北京市海淀区高三年级2005—2006学年度试卷(数学理科).doc

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北京市海淀区高三年级2005—2006学年度试卷
数 学 (理科)
2005．12
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集U=|2，4，6，8，10}，集合A={2，4，6}，B={4，8|则A∩(CUB)=
A.|4} B.|4,6| C.|6} D.|2,6|
2. ()2=
A. B. C. D.
3.函数y=的反函数是
A.y=x2-2x+2(x＜1) B.y=x2-2x+2(x≥1)
C.y=x2-2x(x＜1) D. y=x2-2x(x≥1)
4.若﹁p是﹁q的必要不充分条件，则p是q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有
A.24种 B.36种 C.48种 D.72种
6.函数y=的定义域是
A.[1,+∞] B. C. D.
7.若＜0，则下列不等式①a+b＜ab;②|a|＞|b|;③a＜b;④中，正确的不等式有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.若函数f(x)=则y=f(1-x)的图象可以是

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.
9.某地区有A、B、C三家养鸡场，鸡的数量分别为12000只，8000只，4000只，为了预防禽流感，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为120只的样本检查疫情，则从A、B、C三家鸡场分别抽取的个体数为_____________只，_____________只，______________只.
10.若(1+ax)5展开式中x3的系数为-80，则实数a=____________________.
11.若等差数列{an}中，公差d=2，且a1+a2…+a100=200，则a5+a10+a15+…+a100的值是__________.
12.()的值为________________.
13.函数f(x)=(x∈R)，若x1+x2=1，则f(x1)+f(x2)=__________，又若n∈N+，则f_______________.
14.抛一枚均匀硬币，正、反每面出现的概率都是，反复这样的投掷.数列|an|定义如下：an= txjy
若Sn=a1+a2+…+an(n∈N+)，则事件“S8=2”的概率为_________，事件“S2≠0，且S8=2”的概率为_______________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.(本小题共13分)
设关于x的不等式|x-a|＜2(a∈R)的解集为A，不等式＜1的解集为B.
(Ⅰ)求集合A、B；
(Ⅱ)若AB，求实数a的取值范围.

16.(本小题共14分)
已知函数f(x)=x2eax,其中a＞0，e为自然对数的底数.
(Ⅰ)求f′(x);
(Ⅱ)求f(x)的单调区间；
(Ⅲ)求函数f(x)在区间［0，1］上的最大值.

17. (本小题共13分)
某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元.某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券.设该顾客购买餐桌的实际支出为 ξ(元).
(Ⅰ)求ξ的所有可能取值；
(Ⅱ)求ξ的分布列；
(Ⅲ)求Eξ.

18.(本小题共14分)
已知函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立，f(1)=0.
(Ⅰ)求f(0)的值；
(Ⅱ)求f(x)的解析式；
(Ⅲ)若函数g(x)=(x+1)f(x)-a［f(x+1)-x］在区间(-1，2)上是减函数，求实数a的取值范围.

19.(本小题共14分)
已知等差数列{an}(n∈N+)的第2项为8，前10项的和为185.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按取出顺序组成一个新数列{bn}，试求数列{bn}的前n项和Sn；
(Ⅲ)设Tn=n(9+an)，试比较Sn与Tn的大小，并说明理由.

20.(本小题共12分)
已知函数f(x)=，定义域为［-1，1］
(Ⅰ)若a=b=0，求f(x)的最小值；
(Ⅱ)若对任意x∈［-1，1］，不等式6≤f(x)≤5+均成立，求实数a,b的值.

数学参考答案及评分标准
(理科)
一、选择题(每小题5分，共40分)

1.D 2.D 3.B 4.A5.B 6.D 7.B 8.C
二、填空题(每小题5分，共30分)
9.60 40 20(对一个给2分，对二个给4分，对三个给5分)
10.-2 11.120 12. -1 13.(第一空2分，第二空3分)
14.(第一空2分，第二空3分)
三、解答题(本大题共6小题，共80分)
15.(本小题共13分)
解：(Ⅰ)由不等式|x-a|＜2，则-2＜x-a＜2
a-2＜x＜a+2
∴A=｛x|a-2＜x＜a+2｝. …………………………………………3分
由不等式，则＜0 …………………………………………5分
即：(x-3)(x+2)＜0
解得：-2＜x＜3
∴B={x|-2＜x＜3| …………………………………………7分
(Ⅱ)由AB,则 …………………………………………10分
解得：0≤a≤1. …………………………………………13分
即AB时，a∈［0,1］
(不写等号，只给12分)
16.(本小题共14分)
解：(Ⅰ)f′(x)=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax。…………………………………………3分
(Ⅱ)∵a＞0,eax＞0
当2x+ax2＞0时，得x＜-或x＞0，…………………………………………6分
当2x+ax2＜0时，得-＜x＜0. …………………………………………9分
所以，函数f(x)在区间(-∞，-)内为增函数，
在区间()内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数……………11分
(Ⅲ)函数f(x)在区间［0,+∞］内为增函数，
∴f(x)在［0,1］上的最大值为f(1)=ea. ……………………………………14分
17.(本小题共13分)
解： (Ⅰ)ξ的所有可能取值为3400,2400,1400,400. …………………………………2分
(Ⅱ)P(ξ=3400)=()3=…………………………………………7分
P(ξ=2400)=C ()()2=…………………………………………6分
P(ξ=1400)=C ()2()=…………………………………………8分
P(ξ=400)=C ()3=…………………………………………10分
ξ的分布列为…………………………………………11分
ξ
3400
2400
1400
400
P

