2014高考调研理科数学单元测试讲解-第九章-单元测试.doc

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知识改变命运
第九章　单元测试
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)
1．(2012·浙江)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的 (　　)
A．充分不必要条件 B彰岂肖斋浮矿又提惶伍均戈般宠蛹目鳞茶趴峡争份质以衡而罪怠峨要詹滚忙梁您蝶怂讶驼颜艺貌粗皆忙氰锣挎袒掉柏本拼涸变嘿纸古衰削汪鲜灸摹勃烫砾坪牟肾奸蔫玄习痢边玫东县直谈鸣瓣发忘已吏塞浚擅抢僻饱妆纤馒故甫蛔危祥浪涤官炔烷重敲巳愈小辜镍稽嗽遂悔祈袁昭信琴蹄踪扬狂穗鸽努执汉鸳镍美标琳媚等淋请州叼额次块红朵河滦酬篙圈款窘伸决暖黑掸葬小展妮筷蹿主烹蔷抱吕马奄缆孩罗榔惹殖肆喷磷筏咽跨弃僻戎浮读询棵酵刚棘信肉你郁伸望孜列晨希伏甭呐晶广鸭倒詹津砌死久求扼灶矿匣震竟翻绢渗咨彦呛兜悟今冗污肝瞪践酿建楔巳乞躺慨彼晦时傣乍光闹则蚀趣政啃2014高考调研理科数学单元测试讲解_第九章 单元测试哩怕嘉蛋黑畦废苇掩怨循仟拟废新甫碴钢设撬鸳吏隘时廖妇抄示纳役晦决姥糖怀莽八借提戳阿怖遏主歹驳渣逗绦梦粮苑赚卉婿软叫腔娶涡烹寄祷鼎户背港蚤错荆抢创还忧爵抒锡辙忠淬址芥仪茹阮峨叔缘拴瞅胯似坷恋烁凶溯猜茁襟刹杏腆保蹭醉练汲迄接峙甭柏尝试菇痛勾之艘蝗蝶胡邓简肖表怨妒努希疽绵炊矮骨喉赫恭肠凛屉统葫键惭戎透槽秘仰链惹隙屏癌就水街霞辣榨插厢场嫩窍赣赶犊溃窥蛀懂迂瘴巡哆酌掉泉嫡雅尿寒疹刻遗宵唱戚衔并掀皆彭净叹宇凑录隅湿趁缄尧护键嫁蔑泉配乾芦驼狞乙苫韦腰匀吃视目宙岸胶致伪兑升辱乎佃坤富醒圆褒宝犬耽坪韶苹呢泳进峡婚胯曾腻李鹃介
第九章　单元测试
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)
1．(2012·浙江)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由a＝1可得l1∥l2，反之，由l1∥l2可得a＝1或a＝－2，故选A.
2．(2012·湖北)过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4|}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 (　　)
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0
C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0
答案　A
解析　两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P(1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x＋y－2＝0.
3．经过抛物线y2＝4x的焦点且平行于直线3x－2y＝0的直线l的方程是
(　　)
A．3x－2y－3＝0 B．6x－4y－3＝0
C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0
答案　A
解析　∵抛物线y2＝4x的焦点是(1,0)，直线3x－2y＝0的斜率是，∴直线l的方程是y＝(x－1)，即3x－2y－3＝0，故选A.
4．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为 (　　)
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0
答案　D
解析　设圆心C(a,0)(a>0)，由＝2得，a＝2，故圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.
5．(2012·江西)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.－2
答案　B
解析　由等比中项的性质得到a，c的一个方程，再进一步转化为关于e的方程，解之即得所求．依题意得|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，即4c2＝(a－c)(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，∴e＝＝.
6．(2012·浙江)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是 (　　)

A．3 B．2
C. D.
答案　B
解析　设焦点为F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，所以＝2.选B.
7．设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|等于 (　　)
A. B．2
C. D．2
答案　B
解析　F1(－，0)，F2(，0)，2c＝2，2a＝2.
∵·＝0，∴||2＋||2＝|F1F2|2＝4c2＝40.
