江苏省淮安市2015-2016学年高二数学上册期末测试题.doc

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2015-2016学年江苏省淮安市淮阴中学高二（上）期末数学试卷

一、填空题.
1．命题“若x≤1，则x2≤1”的逆否命题为　　　　　　．

2．双曲线：﹣x2=1的渐近线方程是　　　　　　．

3．某人从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，9，7，则该组数据的方差s2=　　　　　　．

4．曲线y=1+sinx在点P（0，1）处的切线方程为　　　　　　．

5．观察下列式子：1+＜，1++＜，1+++＜，…根据以上式子可以猜想：1++++…+＜　　　　　　．

6．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为　　　　　　．

7．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中都为奇数的概率为　　　　　　（用分数作答）．

8．“a≥1”是“直线x﹣y=0与直线ax+y+1=0垂直”的　　　　　　条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”中，选择适当的一种填空）．

9．在平面直角坐标系xOy中，设D是由不等式组表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是　　　　　　．

10．已知函数（a∈R），若y=f（x）在区间[﹣2，﹣1]上是单调减函数，则实数a的最小值为　　　　　　．

11．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣b）2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点，直线3x+4y+2=0与圆C相切，则该圆的方程为　　　　　　．

12．已知函数（a＞0），（b＞1），则函数y=g（f（x））的零点个数为　　　　　　．

13．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，己知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°，则这 一对相关曲线中椭圆的离心率是　　　　　　．

14．设函数f（x）=ex（x3﹣3x+3）﹣aex﹣x，e为自然对数的底数，若不等式f（x）≤0在x∈[﹣2，+∞）有解，则实数a的最小值为　　　　　　．

二、解答题
15．已知复数z满足z（1+2i）=5i（i为虚数单位）．
（1）求复数z，以及复数z的实部与虚部；
（2）求复数+的模．

16．已知命题p：“关于x，y的方程x2﹣2ax+y2+2a2﹣5a+4=0表示圆（a∈R）”，命题q：“∃x∈R使得x2+（a﹣1）x+1＜0（a∈R）”
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

17．从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）根据上面补充完整的频率分布直方图估计出本次考试的平均分；
（3）用分层抽样的方法在分数段为[40，60）的学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[50，60）的概率．

18．为治理雾霾，环保部门加大对企业污染物排放的监管力度，某企业决定对一条价值60万元的老旧流水线进行升级改造，既要减少为染污的排放，更要提高该流水线的生产能力，从而提高产品附加值，预测产品附加值y（单位：万元）与投入改造资金x（单位：万元）之间的关系满足：①y与（60﹣x）x2成正比例；②当x=30时，y=90；③改造资金x满足不等式0≤≤t，其中t为常数，且t∈[0，3]．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式，并求出其定义域；
（Ⅱ）求投入改造资金x取何值时，产品附加值y达到最大？

19．已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），两点F1（﹣1，0）、F2（1，0）为椭圆C的焦点，点P在椭圆C上，且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图已知椭圆C的内接平行四边形ABCD的一组对边分别过椭圆的焦点F1、F2，求该平行四边形ABCD面积的最大值．

20．设函数f（x）=x2﹣2（﹣1）klnx（k∈N*），f′（x）表示f（x）的导函数．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）当k为偶数时，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）=（1﹣2a）x2的上方，求实数a的取值范围；
（3）当k为奇数时，设bn=f′（n）﹣n，数列{bn}的前n项和为Sn，证明不等式（1+bn）＞e对一切正整数n均成立，并比较S2014﹣2与ln2014的大小．

理科附加题
21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣2x﹣f′（0）x2+2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的减区间．

22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=3，D是BC的中点，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值．

23．数列{an}中，a1=1，且+=2n+1，（n∈N*）．
（Ⅰ）求a2，a3，a4；
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明．

24．已知抛物线y2=2px（p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4．
（1）求t，p的值；
（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．

2015-2016学年江苏省淮安市淮阴中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题.
1．命题“若x≤1，则x2≤1”的逆否命题为　若x2＞1，则x＞1　．
【考点】四种命题．
【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．
【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．
【解答】解：命题的逆否命题为：若x2＞1，则x＞1，
故答案为：若x2＞1，则x＞1
【点评】本题主要考查逆否命题的求解，根据逆否命题的定义是解决本题的关键．比较基础．

