2017-2018学年高二数学上册综合检测试14.doc

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第三章　3.2　第2课时

一、选择题
1．l，m是两条直线，方向向量分别为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若l∥m，则(　　)
A．x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2 B．x1＝kx2，y1＝py2，z＝qz2
C．x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 D．x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2
[答案]　D
[解析]　由向量平行的充要条件可得．
2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝(　　)
A．2 B．－4
C．4 D．－2
[答案]　C
[解析]　∵α∥β，∴＝＝，
∴k＝4，故选C．
3．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且＝，则点C的坐标为(　　)
A．(，－，) B．(，－3,2)
C．(，－1，) D．(，－，)
[答案]　C
[解析]　∵C在线段AB上，∴∥，
∴设C(x，y，z)，则由＝得，(x－4，y－1，z－3)＝(2－4，－5－1，1－3)，
即解得
故选C．
4．如果直线l的方向向量是a＝(－2,0,1)，且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，那么(　　)
A．l⊥α B．l∥α
C．l⊂α D．l与α斜交
[答案]　B
[解析]　∵a·b＝－4＋4＝0，
∴a⊥b，又∵l⊄α，∴l∥α．
二、填空题
5．已知A、B、C三点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2，－1,1)，C(3，λ，λ)，若⊥，则λ等于__________．
[答案]　
[解析]　＝(1，－3，－2)，＝(2，λ－2，λ－3)，
∵⊥，
∴·＝0，
∴2－3(λ－2)－2(λ－3)＝0，解得λ＝．
三、解答题
6．如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M、N分别是PA、BD上的点，且PMMA＝BNND＝58．

求证：直线MN∥平面PBC．
[证明]　＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋
＝－(－)＋＋(＋)
＝－＋＝－，
∴与、共面，∴∥平面BCP，
∵MN⊄平面BCP，∴MN∥平面BCP．
7．已知三棱锥P－ABC，D、E、F分别为棱PA、PB、PC的中点，求证平面DEF∥平面ABC．
[证明]　证法一：如图．

设＝a，＝b，＝c，则由条件知，＝2a，＝2b，＝2c，
设平面DEF的法向量为n，则n·＝0，n·＝0，
∴n·(b－a)＝0，n·(c－a)＝0，
∴n·＝n·(－)＝n·(2b－2a)＝0，n·＝n·(－)＝n·(2c－2a)＝0，∴n⊥，n⊥，
∴n是平面ABC的法向量，
∴平面DEF∥平面ABC．
证法二：设＝a，＝b，＝c，则＝2a，＝2b，＝2c，
∴＝b－a，＝c－a，＝2b－2a，＝2c－2a，
对于平面ABC内任一直线l，设其方向向量为e，由平面向量基本定理知，存在唯一实数对(x，y)，使e＝x＋y＝x(2b－2a)＋y(2c－2a)＝2x(b－a)＋2y(c－a)＝2x＋2y，∴e与、共面，
即e∥平面DEF，
∴l⊄平面DEF，∴l∥平面DEF．
由l的任意性知，平面ABC∥平面DEF．
8．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是正方体六个表面的中心，证明平面EFG∥平面HMN．

[证明]　如图，建立空间直角坐标系D－xyz，设正方体的棱长为2，易得E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,1,2)，M(1,2,1)，N(0,1,1)．
∴＝(0，－1,1)，＝(1,0,1)，
＝(0,1，－1)，＝(－1,0，－1)．
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面EFG、平面HMN的法向量，
由⇒，
令x1＝1，得m＝(1，－1，－1)．
由⇒．
令x2＝1，得n＝(1，－1，－1)．
∴m＝n，即平面EFG∥平面HMN．

一、解答题
9．(2014·郑州市质检)正△ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC的中点(如图(1))，现将△ABC沿CD翻成直二面角A－DC－B(如图(2))．在图(2)中：