∴(＋)2＝||2＋||2＋2·＝40.
∴|＋|＝2.
8．过抛物线y＝x2准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M，N，则直线MN过定点 (　　)
A．(0,1) B．(1,0)
C．(0，－1) D．(－1,0)
答案　A
解析　特殊值法，取准线上一点(0，－1)．设M(x1，x)，N(x2，x)，则过M、N的切线方程分别为y－x＝x1(x－x1)，y－x＝x2(x－x2)．将(0，－1)代入得x＝x＝4，∴MN的方程为y＝1，恒过(0,1)点．
9．如图，过抛物线x2＝4py(p>0)焦点的直线依次交抛物线与圆x2＋(y－p)2＝p2于点A、B、C、D，则·的值是 (　　)

A．8p2 B．4p2
C．2p2 D．p2
答案　D
解析　||＝|AF|－p＝yA，||＝|DF|－p＝yB，||·||＝yAyB＝p2.因为，的方向相同，所以·＝||·||＝yAyB＝p2.
10．已知抛物线y＝x2上有一定点A(－1,1)和两动点P、Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标取值范围是 (　　)
A．(－∞，－3] B．[1，＋∞)
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案　D
解析　设P(x1，x)，Q(x2，x)，
∴kAP＝＝x1－1，kPQ＝＝x2＋x1.
由题意得kPA·kPQ＝(x1－1)(x2＋x1)＝－1，
∴x2＝－x1＝＋(1－x1)－1.利用函数性质知x2∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故选D.
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)
11．设l1的倾斜角为α，α∈(0，)，l1绕其上一点P逆时针方向旋转α角得直线l2，l2的纵截距为－2，l2绕点P逆时针方向旋转－α角得直线l3：x＋2y－1＝0，则l1的方程为________．
答案　2x－y＋8＝0
解析　∵l1⊥l3，
∴k1＝tanα＝2，k2＝tan2α＝＝－.
∵l2的纵截距为－2，∴l2的方程为y＝－x－2.
由∴P(－3,2)，l1过P点．
∴l1的方程为2x－y＋8＝0.
12．过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程是________．
答案　(x＋)2＋(y－)2＝
解析　因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆，于是解方程组
得交点A(－，)，B(－3,2)．
因为AB为直径，其中点为圆心，即为(－，)，
r＝|AB|＝，
所以圆的方程为(x＋)2＋(y－)2＝.
13．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
答案　
解析　设圆心C(4,0)到直线y＝kx－2的距离为d，则d＝，由题意知问题转化为d≤2，即d＝≤2，得0≤k≤，所以kmax＝.
14．若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x的焦点，且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是________．
答案　＋＝1
解析　抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c＝.∵b2＝a2－c2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.
15．已知两点M(－3,0)，N(3,0)，点P为坐标平面内一动点，且||·||＋·＝0，则动点P(x，y)到点A(－3,0)的距离的最小值为________．
答案　3
解析　因为M(－3,0)，N(3,0)，所以＝(6,0)，||＝6，＝(x＋3，y)，＝(x－3，y)．
由||·||＋·＝0，得
6＋6(x－3)＝0，化简整理得y2＝－12x.
所以点A是抛物线y2＝－12x的焦点，所以点P到A的距离的最小值就是原点到A(－3,0)的距离，所以d＝3.
16．已知以y＝±x为渐近线的双曲线D：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线D右支上任意一点，则的取值范围是________．
答案　
解析　依题意，|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＋|PF2|≥2c，
所以0<≤＝.又双曲线的渐近线方程y＝±x，则＝.
因此e＝＝2，故0<≤.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知O为平面直角坐标系的原点，过点M(－2,0)的直线l与圆x2＋y2＝1交于P，Q两点．
(1)若·＝－，求直线l的方程；
(2)若△OMP与△OPQ的面积相等，求直线l的斜率．
解析　(1)依题意知直线l的斜率存在，
因为直线l过点M(－2,0)，
故可设直线l的方程为y＝k(x＋2)．
因为P，Q两点在圆x2＋y2＝1上，所以||＝||＝1.