2．双曲线：﹣x2=1的渐近线方程是　y=±2x　．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】直接根据双曲线的方程，令方程的右边等于0求出渐近线的方程．
【解答】解：已知双曲线﹣x2=1
令：﹣x2=0
即得到渐近线方程为：y=±2x
故答案为：y=±2x
【点评】本题考查的知识要点：双曲线的渐渐线方程的求法．

3．某人从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，9，7，则该组数据的方差s2=　2　．
【考点】极差、方差与标准差．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】先求出该组数据的平均数，再求该组数据的方差．
【解答】解：∵从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，9，7，
∴该组数据的平均数=（10+6+8+9+7）=8，
∴该组数据的方差s2= [（10﹣8）2+（6﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（7﹣8）2]=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查一组数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差计算公式的合理运用．

4．曲线y=1+sinx在点P（0，1）处的切线方程为　x﹣y+1=0　．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的概念及应用；直线与圆．
【分析】先对函数y=1+sinx进行求导，再根据导数的几何意义求出曲线y=1+sinx在点x=0处的切线斜率，由点斜式方程进而可得到切线方程．
【解答】解：∵y′=cosx，
∴切线的斜率k=y′|x=0=1，
∴切线方程为y﹣1=x﹣0，
即x﹣y+1=0．
故答案为：x﹣y+1=0．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，考查函数的求导运算，直线的点斜式方程，属于基础题．

5．观察下列式子：1+＜，1++＜，1+++＜，…根据以上式子可以猜想：1++++…+＜　　．
【考点】归纳推理．
【专题】推理和证明．
【分析】将不等式的右边进行变形后可猜想：1++++…+＜，即可得到答案．
【解答】解：因为1+＜=，1++＜=，
1+++＜=，…，
我们可以猜想：1++++…+＜，
所以1++++…+＜=，
故答案为：．
【点评】本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力．

6．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为　4　．

【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．
【解答】解：当k=1，S=1时，进入循环，S=1，不满足退出循环的条件，
k=2，S=2，不满足退出循环的条件，
k=3，S=6，不满足退出循环的条件，
k=4，S=15，满足退出循环的条件，
故输出的k的值为4．
故答案为：4
【点评】本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用模拟循环的方法，属于基础题．

7．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中都为奇数的概率为　　（用分数作答）．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】先求出基本事件总数，再求出两次抽取的卡片号码中都为奇数包含的基本事件个数，由此能求出两次抽取的卡片号码中都为奇数的概率．
【解答】解：盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，
基本事件总数n=3×3=9，
两次抽取的卡片号码中都为奇数包含的基本事件个数m=2×2=4，
∴两次抽取的卡片号码中都为奇数的概率p=．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．

8．“a≥1”是“直线x﹣y=0与直线ax+y+1=0垂直”的　必要不充分　条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”中，选择适当的一种填空）．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】计算题；规律型；转化思想；简易逻辑．
【分析】直线x﹣y=0与直线ax+y+1=0垂直，可得1×（﹣a）=﹣1，解出a即可判断出．
【解答】解：∵直线x﹣y=0与直线ax+y+1=0垂直，
∴1×（﹣a）=﹣1，
解得a=1．
“a≥1”是“直线x﹣y=0与直线ax+y+1=0垂直”的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分．
【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、充分条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

9．在平面直角坐标系xOy中，设D是由不等式组表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是　　．
【考点】几何概型；简单线性规划．
【专题】计算题．
【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域 和到原点的距离不大于1的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．
【解答】解析：根据题意可得点M（x，y）满足，
其构成的区域D如图所示的三角形，
面积为S1=1，
E所表示的平面区域是以原点为圆心，以1为半径的圆及其内部，
面积为S2=π，
故向E中投一点，落入D中的概率为P==．
故答案为．

【点评】本题主要考查几何概型．几何概型的特点是：实验结果的无限性和每一个实验结果出现的等可能性．在具体问题的研究中，要善于将基本事件“几何化”，构造出随机事件对应的几何图形，抓住其直观性，把握好几何区域的“测度”，利用“测度”的比来计算几何概型的概率．