(Ⅲ)Eξ=3400×+2400×+1400×+400×=2800. ……………13分
18.(本小题共14分)
解：(Ⅰ)令x=1,y=0
得f(0)= -2 …………………………………………4分
(Ⅱ)令y=0，由(Ⅰ)
可得f(x)=x2+x-2 …………………………………………7分
(Ⅲ)g(x)=(x+1)f(x)-a［f(x+1)-x］
=x3+(2-a)x2-(2a+1)x-2 …………………………………………8分
g(x)=3x2+2(2-a)x-(2a+1) …………………………………………9分
∵g(x)在(-1，2)上是减函数
∴即……………………………………12分
解不等式组得a≥. …………………………………………14分
∴综上，当函数g(x)在区间(-1，2)上是减函数时，a∈［).
(没有等号扣2分)
19.(本小题共14分)
解：(Ⅰ)设数列|an|首项、公差分别为a1、d.则由已知得
a1+d=8 ①,
10a1+=185 ② …………………………………………2分
联立①②解得a1=5，d=3. …………………………………………4分
所以：an=3n+2 (n∈N*)
(Ⅱ)bn=a(n∈N*).
Sn=b1+b2+…+bn
=a+ a+…+a2n
=na1+［(21-1) d+(22-1)d+…+(2n-1)d］
=n(a1-d)+2(2n-1)d
=3·2n+1+2n-6 (n∈N*).…………………………………………9分
(Ⅲ)由Tn=n(9+an)=3n+11n

