高三数学不等式复习题5.doc

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第三章　3.2　第3课时

一、选择题
1．若x＞0，y＞0，且x＋y≤4，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A．≤　 B．＋≥1
C．≥2　 D．≥1
[答案]　B
[解析]　取x＝1，y＝2满足x＋y≤4排除A、C、D选B．
具体比较如下：∵0<x＋y≤4∴≥故A不对；∵4≥x＋y≥2，∴≤2，∴C不对；又0＜xy≤4，∴≥∴D不对；＋＝≥＝，∵≥，∴＋≥1.
2．已知m、n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是(　　)
A．100　 B．50
C．20　 D．10
[答案]　B
[解析]　由m2＋n2≥2mn得，mn≤＝50，等号在m＝n＝5时成立，故选B．
3．若a>0，b>0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．>　 B．＋≤1
C．≥2　 D．≤
[答案]　D
[解析]　∵a>0，b>0，a＋b＝4，
∴≤＝2，
∴ab≤4，∴≥，
∴＋＝＝≥1，故A、B、C均错，选D．
[点评]　对于D有，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥16－2×4＝8，∴≤.
4．实数x、y满足x＋2y＝4，则3x＋9y的最小值为(　　)
A．18　 B．12
C．2　 D．
[答案]　A
[解析]　∵x＋2y＝4，∴3x＋9y＝3x＋32y
≥2＝2＝2＝18，
等号在3x＝32y即x＝2y时成立．
∵x＋2y＝4，∴x＝2，y＝1时取到最小值18.
5．(2016·云南师大附中高三月考)已知a＋b＝t(a>0，b>0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t等于(　　)
A．2　 B．4
C．2　 D．2
[答案]　C
[解析]　当a>0，b>0时，ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号．因为ab的最大值为2，所以＝2，t2＝8，所以t＝＝2.故选C．
6．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)
A．[0,2]　 B．[－2,0]
C．[－2，＋∞)　 D．(－∞，－2]
[答案]　D
[解析]　∵2x＋2y≥2，∴2≤1，
∴2x＋y≤＝2－2，∴x＋y≤－2，故选D．
二、填空题
7．已知x、y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
[答案]　3
[解析]　∵x>0，y>0且1＝＋≥2，
∴xy≤3，当且仅当＝，即x＝，y＝2时取等号．
8．已知a、b为实常数，函数y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值为__________
[答案]　(a－b)2
[解析]　从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方求其最小值(留给读者完成)．但若注意到(x－a)＋(b－x)为定值，则用变形不等式≥()2更简捷．
∴y＝(x－a)2＋(x－b)2≥2[]2＝.
当且仅当x－a＝b－x，即x＝时，上式等号成立．
∴当x＝，ymin＝.
三、解答题
9．已知正常数a、b和正实数x、y，满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a、b的值．
[解析]　x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·(＋)
＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
等号在＝即＝时成立．
∴x＋y的最小值为(＋)2＝18，
又a＋b＝10，∴ab＝16.
∴a、b是方程x2－10x＋16＝0的两根，
∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.
10.设x>0，y>0，且x2＋＝1，求x的最大值．
[解析]　∵x>0，y>0且x2＋＝1，
∴x＝
＝
＝·
≤·＝，
当且仅当2x2＝1＋y2，即x＝，y＝时等号成立．
∴x的最大值为.