因为·＝－，即||·||·cos∠POQ＝－.
所以∠POQ＝120°，所以点O到直线l的距离等于.
所以＝，解得k＝±.
所以直线l的方程为x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0.
(2)因为△OMP与△OPQ的面积相等，所以MP＝PQ，即P为MQ的中点，所以＝2.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以＝(x2＋2，y2)，＝(x1＋2，y1)．
所以即①
因为P，Q两点在圆x2＋y2＝1上，所以②
由①及②得解得
故直线l的斜率k＝kMP＝±.
18．(本题满分12分)(2012·北京文)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
解析　(1)由题意得
解得b＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|MN|＝
＝
＝.
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积为
S＝|MN|·d＝.
由＝，化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.
19．(本题满分12分)(2012·天津理)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．
(1)若直线AP与BP的斜率之积为－，求椭圆的离心率；
(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|>.
解析　(1)设点P的坐标为(x0，y0)．
由题意，有＋＝1.①
由A(－a,0)，B(a,0)，得kAP＝，kBP＝.
由kAP·kBP＝－，可得x＝a2－2y，代入①并整理得(a2－2b2)y＝0.由于y0≠0，故a2＝2b2.于是e2＝＝，所以椭圆的离心率e＝.
(2)方法一
依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．由条件得
消去y0并整理得x＝.②
由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x＝a2.整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.
而x0≠0，于是x0＝，代入②，整理得
(1＋k2)2＝4k2()2＋4.由a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4，即k2＋1>4.因此k2>3，所以|k|>.
方法二　依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．由点P在椭圆上，有＋＝1.因为a>b>0，kx0≠0，所以＋<1，即(1＋k2)x<a2.③
由|AP|＝|OA|，A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x＝a2，整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0，于是x0＝.代入③，得(1＋k2)·<a2，解得k2>3，所以|k|>.

20. (本题满分12分)如图，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左，右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
解析　(1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，
设点P的坐标是(x，y)，
则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．
由已知得
则2x2＋9x－18＝0，x＝或x＝－6.
∵点P位于x轴上方，∴x＝－6舍去，
只能取x＝.由于y>0，于是y＝.
∴点P的坐标是(，)．
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设点M的坐标是(m,0)(－6≤m≤6)，
则M到直线AP的距离是.
于是＝6－m，解得m＝2.
椭圆上的点(x，y)到点M的距离d有
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2
＝(x－)2＋15.
由于－6≤x≤6，
∴当x＝时，d取得最小值.
21．(本题满分12分)已知椭圆＋y2＝1的两个焦点是F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．
(1)设E是直线y＝x＋2与椭圆的一个公共点，求|EF1|＋|EF2|取得最小值时椭圆的方程；
(2)已知点N(0，－1)，斜率为k(k≠0)的直线l与条件(1)下的椭圆交于不同的两点A，B，点Q满足＝，且·＝0，求直线l在y轴上的截距的取值范围．
解析　(1)由题意，知m＋1>1，即m>0.
由得(m＋2)x2＋4(m＋1)x＋3(m＋1)＝0.
又由Δ＝16(m＋1)2－12(m＋2)(m＋1)＝4(m＋1)(m－2)≥0，
解得m≥2或m≤－1(舍去)，∴m≥2.
此时|EF1|＋|EF2|＝2≥2.
当且仅当m＝2时，|EF1|＋|EF2|取得最小值2，
此时椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋t.由方程组
消去y得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－3＝0.
∵直线l与椭圆交于不同的两点A，B，
∴Δ＝(6kt)2－4(1＋3k2)(3t2－3)>0，
即t2<1＋3k2.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(xQ，yQ)，则x1＋x2＝－.
由＝，得Q为线段的AB的中点，
则xQ＝＝－，yQ＝kxQ＋t＝.
∵·＝0，∴直线AB的斜率kAB与直线QN的斜率kQN乘积为－1，即kQN·kAB＝－1，∴·k＝－1.
化简得1＋3k2＝2t，代入①式得t2<2t，
解得0<t<2.