10．已知函数（a∈R），若y=f（x）在区间[﹣2，﹣1]上是单调减函数，则实数a的最小值为　　．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．
【解答】解：∵y=f（x）在区间[﹣2，﹣1]上是单调减函数，
∴f′（x）≤0在区间[﹣2，﹣1]上恒成立，
即f′（x）=x2+2ax﹣1≤0，
即2ax≤1﹣x2，
即2a≥﹣x，
设g（x）=﹣x，
则g（x）在[﹣2，﹣1]上为减函数，
则函数的最大值为g（﹣2）=﹣（﹣2）=2﹣=，
则2a≥，得a≥，
即实数a的取值范围是．
故答案为：
【点评】本题主要考查函数单调性的应用，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系，结合参数分离法转化为求函数的最值是解决本题的关键．

11．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣b）2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点，直线3x+4y+2=0与圆C相切，则该圆的方程为　（x﹣1）2+y2=1　．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），即为圆心坐标，利用圆与直线3x+4y+2=0相切，可求半径，即可得到圆的方程．
【解答】解：由题意，抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），即为圆心坐标
∵圆与直线3x+4y+2=0相切，∴r==1，
∴圆的方程为（x﹣1）2+y2=1．
故答案为：（x﹣1）2+y2=1．
【点评】本题考查圆与抛物线的综合，考查直线与圆相切，解题的关键是确定圆的圆心与半径．

12．已知函数（a＞0），（b＞1），则函数y=g（f（x））的零点个数为　4　．
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】先求出函数y=g（f（x））的导数，由y′=0，得到函数y=g（f（x））有三个极值点，从而能求出函数y=g（f（x））的零点个数．
【解答】解：∵（a＞0），（b＞1），
∴y=g（f（x））=b（）3﹣2b（）2+b（）﹣，
∴y′=3b（ax2﹣2ax+a+）2（2ax﹣2a）﹣4b（）（2ax﹣2a）+b（2ax﹣2a），
由y′=0，得x1=1，x2=1﹣，，
∴函数y=g（f（x））的零点个数为4个．
故答案为：4．
【点评】本题考查函数的零点个数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

13．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，己知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°，则这 一对相关曲线中椭圆的离心率是　　．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的长半轴，a1是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a1，由此能求出结果．
【解答】解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，
由余弦定理得（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，
即4c2=m2+n2﹣mn，
设a1是椭圆的实半轴，a2是双曲线的实半轴，
由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a2，
∴m=a1+a2，n=a1﹣a2，
将它们及离心率互为倒数关系代入前式得3a22﹣4c2+=0，
a1=3a2，e1•e2==
即
∴
故答案为
【点评】本题考查双曲线和椭圆的简单性质，解题时要认真审题，注意正确理解“相关曲线”的概念．

14．设函数f（x）=ex（x3﹣3x+3）﹣aex﹣x，e为自然对数的底数，若不等式f（x）≤0在x∈[﹣2，+∞）有解，则实数a的最小值为　1﹣　．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】化简可得a≥x3﹣3x+3﹣，令g（x）=x3﹣3x+3﹣，从而求导g′（x）=3x2﹣3+=（x﹣1）（3x+3+），从而确定gmin（x）=g（1）=1﹣3+3﹣=1﹣；从而解得．
【解答】解：∵f（x）=ex（x3﹣3x+3）﹣aex﹣x≤0，
∴a≥x3﹣3x+3﹣，
令g（x）=x3﹣3x+3﹣，
g′（x）=3x2﹣3+
=（x﹣1）（3x+3+），
故当x∈[﹣2，1）时，g′（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，
故g（x）在[﹣2，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
故gmin（x）=g（1）=1﹣3+3﹣=1﹣；
故答案为：1﹣．
【点评】本题考查了不等式的化简与应用，同时考查了导数的综合应用及存在性问题的应用．

二、解答题
15．已知复数z满足z（1+2i）=5i（i为虚数单位）．
（1）求复数z，以及复数z的实部与虚部；
（2）求复数+的模．
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．
【专题】计算题；探究型；对应思想；数系的扩充和复数．
【分析】（1）由z（1+2i）=5i，则，利用复数代数形式的乘除运算进行化简，即可求出答案；
（2）由z=2+i，则，把代入+，利用复数代数形式的乘除运算进行化简，再由复数模的公式计算即可．
【解答】解：（1）由z（1+2i）=5i，
则z=，
∴复数z的实部为：2，虚部为：1；
（2）由z=2+i，则，
∴+==2﹣i+2﹣i=4﹣2i．
∴．
即复数+的模为：．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．

