2015届高考数学第一轮基础巩固训练题28.doc

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第5讲　简单几何体的面积与体积
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2013·广东卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是(　　)．

A.　　　　　 B.　　
C.　　　　　 D．1
解析　由三视图可知该三棱锥的底面是边长为1的等腰直角三角形，高为2.由锥体的体积公式可知V＝××1×1×2＝.
答案　B
2．(2013·湖南卷)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，左视图是一个面积为的矩形，则该正方体的主视图的面积等于(　　)．
A.　 B．1　
C．　 D.
解析　易知正方体是水平放置的，又左视图是面积为的矩形．∴正方体的对角面平行于投影面，此时主视图和左视图相同，面积为.
答案　D
3. (2014·南昌模拟)如图所示，一个简单几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为(　　)．

A．4π　　　　 B.π　　
C．3π　　　　 D．2π
解析　由三视图可知，该几何体是一个圆柱，S表＝2×π×2＋π×1×1＝.
答案　B
4. 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　　)．

A.　 B.　
C．　 D.

解析　如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝，∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，∴V＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝×××2＋×1＝.故选A.
答案　A
5．(2012·新课标全国卷)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为 (　　)．
A.π　 B．4π　
C．4π　 D．6π
解析　

如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝，O′M＝1，∴OM＝＝，即球的半径为，∴V＝π()3＝4π.
答案　B
二、填空题
6．(2013·辽宁卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．

解析　由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，所以几何体的体积为16π－16.
答案　16π－16
7．(2013·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________．
解析　设正方体的棱长为a，外接球的半径为R，由题意知πR3＝，∴R3＝，而R＝.
由于3a2＝4R2，∴a2＝R2＝×2＝3，∴a＝.
答案　
8．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________．
解析　设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，则∴
∴h＝＝＝.
∴圆锥的体积V＝π·12·＝π.
答案　π
三、解答题
9．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)：

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．
解　

(1)这个几何体的直观图如图所示．
(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．
由PA1＝PD1＝ cm，A1D1＝AD＝2 cm，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积
S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝22＋4(cm2)，
体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．
10．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．

解　如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径BC的长为r，则容器内水的体积为
V＝V圆锥－V球＝π(r)2·3r－
πr3＝πr3，
将球取出后，设容器中水的深度为h，
则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积为
V′＝π2h＝πh3，由V＝V′，得h＝r.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为 (　　)．
A．3　 B．2　
C．　 D．1

解析　由题意知，如图所示，在棱锥S－ABC中，△SAC，△SBC都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB＝，SC＝4，所以SA＝SB＝2，AC＝BC＝2，作BD⊥SC于D点，连接AD，易证SC⊥平面ABD，因此V＝××()2×4＝.
答案　C
2. (2013·西安模拟)具有如图所示的主视图和俯视图的几何体中，体积最大的几何体的表面积为 (　　)．

A．3　　　　 B．7＋3
C.π　　　　 D．14
解析　由主视图和俯视图可知，该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱，或水平放置的圆柱．由图可知四棱柱的体积最大．四棱柱的高为1，底面边长分别为1,3，所以表面积为2(1×3＋1×1＋3×1)＝14.
答案　D
二、填空题
3. 如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2 cm、高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.

解析　根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为＝13 (cm)．

答案　13
三、解答题
4．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．

(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)求几何体D－ABC的体积．
(1)证明　在图中，可得AC＝BC＝2，从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，又平面ADC⊥平面ABC，
平面ADC∩平面ABC＝AC，BC平面ABC，
∴BC⊥平面ACD.
(2)解　由(1)可知，BC为三棱锥B－ACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，∴VB－ACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝，由等体积性可知，几何体D－ABC的体积为.

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