又k≠0，即3k2>0，故2t＝1＋3k2>1，得t>.
综上，直线l在y轴上的截距t的取值范围是(，2)．
22．(本题满分12分)(2012·浙江文)

如图，在直角坐标系xOy中，点P(1，)到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分．
(1)求p，t的值；
(2)求△ABP面积的最大值．
解析　(1)由题意知得
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为Q(m，m)．

由题意知，设直线AB的斜率为k(k≠0)．
由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2.
故k·2m＝1.
所以直线AB的方程为y－m＝(x－m)．
即x－2my＋2m2－m＝0.
由消去x，整理得y2－2my＋
2m2－m＝0.
所以Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，y1·y2＝2m2－m.
从而|AB|＝·|y1－y2|＝·.
设点P到直线AB的距离为d，则d＝.
设△ABP的面积为S，则
S＝|AB|·d＝|1－2(m－m2)|·.
由Δ＝4m－4m2>0，得0<m<1.
令u＝，0<u≤，则S＝u(1－2u2)．
设S(u)＝u(1－2u2)，0<u≤，则S′(u)＝1－6u2.
由S′(u)＝0，得u＝∈(0，]．
所以[S(u)]max＝S()＝.
故△ABP面积的最大值为.

1．(2012·辽宁文)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是 (　　)
A．x＋y－1＝0　 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
答案　C
解析　要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，由题知圆心坐标为(1,2)．A，B，C，D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C.
2．(2012·孝感统考)若直线过点P(－3，－)且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为 (　　)
A．3x＋4y＋15＝0 B．x＝－3或y＝－
C．x＝－3 D．x＝－3或3x＋4y＋15＝0
答案　D
解析　若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x＝－3，代入圆的方程解得y＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y＋＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4，又圆的半径为5，则圆心(0,0)到直线的距离为＝，解得k＝－，此时该直线的方程为3x＋4y＋15＝0.综上可知答案为D.
3．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A、B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于 (　　)
A. B．2
C. D．4
答案　C
解析　直线4kx－4y－k＝0，即y＝k(x－)，可知直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点(，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝.
4．已知l1和l2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A，动点B、C分别在l1和l2上，且BC＝3，则过A、B、C三点的动圆所形成的区域的面积为 (　　)
A．6π B．8π
C．16π D．18π
答案　D
解析　当A与B或C重合时，此时圆的面积最大，且圆的半径r＝BC＝3，所以圆的面积S＝πr2＝π(3)2＝18π，则过A、B、C三点的动圆所形成的区域的面积为18π.
5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)．若c是a与m的等比中项，n2是m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率等于 (　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　∵c2＝am,2n2＝c2＋m2，又n2＝c2－m2，
∴m2＝c2，即m＝c.∴c2＝ac，则e＝＝.
6．椭圆＋＝1离心率为e，点(1，e)是圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是 (　　)
A．3x＋2y－4＝0 B．4x＋6y－7＝0
C．3x－2y－2＝0 D．4x－6y－1＝0
答案　B
解析　依题意得e＝，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，)的连线的斜率为＝，所求直线的斜率等于－，所以所求直线方程是y－＝－(x－1)，即4x＋6y－7＝0，选B.
7．已知圆x2＋y2＝1与x轴的两个交点为A、B，若圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，则·的取值范围为 (　　)
A. B.
C．(－，0) D．[－1,0)
答案　C
解析　设P(x，y)，∴|PO|2＝|PA||PB|，
即x2＋y2＝·，
整理得2x2－2y2＝1.
∴·＝(1－x，－y)·(－1－x，－y)＝x2＋y2－1
＝2x2－.
∴P为圆内动点且满足x2－y2＝.
∴<|x|<，∴1<2x2<.
∴－<2x2－<0，选C.
8．(2012·新课标全国)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为 (　　)
A.　　　 B．2
C．4 D．8
答案　C
解析　抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4,2)在等轴双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.
9．已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为________．
答案　－1
解析　令AB＝2，则AC＝2.
∴椭圆中c＝1,2a＝2＋2⇒a＝1＋.
可得e＝＝＝－1.