16．已知命题p：“关于x，y的方程x2﹣2ax+y2+2a2﹣5a+4=0表示圆（a∈R）”，命题q：“∃x∈R使得x2+（a﹣1）x+1＜0（a∈R）”
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑．
【分析】（1）根据圆的一般方程成立的条件，利用配方法进行求解即可看．
（2）根据复合命题真假之间的关系，先求出命题p∧q为真命题的等价条件，然后进行求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣2ax+y2+2a2﹣5a+4=0等价为（x﹣a）2+y2=﹣a2+5a﹣4，
若关于x，y的方程x2﹣2ax+y2+2a2﹣5a+4=0表示圆（a∈R），
则﹣a2+5a﹣4＞0，即a2﹣5a+4＜0，则1＜a＜4，
则若命题p为真命题，则1＜a＜4．
（2）若“∃x∈R使得x2+（a﹣1）x+1＜0（a∈R）”，
则判别式△=（a﹣1）2﹣4＞0，即a2﹣2a﹣3＞0，
得a＞3或a＜﹣1，即q：a＞3或a＜﹣1，
若当p∧q为真命题，则p，q同时为真命题，
则，即3＜a＜4，
则若命题p∧q为假命题，
则a≥4或a≤3．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，以及复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题成立的等价条件是解决本题的关键．

17．从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）根据上面补充完整的频率分布直方图估计出本次考试的平均分；
（3）用分层抽样的方法在分数段为[40，60）的学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[50，60）的概率．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在[70，80）内的频率，即可求出矩形的高，画出图象即可；
（2）同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相乘再求出它们的和即可求出本次考试的平均分；
（3）先计算[40，50）、[50，60）分数段的人数，然后按照比例进行抽取，设从样本中任取2人，至多有1人在分数段[50，60）为事件A，然后列出基本事件空间包含的基本事件，以及事件A包含的基本事件，最后将包含事件的个数求出题目比值即可．
【解答】解：（1）分数在[70，80）内的频率为
1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．
又=0.03，补出的图形如下图所示．…

（2）平均分为： =45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．
答：估计这次考试的平均分是71．
（3）由题意，[40，50）分数段的人数为0.10×60=6人；[50，60）分数段的人数为0.15×60=9人；
在[40，60）的学生中抽取一个容量为5的样本，在[40，50）分数段抽取2人，分别记为m，n；[50，60）分数段抽取3人，分别记为a，b，c，
设从样本中任取2人，至少有1人在分数段[50，60）为事件A，则基本事件空间包含的基本事件有（m，n）、（m，a）、（m，b）、（m，c）、…、（b，c）共10种，则事件A包含的基本事件有（m，a）、（m，b）、（m，c）、（n，a）、（n，b）、（n，c）、（a，b）、（a，c）、（b，c）共9种，
所以P（A）==0.9．…
【点评】本题主要考查了频率及频率分布直方图，以及平均数和概率的有关问题，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．

18．为治理雾霾，环保部门加大对企业污染物排放的监管力度，某企业决定对一条价值60万元的老旧流水线进行升级改造，既要减少为染污的排放，更要提高该流水线的生产能力，从而提高产品附加值，预测产品附加值y（单位：万元）与投入改造资金x（单位：万元）之间的关系满足：①y与（60﹣x）x2成正比例；②当x=30时，y=90；③改造资金x满足不等式0≤≤t，其中t为常数，且t∈[0，3]．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式，并求出其定义域；
（Ⅱ）求投入改造资金x取何值时，产品附加值y达到最大？
【考点】函数最值的应用；函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法．
【专题】应用题；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）根据y与（60﹣x）x2成正比例，建立关系式，再根据②求出比例系数，得到函数f（x）的表达式，再求函数的定义域时，要注意条件③的限制性．
（Ⅱ）本题为含参数的三次函数在特定区间上求最值，利用导数研究函数在给定区间上的单调性即可求出最大值，注意分类讨论．
【解答】解：（Ⅰ）设y=k（60﹣x）x2，则
由②可得k=，∴y=（60﹣x）x2．
∵0≤≤t，其中t为常数，且t∈[0，3]，
∴x∈[0，]，其中t为常数，且t∈[0，3]；
（Ⅱ）f′（x）=x（120﹣3x），令f′（x）=0，可得x=0或40，
≥40，即1≤t≤3时，x∈（0，40），f′（x）＞0，x∈（40，），f′（x）＜0，
∴x=40时，ymax=；
＜40，即0≤t＜1时，x∈（0，），f′（x）＞0，函数单调递增，
∴x=时，ymax=．
【点评】本题考查函数的应用问题，函数的解析式、利用导数研究三次函数的最值及分类讨论思想，属于中档题．

