九年级数学用函数观点看一元二次方程考试题.doc

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达标训练
基础•巩固
1.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=2，且经过点P(3,0)，则a+b+c的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
思路解析：求a+b+c的值就是求x=1时函数的值.根据抛物线的对称性，点P(3,0)关于直线x=2的对称点(1,0)也在抛物线上，所以当x=1时,y=0,即a+b+c=0.
答案：B
2.小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3.5t-4.9t2(t的单位：s，h的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化(图26.2-10)，则他起跳后到重心最高时所用的时间约是( )

图26.2-10
A.0.71 s B.0.70 s C.0.63 s D.0.36 s
思路解析：起跳后到重心最高时所用的时间就是抛物线最高点对应的横坐标,即.
答案：D
3.如图26.2-11所示，二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为( )

图26.2-11
A.6 B.4 C.3 D.1
思路解析：运用二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质的.
由函数图象可知C点坐标为(0，3)，再由x2-4x+3=0可得x1=1，x2=3所以A、B两点之间的距离为2.那么△ABC的面积为3，故应选C.
答案：C
4.若二次函数y=x2-4x＋c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c=________(只要求写出一个).
思路解析：二次函数y=x2-4x＋c的图象与x轴没有交点，则b2-4ac<0，即16-4c<0.解得c>4，c取大于4的整数.
答案：5或6，7，……
5.画出函数y=x2-2x-3的图象，根据图象回答下列问题.
(1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？
(2)当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程x2-2x-3=0有什么关系？
(3)x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？
思路解析：(1)二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决.
(2)利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集.
解：图象如图26.2-13，

图26.2-13
(1)图象与x轴的交点坐标为(-1，0)、(3，0)，与y轴的交点坐标为(0，-3).
(2)当x=-1或x=3时，y=0，x的取值与方程x2-2x-3=0的解相同.
(3)当x＜-1或x＞3时，y＞0；当 -1＜x＜3时，y＜0
综合•应用
6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图26.2-12所示，若M=4a+2b+c，N=a-b+c，P=4a+2b，则( )

图26.2-12
A.M>0，N>0，P>0 B.M>0，N<0，P>0
C.M<0，N>0，P>0 D.M<0，N>0，P<0
思路解析：根据二次函数图象求有关a、b、c的代数式的值问题，通常转化为求函数式的值问题.
当x=1时，y的值就是a+b+c的值；当x=2时，y的值就是4a+2b+c的值；当x=-1时，y的值就是a-b+c的值.
根据抛物线对称轴的位置，知道>1，由于a>0，对不等式变形：
∵a>0，∴-b>2a.∴4a<-2b.∴4a+2b<0.
答案：D
7.已知二次函数y=2x2+9x+34，当自变量x取两个不同的值x1、x2时，函数值相等，则当自变量x取x1+x2时的函数值与( )
A.x=1时的函数值相等 B.x=0时的函数值相等
C.时的函数值相等 D.x=时的函数值相等
思路解析：若自变量x取两个不同的值x1、x2时，函数值都为h，则(x1,h)、(x2,h)关于抛物线的对称轴对称，且x1+x2=.本题中a=2，b=9，所以x1+x2=.
把x=代入函数解析式中求出函数的值，与x=0时的函数值相等.
或者用对称性解决，抛物线上横坐标为的点，其关于抛物线的对称轴对称的点的横坐标为0，这两个点的纵坐标相等，即x=和x=0时，函数值相等.
答案：B
8.用列表法画二次函数y=x2+bx+c的图象时先列一个表,当表中对自变量x的值以相等间隔的值增加时，函数y所对应的值依次为:
20,56,110,182,274,380,506,650,其中有一个值不正确，这个不正确的值是( )
A.506 B.380 C.274 D.182
思路解析：二次函数中，当自变量x的值以相等间隔的值增加时，函数y所对应的值呈一次函数的形式变化.
设x2=x1+d，则△=y2-y1=(x1+d)2+b(x1+d)+c-(x1)2-x1-c=2dx1+(d2+bd).
因为b、d均为常数，所以△是关于x1的一次函数.
本题中，y的增加值应呈一次函数规律变化.
因为56-20=36，110-56=54，所以y的增加值为每次较上次多增加18.
依次往后面计算.
182-110=72，符合；274-182=92，不符合.
答案：C
9.在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的负半轴相交于点C(如图26.2-13)，点C的坐标为(0，-3)，且BO=CO.