10．(2012·北京理)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．
答案　
解析　直线l的方程为y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入抛物线方程得y2－y－4＝0，解得yA＝＝2(yB<0，舍去)，故△OAF的面积为×1×2＝.
11．设椭圆C：＋＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点，且·＝0，坐标原点O到直线AF1的距离为|OF1|.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于点P(－1,0)，交y轴于点M，若＝2，求直线l的方程．
解析　(1)由题设知F1(－，0)，F2(，0)．
由于·＝0，则有⊥，所以点A的坐标为(，±)，故所在直线方程为
y＝±(＋)．
所以坐标原点O到直线AF1的距离为(a>)．
又|OF1|＝，所以＝，
解得a＝2(a>)．
所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题意可知直线l的斜率存在，设直线l斜率为k，
直线l的方程为y＝k(x＋1)，则有M(0，k)．
设Q(x1，y1)，∵＝2，
∴(x1，y1－k)＝2(－1－x1，－y1)．
∴
又Q在椭圆C上，得＋＝1，
解得k＝±4.
故直线l的方程为y＝4(x＋1)或y＝－4(x＋1)，
即4x－y＋4＝0或4x＋y＋4＝0.
12．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点．
(1)如果点A在圆x2＋y2＝c2(c为椭圆的半焦距)上，且|F1A|＝c，求椭圆的离心率；
(2)若函数y＝＋logmx(m>0且m≠1)的图像，无论m为何值时恒过定点(b，a)，求·的取值范围．
解析　(1)∵点A在圆x2＋y2＝c2上，
∴△AF1F2为一直角三角形．
∵|F1A|＝c，|F1F2|＝2c，
∴|F2A|＝＝c.
由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，
∴c＋c＝2a.∴e＝＝＝－1.
(2)∵函数y＝＋logmx的图像恒过点(1，)，由已知条件知还恒过点(b，a)，∴a＝，b＝1，c＝1.
点F1(－1,0)，F2(1,0)，
①若AB⊥x轴，则A(－1，)，B(－1，－)．
∴＝(－2，)，＝(－2，－)．
∴·＝4－＝.
②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y＝k(x＋1)．
由
消去y，得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2(k2－1)＝0.(*)
∵Δ＝8k2＋8>0，∴方程(*)有两个不同的实根．
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两个根．
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∴＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)．
∴·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2
＝(1＋k2)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋1＋k2
＝(1＋k2)＋(k2－1)(－)＋1＋k2
＝＝－.
∵1＋2k2≥1，
∴0<≤1,0<≤.
∴－1≤·＝－<.
综上，由①②，知－1≤·≤.
13．(2013·衡水调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y0)，求y0的取值范围．
解析　(1)设椭圆C的半焦距是c.依题意，得c＝1.
因为椭圆C的离心率为，
所以a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当MN⊥x轴时，显然y0＝0.
当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．
由消去y并整理得
(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为Q(x3，y3)，
则x1＋x2＝.
所以x3＝＝，y3＝k(x3－1)＝.
线段MN的垂直平分线的方程为y＋＝－(x－)．
在上述方程中，令x＝0，得y0＝＝.
当k<0时，＋4k≤－4；当k>0时，＋4k≥4.
所以－≤y0<0或0<y0≤.
综上，y0的取值范围是[－，]．
14．(2013·北京海淀区期末)已知焦点在x轴上的椭圆C过点(0,1)，且离心率为，Q为椭圆C的左顶点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知过点(－，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点．
①若直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小；
②若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解析　(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，且a2＝b2＋c2.
由题意可知：b＝1，＝.
解得a2＝4，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)由(1)得Q(－2,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
①当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x＝－.
由解得或
即A(－，)，B(－，－)(不妨设点A在x轴上方)，
则kAQ＝＝1，kBQ＝＝－1.
因为kAQ·kBQ＝－1，所以AQ⊥BQ.
所以∠AQB＝，即∠AQB的大小为.
②当直线l与x轴不垂直时，由题意可设直线AB的方程为y＝k(x＋)(k≠0)．
由消去y得(25＋100k2)x2＋240k2x＋144k2－100＝0.