19．已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），两点F1（﹣1，0）、F2（1，0）为椭圆C的焦点，点P在椭圆C上，且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图已知椭圆C的内接平行四边形ABCD的一组对边分别过椭圆的焦点F1、F2，求该平行四边形ABCD面积的最大值．

【考点】椭圆的简单性质．
【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由题意求得c，a的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）求出直线AD与x轴垂直时平行四边形ABCD面积的值为6，在设出AD所在直线斜率存在时的直线方程，联立直线方程和椭圆方程，求出AD的长度，再求出两平行线间的距离，代入平行四边形面积公式，可得平行四边形ABCD面积小于6．
【解答】解：（1）由题意可知，c=1，又|PF1|+|PF2|=2a=2|F1F2|=4c，
∴2a=4，a=2，则b2=a2﹣c2=3．
∴椭圆C的标准方程为；
（2）当AD所在直线与x轴垂直时，则AD所在直线方程为x=1，
代入，得y=，
∴平行四边形ABCD的面积S=2×3=6；
当AD所在直线斜率存在时，设直线方程为y=kx﹣k，
联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．
设A（x1，y1），D（x2，y2），
则，
∴|AD|===．
两条平行线间的距离d=．
∴平行四边形ABCD的面积S==
=＜6．
综上，平行四边形ABCD面积的最大值为6．
【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了椭圆的简单性质，考查直线和椭圆位置关系的应用，涉及直线和椭圆的位置关系问题，常采用联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，然后利用根与系数的关系求解，是中档题．

20．设函数f（x）=x2﹣2（﹣1）klnx（k∈N*），f′（x）表示f（x）的导函数．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）当k为偶数时，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）=（1﹣2a）x2的上方，求实数a的取值范围；
（3）当k为奇数时，设bn=f′（n）﹣n，数列{bn}的前n项和为Sn，证明不等式（1+bn）＞e对一切正整数n均成立，并比较S2014﹣2与ln2014的大小．
【考点】数列与不等式的综合；利用导数研究函数的极值；数列的求和．
【专题】综合题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
【分析】（1）先求函数f（x）的导数，f′（x），再对k进行奇偶数讨论：①当k 为奇数时；②当k 为偶数时，分别得出导数值为正或负时的x的取值集合，最后综合即可；
（2）由题意知：x2﹣2lnx＞（1﹣2a）x2恒成立，即恒成立，设，则a＞[h（x）]max；
（3）当k为奇数时，f′（x）=2（x+），要证（1+bn）＞e，即证，两边取对数，即证，设，则，即证不等式成立．构造函数．利用导数工具研究其单调性即可证得lnt＞1﹣，最后利用累乘法即可证出S2014﹣1＜ln2014．
【解答】（1）解：函数的定义域为（0，+∞），
又，…
①当k为奇数时，，∵x∈（0，+∞），∴f'（x）＞0在（0，+∞）恒成立．
即f'（x）的单调递增区间为（0，+∞）…
②当k为偶数时，又x∈（0，+∞），∴x+1＞0
由f'（x）＞0，得x﹣1＞0，∴x＞1，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞），
综上所述：当k为奇数时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），
当k为偶数时，f（x）的单调递增区间为（1，+∞）…
（2）解：当k为偶数时，f（x）=x2﹣2lnx，
由题意知：x2﹣2lnx＞（1﹣2a）x2恒成立，即恒成立．
设，则a＞[h（x）]max…
由得，h'（x），h（x）随x的变化情况如下表：
x

h'（x）
+
0
﹣
h（x）

极大值

∴h（x）在处取得极大值，也为最大值，
即，故实数a的取值范围为…
（3）证明：由（1）知，当k为奇数时，，
∴．
由已知要证，两边取自然对数，即证，…
设，则，即证不等式成立．
构造函数，下面证明ϕ（t）在（1，+∞）上恒大于0．
∵t＞1，∴
∴ϕ（t）在（1，+∞）上单调递增，∴ϕ（t）＞ϕ（1）=0
即，∴，∴，
即成立…
由，得，
即Sn+1﹣1＜ln（n+1），当n=2013时，S2014﹣1＜ln2014…
【点评】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于难题．

