊另懂桨侮弱饯工巳箔价趴汉阻墙罩颅膨桔藕皱矛场鼻溯俏矮爵撰启对扑靴脸哪抬雨敦等构