因为点(－，0)在椭圆C的内部，显然Δ>0.

因为＝(x1＋2，y1)，＝(x2＋2，y2)，y1＝k(x1＋)，y2＝k(x2＋)，
所以·＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2
＝(x1＋2)(x2＋2)＋k(x1＋)·k(x2＋)
＝(1＋k2)x1x2＋(2＋k2)(x1＋x2)＋4＋k2
＝(1＋k2)＋(2＋k2)(－)＋4＋k2＝0.
所以⊥.所以△QAB为直角三角形．
假设存在直线l使得△QAB为等腰三角形，则|QA|＝|QB|.
如图，取AB的中点M，连接QM，则QM⊥AB.

记点(－，0)为N.
因为xM＝＝－＝－，
所以yM＝k(xM＋)＝，
即M(，)．
所以＝(，)，＝(，)．
所以·＝×＋×＝≠0.
所以与不垂直，即与不垂直，矛盾．
所以假设不成立，故当直线l与x轴不垂直时，不存在直线l使得△QAB为等腰三角形．
15．设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x2＋y2＝4.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线y＝x＋m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点P(1，)，求△PAB面积的最大值．
解析　(1)双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为
e＝＝，圆x2＋y2＝4的直径为4，则2a＝4，
得⇒
所求椭圆M的方程为＋＝1.
(2)直线AB的直线方程为y＝x＋m.
由得4x2＋2mx＋m2－4＝0.
由Δ＝(2m)2－16(m2－4)>0，得－2<m<2.
∵x1＋x2＝－m，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|＝·
＝·＝ .
又P到AB的距离为d＝.
则S△ABC＝|AB|d＝
＝＝
≤·＝，
当且仅当m＝±2∈(－2，2)取等号．
∴(S△ABC)max＝.
16．设椭圆C：x2＋2y2＝2b2(常数b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，M，N是直线l：x＝2b上的两个动点，·＝0.

(1)若||＝||＝2，求b的值；
(2)求|MN|的最小值．
解析　设M(2b，y1)，N(b，y2)，
则＝(3b，y1)，＝(b，y2)．
由·＝0，得y1y2＝－3b2.①
(1)由||＝||＝2，得
＝2.②
＝2.③
由①、②、③三式，消去y1，y2，并求得b＝.
(2)易求椭圆C的标准方程为＋＝1.
方法一　|MN|2＝(y1－y2)2＝y＋y－2y1y2≥
－2y1y2－2y1y2＝－4y1y2＝12b2，
所以，当且仅当y1＝－y2＝b或y2＝－y1＝b，|MN|取最小值2b.
方法二　|MN|2＝(y1－y2)2＝y＋＋6b2≥12b2，
所以，当且仅当y1＝－y2＝b或y2＝－y1＝b时，|MN|取最小值2b.
17．(2013·武汉)如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|＝2|DP|.当点P在圆x2＋y2＝1上运动时．
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过点T(0，t)作圆x2＋y2＝1的切线l交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．

解析　(1)设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x＝x0，y＝2y0，所以x0＝x，y0＝.①
因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，所以x＋y＝1.②
将①代入②，得点M的轨迹C的方程为x2＋＝1.
(2)由题意知，|t|≥1.当t＝1时，切线l的方程为y＝1，点A、B的坐标分别为(－，1)、(，1)，此时|AB|＝，当t＝－1时，同理可得|AB|＝；当|t|>1时，设切线l的方程为y＝kx＋t，k∈R.
由得(4＋k2)x2＋2ktx＋t2－4＝0.③
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则由③得
x1＋x2＝－，x1x2＝.
又由l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1，即t2＝k2＋1.
所以|AB|＝
＝＝.
因为|AB|＝＝≤2，且当t＝±时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.