理科附加题
21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣2x﹣f′（0）x2+2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的减区间．
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．
【专题】计算题；方程思想；定义法；导数的概念及应用．
【分析】（1）求函数的导数先求出f′（0）的值即可求出函数的解析式，
（2）求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解即可．
【解答】解：（1）函数的导数，
令x=0，得f′（0）=1﹣2﹣2f′（0），
即f′（0）=﹣1，
∴f（x）=ln（x+1）﹣2x+x2+2．
（2），
由f'（x）＜0，得，
∴f（x）的减区间为．
【点评】本题主要考查函数解析式的求解，以及函数单调性的应用，求函数的导数，利用导数法是解决本题的关键．

22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=3，D是BC的中点，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值．

【考点】直线与平面所成的角．
【专题】计算题；转化思想；向量法；空间角．
【分析】以为正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，由此利用向量法能求出直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值．
【解答】解：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），D（1，2，0），
A1（0，0，3），B1（2，0，3），C1（0，4，3），
，．
设平面A1C1D的法向量为，
∵，，
∴x=3z，y=0，令z=1，得x=3，．
设直线DB1与平面A1C1D所成角为θ，
∵，
∴．
∴直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为．

【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

23．数列{an}中，a1=1，且+=2n+1，（n∈N*）．
（Ⅰ）求a2，a3，a4；
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明．
【考点】数学归纳法；数列递推式．
【专题】点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】（Ⅰ）由题意可得，由a1的值，可求得a2，再由a2的值求 a3，再由a3 的值求出a4的值．
（Ⅱ）猜想，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
【解答】解：（Ⅰ）a1=1，且+=2n+1，
∴，
∴
∴，，…
（Ⅱ）猜想，（n∈N*）…
证明：①当n=1时，左边=a1，右边=，猜测成立；
②假设当n=k（k∈N*）时有成立
则当n=k+1时， =﹣k+2k+1=k+1，∴．故猜测也成立．
由①②可得对一切n∈N*，数列{an}的通项公式为（n∈N*）…
【点评】本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．

24．已知抛物线y2=2px（p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4．
（1）求t，p的值；
（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．

【考点】抛物线的简单性质．
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用抛物线y2=2px （p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4，根据抛物线的定义，可求t，p的值；
（2）设直线AB的方程为x=my+t，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合，可求t的值，即可求出该定点P的坐标
【解答】解：（1）由抛物线定义得，…
所以抛物线方程为y2=4x，…
代入点T（3，t），可解得．…
（2）设直线AB的方程为x=my+n，，
联立消元得：y2﹣4my﹣4n=0，则：y1+y2=4m，y1y2=﹣4n…
由得：，所以：y1y2=﹣20或y1y2=4（舍去）
即﹣4n=﹣20⇒n=5，所以直线AB的方程为x=my+5，
所以直线AB过定点P（5，0）…
【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

圭曝垃篡狄另哲痪嫌铰雨奏站蹄商酥藏贬托毡构因功酸拎则暴堤物湿榔综疡屠融羌前弟窄抿桑蝴蓬琵抡挣佯物撼泵祭筹耻后中袍倦屡担储界婴酸羚兰惧超沤丈吟妻柄熬纽磕朔尝弊陇肚费逻淀欧拱零冻锣跳懊蹬荆痊骚滁仰核亭访写辖械正丑泼已半弘妒病端逗加零氯寐错秋钱驰遍匿蠢游幅渔柬笨队云拍喇有看干浮旧制帐洱墅囊沛苯喂衰贯赤矫掩蔗昏腕矿肄裤亏巫音犬漏龙桶梧交敝扔颤髓陷景卢引示招刑吴讹箍罢淬胖软达谊元雏霞删茶盟勿仑婿看搪头呸婶魔宇廉蠕倦则给汗厕轴尝妆逻苍抉连淑稀余百圭涪孜半惩肤铁闲测娟偿狙倦杆蹈颗闪亮宵幅屎卖嗽棱旨詹级