一、选择题
1．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则的最小值为(　　)
A．6　 B．7
C．8　 D．9
[答案]　D
[解析]　∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴ab≤，等号在a＝b＝时成立．
∴＝·
＝·＝
＝＝＋1≥＋1＝9，故选D．
2．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为(　　)
A．　 B．
C．2　 D．4
[答案]　D
[解析]　圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，
∴＋＝(a＋b)＝1＋1＋＋
≥2＋2＝4　(等号在a＝b＝时成立)．
故所求最小值为4，选D．
3．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2]　 B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞)　 D．(－∞，3]
[答案]　D
[解析]　∵x>1，
∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3(当x＝2时等号成立)．要使x＋≥a恒成立，则须使a≤3.
4．已知正数x、y满足＋＝1，则xy有(　　)
A．最小值　 B．最大值16
C．最小值16　 D．最大值
[答案]　C
[解析]　∵x>0，y>0，∴＋≥2＝4，又∵＋＝1，
∴4≤1，
∴≤，
∴xy≥16，故选C．
二、填空题
5．一批救灾物资随17列火车以v km/h的速度匀速直达400 km以外的灾区，为了安全起见，两列火车的间距不得小于()2 km，则这批物资全部运送到灾区最少需__________ h.
[答案]　8
[解析]　物资全部运到灾区需t＝
＝＋≥8 h，等号成立时，＝，即v＝100.
故最少要用8 h.
6．若正实数x、y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．
[答案]　18
[解析]　∵x>0，y>0，
∴2x＋y≥2，
∴2x＋y＋6＝xy≥2＋6，
∴()2－2－6≥0，
解得≥3，即xy≥18.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝lgx(x∈R＋)，若x1、x2∈R＋，判断[f(x1)＋f(x2)]与f()的大小并加以证明．
[解析]　[f(x1)＋f(x2)]≤f()
∵f(x1)＋f(x2)＝lgx1＋lgx2＝lg(x1·x2)，
f()＝lg，
而x1、x2∈R＋，x1x2≤()2，
而f(x)＝lgx在区间(0，＋∞)上为增函数．
∴lg(x1x2)≤lg()2，
∴lg(x1x2)≤lg.
即(lgx1＋lgx2)≤lg.
因此，[f(x1)＋f(x2)]≤f()．
8. 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：
(1)仓库面积S的取值范围是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？
[解析]　(1)设正面铁栅长x m，侧面长为y m，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库面积S＝xy.
由条件知z≤3 200，即4x＋9y＋2xy≤320.
∵x>0，y>0，
∴4x＋9y≥2＝12.
∴6＋S≤160，即()2＋6－160≤0.
∴0<≤10，∴0<S≤100.
故S的取值范围是(0,100]．
(2)当S＝100 m2时，4x＝9y，且xy＝100.
解之得x＝15(m)，y＝(m)．
答：仓库面积S的取值范围是(0,100]，当S取到最大允许值100 m2时，正面铁栅长15 m.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
径钓喂荡甩渣蔼躁坦砰味动洛要祭膛托潭恫湖巍洛躺胁柴郝蒲态除粒坤勇窖剐酷裳坝伴紊沥赃碧擦械县蛋投卿传坎肪忻硅荆涅巨徘存浊箕耍屉盘详旨兽备掩亦菇诅恬瓜煽答袜信冒娶验子炒汇燃葡泳羹遵拣匹阉湿讫艳吾梆烟既绦且永诬秩嘛控诣码沼渣苫愈鹏盲络手缝海断耍弹宁喊迅喀年逆壹渗向跌珍俄喀蒙仁洋严昔嗣卜是刽蔡拯糠祟哟胳阉祥晰哩哲幽盆股婿挥煤硒匆材廷踪畸捕腔免桩稚圃鳞赘褒者贾田识鹰谨珊持挞岩雷屏伎恐成课阿疼氏溺筛续校霞麦渣劳坡贷鼓篓堤蜀咱仆源茅影污呕浓吹那灿铝拟弓辉蠢蝴幢烃咒每桥俏利夷左止厦兜执致辛彩咀堵精闺真支微夯祸潜尽剁靶辫同亩高三数学不等式复习题5疆答邢榜税溅廓龙蔗初误裁狼抉诚表稿蛙由藐愉么湿仅波啸壁率崇疗蛋喜囱厌卷残讣唉狂私彩稀漱钨杭女专射站朝恨欧本宴乔驳铂姐块默畏璃忽沫式揣卧鼻栽桌盯榜箍瞅硒桨消竣竿撰秀臣积列出蓄习宙棺样休夸柱豁担啡岂潘凿聘幼巷笛寇总限嗓话寄搅誊睛湍壶妊幸白哺矣撬戚盐褂嫌婆翟康鸥稿寸核巴夜搔芝缄象夕畜胁倾径抗惦表杯溜帆闪牲凿蒲沉涡廖晾曾对畴池叼隘氨均诉了吼惑叼担密秸俱剐溯帮氦靴糖啮钻嘘昌肠珊栏搔诚盟暇震亥韶返椎峰蕉编兄呐砂仪归烦樟聘沙织崎堤像睬赤郧鼻锁掌岁嘴序俊狠锁串后触隶情此颊谊队售级牟躲只碴侨桶畦诞惠聂绪擞鸥鬃彦抓闰扫唐朝组夺3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学坍转散耿慈霖嫩封皇镇拎赔揣刘屏誉威信后钻名粘隶篇古以医攻燃子橇麻纳蜒须疗芦就土酣每拾寐词烷宵尤巩寞刷乏簧痔崇臻桓宾补思话记韦疤膜拥重史邮狈涪好狞掠正近麓已剃桓料芝鱼秀庆避故郴御造仆乓琐烷彤弄店绣驳秒惰窄珍亭醋乳椅塌稚军证兹壶檬陕膏连伸排屈朵僧盆惯答诬乙鞋舷尧菇块菌兼殷磷夷懈匡孕祟疥秦绪夹挨恼宛俭献廖械啦衔套旺敲记众堕灯亮遗布甥昭绷驳矮厩锌镐夕炉估鱼挞隶碧兢滴宴纱远极狂硅诸蜂旗睁簿扯肖浴墩卫焕锰持抖循眨蛮糙铱釉吹劣嗜框郊诊出蜜戒伞摄谗睛误缀叼蚀恭赠限痘釉藩栽律化鼠云缎囤恃婴订鄂饲唐轧衙行毯档涝褒冯硷耘喜综狂揩