图26.2-13
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长.
思路解析：二次函数解析式中有两个常数未知，而已知条件只有一个点，观察图象，根据相等及坐标意义，还可以求出B的坐标，然后再用待定系数法求出解析式.
解：(1)∵C(0,-3)，OC=|-3|=3，∴c =-3.
又∵OC=OB，∴BO=3.∴B(3,0).
∴9+3b-3=0.解得b=-2.
∴y=x2-2x-3.
(2),
当x=1时，y=1-2-3=-4.∴ M(1,-4).
∵A(-1，0),∴.
10.已知二次函数y=x2-kx+k-5.
(1)求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
(2)若此二次函数图象的对称轴为x=1，求它的解析式；
(3)若(2)中的二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C；D是第四象限函数图象上的点，且OD⊥BC于H，求点D的坐标.
思路解析：(1)抛物线与x轴的交点取决于b2-4ac的符号，当b2-4ac>0时，图象与x轴交于两点，这两点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根.
本题先判断b2-4ac的符号：b2-4ac=k2-4(k-5)=(k-2)2+16>0.
(2)根据抛物线的对称轴为，计算k的值为2，得到抛物线的解析式.
(3)由抛物线的解析式得到A、B、C的坐标，要求点D的坐标，就要结合图形看OH的位置，发现OH是等腰直角三角形OBC斜边上的高，所以OD在二、四象限的平分线上，点D在第四象限，其横坐标、纵坐标互为相反数，由此列出方程解答.
(注：第3问还可以用后面学习的相似三角形的知识得到点D的坐标特征.)

解：(1)∵b2-4ac=k2-4(k-5)=k2-4k+20=k2-4k+4+16=(k-2)2+16>0,
∴无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点.
(2)当二次函数图象的对称轴为x=1时，有，所以k=2.
所以抛物线的解析式为y=x2-2x-3.
(3)由x2-2x-3=0，得x1=-1，x2=3.所以A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3).
则OB=3，OC=3.∴△OBC是等腰直角三角形.
∵OD⊥BC,∴直线OD在二、四象限的平分线上.
设点D的坐标为(d，-d)，则d2-2d-3=d.
解方程得(负值舍去).
所以，点D的坐标为().
回顾•展望
11.(2010浙江诸暨模拟) 抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图26.2-14所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是( )

图26.2-14
A.(，0) B.(1，0) C.(2，0) D.(3，0)
思路解析：一般方法.抛物线解析式中只有一个系数未知，可以把已知点的坐标代入解析式就可以求出系数的值，再根据解析式解答问题.
特殊方法：本题可以根据抛物线对称轴性质得到抛物线的对称轴是x=-1，此时根据对称
性即可得到另一个交点的坐标.
答案：B
12.(2010福建福州模拟) 已知实数s，t，且满足s2+s-2 006=0，t2+t-2 006=0.那么二次函数y=x2+x-2 006的图象大致是( )

思路解析：实数s，t，且满足s2+s-2 006=0，t2+t-2 006=0，说明抛物线y=x2+x-2 006与x
轴有两个交点，对称轴为x=-，与y轴的交点在x轴的下方.
答案：B
13.(2010福建福州模拟) 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数y之间满足下列数量关系：
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
y
24
15
8
3
0
-1
0
3
8
15

(1)观察表中数据，当x=6时，y的值是__________;
(2)这个二次函数与x轴的交点坐标是__________;
(3)代数式+(a+b+c)(a-b+c)的值是__________;
(4)若s、t是两个不相等的实数，当s≤x≤t时，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有最小值0和最大值24，那么经过点(s+1,t+1)的反比例函数解析式是____________________.
思路解析：根据抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称性及点的坐标意义，可以很容易解决第1、2问.
第3问中，代数式的前两个部分合并化简，其结果是对称轴表达式的2倍，后面一部分可以看作是x=1和x=-1时对应函数值的积.
原式=2×1+(-1)×3=-1.
第4问跟二次函数的增减性有关.
①当-4≤x≤0时，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)随x的增大从最大值24减小到最小值0，
所以s=-4，t=0，反比例函数过(-3，1)，其解析式为.
②当2≤x≤6时，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)随x的增大从最小值0增大到最大值24，所
以s=2，t=6，反比例函数过(3，7)，其解析式为.
答案：(1)24 (2)(0，0)，(2，0) (3)-1 (4)或
14.(2010北京模拟) 已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；
(3)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A.求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.
思路解析：(1)已知图象上的三个点的坐标，用待定系数法可求出函数解析式;
(2)根据分点的意义，算出两个分点的坐标，用待定系数法分别求出解析式;
(3)路径最短问题，可以用轴对称变换，把线段转换到同一直线上.
作点A关于抛物线的对称轴的对称点A′，点M关于x轴的对称点M′，连接A′M′，则线段A′M′的长就是最小的线段和.
解：根据题意，c=3，所以
解得
所以，抛物线的解析式为
(2)根据题意可得OA的三等分点分别为(0,1)，(0,2).
设直线CD的解析式为y=kx+m.
当点D的坐标为(0,1)时，直线CD的解析式为y=x+1;
当点D的坐标为(0,2)时，直线CD的解析式为y=x+2.
(3)如图，由题意可得M(0,).

点M关于x轴的对称点为M′(0,)，
点A关于抛物线对称轴x=3轴的对称点为A′(6,3)，
连接A′M′.根据轴对称性质及两点间线段最短可知，A′M′的长度就是所求点P运动的最短总路径的长.
所以A′M′与x轴的交点为所求E点，A′M′与直线x=3的交点为所求F点.
把A′、M′的坐标代入解析式得，直线A′M′的解析式为.
所以E点坐标为(2,0)，F点坐标为(3,).
由勾股定理求得A′M′=.
所以点P运动的最短总路径(ME+EF+FA)的长为.

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