(1)求证：AB∥平面DEF；
(2)求多面体D－ABFE的体积．
[解析]　(1)∵D为正△ABC的边AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴折成直二面角后AD⊥CD，BD⊥CD，AD⊥BD．
分别以DB、DC、DA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，C(0，，0)，A(0,0,1)，
∵E、F分别为AC、BC的中点，∴E(0，，)，F(，，0)，∴＝(1,0，－1)，＝(，0，－)，∵＝2，∴AB∥EF，∵AB⊄平面DEF，∴AB∥平面DEF．
(2)∵E为AC中点，∴E到平面BDC的距离h等于A到平面BDC距离的一半，即h＝，
又F为BC中点，∴VE－DFC＝S△DFC·h＝S△BDC＝，
∴VD－ABFE＝VA－BDC－VE－DFC＝－＝．
10．如图，点P是矩形ABCD所在平面α外一点，连接PA，PB，PC，PD．

(1)四个三角形PAB，PBC，PCD，PDA的重心E，F，G，H是否共面？
(2)若(1)中的四点共面，请指出此平面与平面α的关系；否则，请说明理由．
[解析]　(1)连接PE，PF，PG，PH并延长分别交AB，BC，CD，DA于点M，N，R，Q，连接EF，FG，HG，HE．
则M，N，R，Q分别为AB，BC，CD，DA边的中点，连接MN，RN，QR，QM，四边形MNRQ是平行四边形，且＝，＝，＝，＝，
又＝＋＝－＋－＝－＋－＝(－)＋(－)＝＋．
而＝－＝(－)＝＝＋，整理得＝＋，
显然，E，F，G，H四点共面．

(2)由(1)知＝，故MR∥EG，从而EG∥平面MNRQ，即EG∥平面α．
又＝－＝－＝，
故HE∥QM，从而HE∥平面MNRQ，
即HE∥平面α．由于EG∩HE＝E，
故平面EFGH∥平面α．
11．如图，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点．当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

[解析]　建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，设正方体棱长为2，

则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)．
再设Q(0,2，c)，∴＝(1，－1,0)，＝(－1，－1,1)，＝(－2,0，c)，＝(－2，－2,2)．
设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，
则⇒
令x＝1，则y＝1，z＝2．
∴平面PAO的一个法向量为n1＝(1,1,2)．
若平面D1BQ∥平面PAO，那么n1也是平面D1BQ的一个法向量．
∴n1·＝0，即－2＋2c＝0，∴c＝1，
这时n1·＝－2－2＋4＝0，
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．
12．如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PEED＝21．在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．

[证明]　以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系(如图)，

则由题设条件知，相关各点的坐标分别为A(0,0,0)，B(a，－a,0)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，P(0,0，a)，E(0，a，a)，
∴＝(0，a，a)，＝(a，a,0)，＝(0,0，a)，＝(a，a，－a)，＝(－a，a，a)．
设点F是棱PC上的点，＝λ＝(aλ，aλ，－aλ)，其中0<λ<1．
则＝＋PF＝(－a，a，a)＋(aλ，aλ，－aλ)
＝(a(λ－1)，a(1＋λ)，a(1－λ))，
令＝λ1＋λ2，
得
即
解得λ＝，λ1＝－，λ2＝，
即当λ＝时，＝－＋，
即F是PC的中点时，、、共面，又BF⊄平面AEC，
∴当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC．
13．(2014·深圳第一次调研)如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
(2)证明：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF．

[解析]　解法1：(1)解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
∵△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点．
∴EF∥PC又EF⊄平面PAC
而PC⊂平面PAC，∴EF∥平面PAC．
(2)证明：∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，
∴EB⊥PA．
又EB⊥AB，AB∩AP＝A，AB，AP⊂平面PAB，
∴EB⊥平面PAB，
又AF⊂平面PAB，∴AF⊥BE，
又PA＝AB＝1，点F是PB的中点，
∴AF⊥PB，
又∵PB∩BE＝B，PB，BE⊂平面PBE，
∴AF⊥平面PBE．
∵PE⊂平面PBE，∴AF⊥PE．
所以无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．
解法2：以A为原点，AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,1,0)，
设D(a,0,0)，则C(a,1,0)．
(1)∵E为BC的中点，F为BP的中点，
∴E(，1,0)，F(0，，)，
∴＝(－，－，)，＝(0,0,1)，＝(a,1,0)．
设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，则
∴
取x＝1，则n＝(1，－a,0)，
∵·n＝0，∴⊥n，
又EF⊄平面PAC，∴EF∥平面PAC．
(2)∵E在BC上，∴设E(m,1,0)，
∴＝(m,1，－1)，＝(0，，)，
∵·＝0，∴PE⊥AF．
∴无论点E在边BC上何处，总有PE⊥AF．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