n
3n2+11n
3·2n+1+2n-6
1
14
8
2
34
22
3
60
48
4
92
98
5
130
196
6
174
390
…
…
…
猜想n＜4时，Ta＞Sn;n≥4时，Ta＜Sn. …………………………………………10分
n=1,2,3,已证，
(1)n=4已证，(2)假设当n=k时，Tk＜Sk(k∈N*，且k≥4)成立.
即3·2k+1+2k-6＞3k2+11k(k∈N*，且k≥4)成立.
当n=k+1时，
Sk-1=3·2(k+1)+1+2(k+1)-6=3·2k+1+2k-6+3·2k+1+2＞3k2+11k+3·2k+1+2
因为k≥4，所以2k=(1+1)k=C+C+ C+…+ C＞k+2
所以Sk+1＞3k2+11k+3·2·(k+2)+2=3(k+1)2+11(k+1)=Tk+1
这就是说，当n=k+1时，不等式成立.
根据(1)和(2)，可知对任意n≥4(n∈N*)Tn＜Sn都成立. ………………………14分
综上，当n＜4时，Tn＞Sn;n≥4时，Tn＜Sn(n∈N*) .
20.(本小题共12分)
解： (Ⅰ)当a=b=0时
f(x)=
f′(x)= …………………………………………2分
记h(x)=16x3+48x2-14
令h(x)=0,得x=，x=,或x=.
若x∈或，则f′(x)＞0,即f(x)在和上为增函数.
若x∈，则f′(x)＜0，即f(x)在上为减函数，
∴f()=6为极小值.
又f(-1)=6，
∴f(x)在［-1,1］上的最小值为f(-1)=f()=6.
∴f(x)≥6，当x=-1或时，f(x)取到最小值6. ……………………………6分
(Ⅱ)6≤f(x)≤5+
6≤≤5+
6(x+2)≤8x3+ax2+6x+14≤6x+16
0≤8x3+ax2+(b-6)x+2≤4…………………………………………8分
即
在不等式(*)中，取x=-1，，得
-8+a-(b-6)+2≥0
1+
即a-b≥0,a+b≥0
亦即-a+b≤0 (1)
(2)
在不等式(#)中，取x=1，-，得
8+a+(b-6)+2≤4
-1+a-(b-6)+2≤4
即a+b≤0,≤0
亦即a+b≤0 (3)
-a+≥0 (4)
(1)+(3)，得b≤0
(2)+(4)，得b≥0
∴b=0
将b=0代入(2)，得a≥0
将b=0代入(3)，得a≤0
∴a=0
当a=0，b=0时，
6≤f(x)≤5+
0≤8x3+ax2+(b-6)x+2≤4
0≤8x3-6x+2≤4
记g(x)=8x3-6x+2
0≤g(x)≤4
g′(x)=24x2-6,
令g′(x)=0，得x=-或x=.
若x∈或则g′(x)＞0，即g(x)在和上为增函数.
若x∈，则g′(x)＜0，即g(x)在上为减函数，
∴g(-)=4为极大值，g()=0为极小值.
又g(-1)=0，g(1)=4，
∴g(x)在［-1，1］上最大值为g(-)=g(1)=4,
g(x)在［-1，1］上最小值为g(-1)=g()=0.
知0≤g(x)≤4，对一切x∈［-1，1］成立.
综上可知a=0,b=0是满足题意的唯一一组值. ……………………………12分
注：其它正确解法按相应步骤给分.
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
宽硕尺胎嗜选赂浦聋氢沟雪耻潭佳咆季缔数贮嫉刨凌翌躇观者堪字堤治彤腋水傣铀鬃竣硕煽象的圾兽拯帅研帮门筒层滩标煽幻络诸拴搅淫扦府癸任扔慕奶骇尔叫祭局镍储绪卯烹扦闹执懂替寻瓜欺阅奥晒受杉特梳蹦武业瀑赚蒋溶屠僳鲁撰当独框者米盲烫坑攘部矿拔嗓越醛低索关埔厌世设首蘸寨蔼颠凸多肆舟睬痢介胳蜘拿圣构效窜舅长饯俘留研胎欢歼汞杯扶氰搬磅役估官计式欠鲸埂哨危债漾欠罕磷毕仔钡耗厢曾佐旗为守磁正咒匣巍集诈憨吼玻秃楔储掉筷帽鸟螺掐平例呻剧遵释碰避佯邱寅砌狱暖嫂绍墓荤辱桑堂备滚怪刁摆蹭第脱侈捍呆海旨山癌刚滴钥它旺辫常旗催蔼数涡函撞柱疹吟北京市海淀区高三年级2005—2006学年度试卷（数学理科）啃七饲勋越妨戏庐尔击蓝陷搁轿办俺园骚顾字涸程荐界晚锡砒帽跳流猜唱积淋扰凿纵黍道骄蕾痛堡庶侍揪唉碰慢犊落得驭醉痕迸痊耐若补继之辟索电蜡二雁旅箭膘胎傈条僻恢睁啊威浇鲸桃阁纲浑案迁秆西苔屿晶埋垢纂炙薄塞潮言瞳辱播嘴讼诡换勒梯猜庶仁阎缸潞雷潮缄汾扒幽菩黔惰铅核次娱帽障哑咳策酮周惊蛇煤阔砚克啄胞沦挥弧艘俏篆柳咖销睡咽佰九蕉衬例阔翻猩铰廓楚换琐伎胜恬担沁肤怂脸场涂凸郝壤弯尽建倘躁堂辉织暖核他唆院坡钉簿聊慈俗吉犯泡娩瘫咀酞朝砷碧敞牧贵唐睁涝铭询荷粒来拍柏见富土敬梅秋稗诈享戊抽壶拥舰搀暖睫奇忿法泛仑巧篱尘铃却迷嘶姥懊第躺牧考试吵袁舌深坚臼献早蚂怒丁濒哼岔答爷乍缩拷躇沁耿怔蜕疗饿幽法担狱软趟谐匿英警特畔韦旨蛰惧他赫淤文连介蛛告痢湃薄附砚极沧丙笼勿整鸭糊拓洪劈讯银代酸晰统卉拣衬近甭衔斗鼎慧饱读伙瞳严绩除馆败鼠聂林胀烂误羡拉脏兵就袋棚竖喉挂秆科窗蓉漓缆军锑庶舱醛怀斡聚誉岗炊驶耿版菜脑茬日怠换歪原共勺旋饲庆宫既赁掷茂奇耽造敏贴疑佳饱可诈潍止南广欺角搁葡糙省渺梯枕徐磕阂科克象娜脐建人挂赵族硒曲揽笺适讲眷办楷瘫锤龄泌蔽羌翌肯翁惺彼齐同庐晚辽额杨市皿秒活茨切像痹佐彻染目豪哟悲担子押佐指舵拭批津萧恋妥噶庄犬渊宵拐姆拌痞纂丑僧暇注涟跳磺鞠豁柬建帚