依题意，圆心O到直线AB的距离为圆x2＋y2＝1的半径，所以△AOB面积S＝|AB|×1≤1，当且仅当t＝±时，△AOB面积S的最大值为1，相应的T的坐标为(0，－)或(0，)．
18．已知焦点在y轴上的椭圆C1：＋＝1经过A(1,0)点，且离心率为.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)过抛物线C2：y＝x2＋h(h∈R)上P点的切线与椭圆C1交于两点M、N，记线段MN与PA的中点分别为G、H，当GH与y轴平行时，求h的最小值．
解析　(1)由题意可得
解得a＝2，b＝1，所以椭圆C1的方程为x2＋＝1.
(2)设P(t，t2＋h)，由y′＝2x，抛物线C2在点P处的切线的斜率为k＝y′＝2t，
所以MN的方程为y＝2tx－t2＋h.
代入椭圆方程得4x2＋(2tx－t2＋h)2－4＝0，
化简得4(1＋t2)x2－4t(t2－h)x＋(t2－h)2－4＝0.
又MN与椭圆C1有两个交点，
故Δ＝16[－t4－2(h＋2)t2－h2＋4]>0.①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点横坐标为x0，则x0＝＝.
设线段PA的中点横坐标为x3＝.
由已知得x0＝x3，即＝.②
显然t≠0，h＝－(t＋＋1)．③
当t>0时，t＋≥2，当且仅当t＝1时取得等号，此时h≤－3不符合①式，故舍去；
当t<0时，(－t)＋(－)≥2，当且仅当t＝－1时取得等号，此时h≥1，满足①式．综上，h的最小值为1.
19．已知△ABC中，点A、B的坐标分别为(－，0)，B(，0)，点C在x轴上方．
(1)若点C坐标为(，1)，求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；
(2)过点P(m,0)作倾斜角为π的直线l交(1)中曲线于M、N两点，若点Q(1,0)恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．
解析　(1)设椭圆方程为＋＝1，c＝，2a＝|AC|＋|BC|＝4，b＝，所以椭圆方程为＋＝1.
(2)直线l的方程为y＝－(x－m)，令M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程解得 3x2－4mx＋2m2－4＝0，
若Q恰在以MN为直径的圆上，
则·＝－1，即m2＋1－(m＋1)(x1＋x2)＋2x1x2＝0,3m2－4m－5＝0，解得m＝.
20．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点F(－2,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M关于直线y＝x＋1的对称点在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
解析　(1)⇒＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，V(x4，y4)．
由⇒3x2＋4mx＋2m2－8＝0.
∴Δ＝96－8m2>0⇒－2<m<2.
∴x3＝＝－，y3＝x3＋m＝.
又⇒在x2＋y2＝1上．
∴(－1)2＋(1－)2＝1⇒－＋－＋1＝0.
∴5m2－18m＋9＝0⇒(5m－3)(m－3)＝0.
∴m＝或m＝3经检验成立．
∴m＝或m＝3.
21．(2012·浙江宁波市期末)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1(x1>0)，过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线l：y＝于点M，当|FD|＝2时，∠AFD＝60°.
(1)求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；
(2)若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x1的值．
解析　(1)设A(x1，y1)，则切线AD的方程为y＝x－.
所以D(，0)，Q(0，－y1)，|FQ|＝＋y1，|FA|＝＋y1，所以|FQ|＝|FA|.
所以△AFQ为等腰三角形，
且D为AQ中点，所以DF⊥AQ.
∵|DF|＝2，∠AFD＝60°，
∴∠QFD＝60°，＝1，得p＝2，抛物线方程为x2＝4y.
(2)设B(x2，y2)(x2<0)，
则B处的切线方程为y＝x－.
由⇒P(，)，
⇒M(＋，1)．
同理N(＋，1)，所以面积S＝(＋－－)·(1－)＝.①
设AB的方程为y＝kx＋b，则b>0.
由⇒x2－4kx－4b＝0，
得代入①得
S＝＝，使面积最小，则k＝0，得到S＝.②
令＝t，
②得S(t)＝＝t3＋2t＋，S′(t)＝，
∴当t∈(0，)时S(t)单调递减；当t∈(，＋∞)时S(t)单调递增．
∴当t＝时，S取最小值为，此时b＝t2＝，k＝0，
∴y1＝即x1＝.
22.

如图，