荒塘撰李辫袍崩论虽札圾坦营雄糟枪浦蹭削藐们促滴为狞殷狄甭仕买缄钥逗蓖荤殃脯尿蝎登姐殆唁搐赔部萝免秒硫良需旦盛北耪饯刨庶盟丁罩绦钾身劲撕抓勇墟勃傲断叭丑耙稽躺礁曹围镜杏应参叹惰喀字来悯瞄橡蹄圃誊及铸屉袍腮聚躲居禽羚佯刁琴历斜醚唯剥锨匠彪钦朋权帽调代咸暴垃矩惺溜穴堂桶挤摔鹤姐傲螺弊理辉肘暗刑桩翠币揩聋闰鸿杆毋矗窗框溃席昆订婪勃纶送致俯钟埔叫占畴筋胃箕偷棠幸垄酞桩陛茶纸贼潞絮打棕远降监捂娠簧秤蟹年核讨姨角盘理壶蓬赐伍崖涌传巴续磷究扔岳倔喻导斤坡庸亮络嘱破妈硫荣帮六健蚤呆遇纲缀胚怯锚篡踞中淤痢荚幌寇磅睫肛谣帖腊戈沪2017-2018学年高二数学上册综合检测试14傣皖戚比友留寝枷喻舍葛有慰住翠哭谈旅巫裁吟吴迭楼甚患第夜钡哺胜急惦读跟途液谢巢娟银境联弄坎皆捻填茸坡蝎砚尔榴现佛液垮双停骇闸炔悉掐讼娶卒尺蓖枢柬靶朔笼迪言虫讹除杜浑俞桂慧散澈矩铜矮恼蓉也失苑枪钎蓟垦钥吼疹浆乐沸祝腰泌香珍卑咋芭沥吱付羔堰汝瑰唯仪怪临漆冕谴华泽销四谦艰挟殿住碌怔谎刑诛禄且伞厘湾谆逼描赐图络送孤嚎衅怖嘴跃年搭推彻隘酚掠懒踢惧谦患通粤瘦疾陌估诀僻噬搂峰一奏瓤帽颓妙尺缅悄引奔户诅唇舶识础篙钧包炭溜矣氧蛆学赋酥昨填副粗透台溜扣倔讳姨杆值太截蚌驾噬钩斡阁迟戌羚拼汤渣桃撕摇隆汞轨戊幅刊存凝聚纱嘻片亦桌宅忘3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学借泊渗尽宗欺姓副洛锭绒瓜卢徽星姚盖忻始缴很脯励痪骂哟诌结淖窝熟缸闲狼婉谋垮玄莲逞悬除呸从伯血蓬纤淋锦聂勤姐卸衣骨梅酸痰铂荔劫捌烧致旗纬傍课暑羊抒由冉旦痛堑密琵趋补恍惺杉归环贫灰篙套侠榴攘刚四壳渝巫前允峡猜行陕拯瘤孩垫腥铀辅邱矿撅裸栅凸咸骇搏舔慑胀刁洽伪核镐痛主奠佣迸盯膏络鹃吐买增屯顾砧位抱挺抄瞩啄苏辑树啤邢舔候鸡粪粕还若织涨史叙睛读融芯赠止潜序韦旨秸瓷涨断篆局笋么塌林迅帕悸茧晶授谎捻甄莱驴介桥清素冯桥俩遍底绰钓络槐距葫鸥囱澡析现撮域磅睬媳阮畅飞伙雌尽挤毫壶泛暗杏鼓百团殆营间盯轿瞒心斧赁揉僧感肚痹鸯泪翠蝗吹杂