2015届高考数学第一轮基础巩固训练题32.doc

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第七篇　立体几何
第1讲　简单几何体的结构及其三视图和直观图
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．一个棱柱是正四棱柱的条件是 (　　)．
A．底面是正方形，有两个侧面是矩形
B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
C．底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直
D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱
解析　A，B两选项中侧棱与底面不一定垂直，D选项中底面四边形不一定为正方形，故选C.
答案　C
2．(2014·福州模拟)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为 (　　)．

解析　给几何体的各顶点标上字母，如图1.A，E在侧投影面上的投影重合， C，G在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图2所示，故正确选项为B(而不是A)．

答案　B
3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 (　　)．

A．①②　 B．①③　
C．①④　 D．②④
解析　正方体的三视图都是正方形，不合题意；圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，符合题意；三棱台的主视图和左视图、俯视图各不相同，不合题意；正四棱锥的主视图和左视图都是三角形，而俯视图是正方形，符合题意，所以②④正确．
答案　D
4．(2013·宝鸡模拟)如图，某简单几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是 (　　)．

解析　若该几何体的俯视是选项A，则其体积为1，不满足题意；由主视图、左视图可知俯视图不可能是B项；若该几何体的俯视图是选项C，则其体积为，不符合题意；若该几何体的俯视图是选项D，则其体积为，满足题意．
答案　D
5.已知三棱锥的俯视图与左视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，左视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的主视图可能为(　　)．

解析　简单几何体的主视图和左视图的“高平齐”，故主视图的高一定是2，主视图和俯视图“长对正”，故主视图的底面边长为2，根据左视图中的直角说明这个简单几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综合以上可知，这个简单几何体的主视图可能是C.
答案　C
二、填空题
6．利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是________(写出所有正确的序号)．
①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形．
解析　①正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知②正确；但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直，故③错；④正确；⑤中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，故错误．
答案　①②④
7．一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．
解析　

显然，三棱锥、圆锥的主视图可以是三角形；三棱柱的主视图也可以是三角形(把三棱柱放倒，使一侧面贴在地面上，并让其底面面对我们，如图所示)；只要形状合适、摆放适当(如一个侧面正对着观察者的正四棱锥)，四棱锥的主视图也可以是三角形(当然，不是任意摆放的四棱锥的主视图都是三角形)，即主视图为三角形的几何体完全有可能是四棱锥；不论四棱柱、圆柱如何摆放，主视图都不可能是三角形(可以验证，随意摆放的任意四棱柱的主视图都是四边形，圆柱的主视图可以是圆或四边形)．综上所述，应填①②③⑤.
答案　①②③⑤
8. 如图，用斜二测画法得到四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为，则原四边形的面积是________．

解析　作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，则AE＝BF＝ADcos 45°＝1，∴CD＝EF＝3.将原图复原(如图)，则原四边形应为直角梯形，∠A＝90°，AB＝5，CD＝3，AD＝2，∴ S四边形ABCD＝×(5＋3)×2＝8.
答案　8
三、解答题
9．如图所示的是一个零件的直观图，试画出这个几何体的三视图．
解　这个几何体的三视图如图．

10．如图是一个几何体的主视图和俯视图．
(1)试判断该几何体是什么几何体；
(2)画出其左视图，并求该平面图形的面积；
(3)求出该几何体的体积．
解　(1)正六棱锥．
(2)其左视图如图：其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC＝a，AD的长是正六棱锥的高，即AD＝a，

∴该平面图形的面积S＝ a·a＝a2.
(3)V＝×6×a2×a＝a3.
能力提升题组
　　　　　　　　　(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 (　　)．
A．球　 B．三棱锥　
C．正方体　 D．圆柱
解析　球的主视图、左视图和俯视图均为圆，且形状相同、大小相等；三棱锥的主视图、左视图和俯视图可以为全等的三角形；正方体的主视图、左视图和俯视图可以为形状相同、大小相等的正方形；圆柱的主视图、左视图均为矩形，俯视图为圆．
答案　D
2．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于 (　　)．
A.a2　 B．2a2　
C．a2　 D.a2
解析　根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积等于＝2a2.
答案　B
二、填空题
3. 如图所示，E，F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________(填序号)．

解析　由正投影的定义，四边形BFD1E在面AA1D1D与面BB1C1C上的正投影是图③；其在面ABB1A1与面DCC1D1上的正投影是图②；其在面ABCD与面A1B1C1D1上的正投影也是②，故①④错误．
答案　②③
三、解答题
4．已知正三棱锥V－ABC的主视图、左视图和俯视图如图所示．

(1)画出该三棱锥的直观图；
(2)求出左视图的面积．
解　(1)直观图如图所示：

(2)根据三视图间的关系可得BC＝2，
∴左视图中
VA＝＝2，
∴S△VBC＝×2×2＝6.

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