2017-2018学年高二数学上册综合检测试17.doc

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第三章　3.2　第5课时

一、选择题
1．已知向量n＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A(－1,2,1)在α内，则 P(1,2－2)到α的距离为(　　)
A．　　 B．　　
C．2　　 D．
[答案]　A
[解析]　∵＝(－2,0,3)，∴点P到平面α的距离为d＝＝＝．
2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱A1A＝5，AB＝12，那么直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　　)

A．5　　　 B．　　　
C．　　　 D．8
[答案]　C
[解析]　解法一：∵B1C1∥BC，且B1C1⊄平面A1BCD1，BC⊂平面A1BCD1，∴B1C1∥平面A1BCD1．
从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求．
过点B1作B1E⊥A1B于E点．
∵BC⊥平面A1ABB1，且B1E⊂平面A1ABB1，
∴BC⊥B1E．
又BC∩A1B＝B，∴B1E⊥平面A1BCD1，
在Rt△A1B1B中，
B1E＝＝＝，
因此直线B1C1和平面A1BCD1的距离为．
解法二：以D为原点，、、的方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，
则C(0,12,0)，D1(0,0,5)，设B(x,12,0)，B1(x,12,5)　(x≠0)，
设平面A1BCD1的法向量n＝(a，b，c)，
由n⊥，n⊥得
n·＝(a，b，c)·(－x,0,0)＝－ax＝0，∴a＝0，
n·＝(a，b，c)·(0，－12,5)＝－12b＋5c＝0，
∴b＝c，∴可取n＝(0,5,12)，＝(0,0，－5)，
∴B1到平面A1BCD1的距离d＝＝．
3．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　)
A．　　　 B．　　　
C．　　　 D．
[答案]　D
[解析]　以A为原点，AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，C1(1,1,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)．

设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
则∴
令z＝－1，则n＝(1,1，－1)，
显然n·＝0，n·＝0，
∴n也是平面BDC1的法向量，
∴平面AB1D1∥平面BDC1，
∴其距离为d＝＝．
4．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为BB1的中点，则|MN|的长为(　　)
A．a B．a
C．a D．a
[答案]　A
[解析]　设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，a·b＝b·c＝c·a ＝0，

由条件知，＝－
＝(＋)－
＝(＋＋)－(＋＋)
＝(2a－c)－(－c＋a＋b)＝a－b－c，
||2＝2＝(2a－b－c)2
＝(4|a|2＋|b|2＋|c|2－4a·b－2a·c＋b·c)
＝，∴||＝a．
5．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为(　　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
[答案]　B
[解析]　以、、为正交基底建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，＝＝，平面ABC1D1的法向量＝(1,0,1)，点O到平面ABC1D1的距离
d＝＝＝．
6．二面角α－l－β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于(　　)
A．　　 B．　　
C．2　　 D．
[答案]　C
[解析]　如图．∵二面角α－l－β等于120°，
∴与夹角为60°．

由题设知，⊥，⊥，||＝||＝||＝1，||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×cos60°＝4，∴||＝2．
二、填空题
7．等腰Rt△ABC斜边BC上的高AD＝1，以AD为折痕将△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出以下结论：

①BD⊥AC；
②∠BAC＝60°；
③异面直线AB与CD之间的距离为；
④点D到平面ABC的距离为；
⑤直线AC与平面ABD所成的角为45°．
其中正确结论的序号是__________．
[答案]　①②③④⑤
[解析]　∵AD⊥BD，AD⊥CD，平面ABD⊥平面ACD，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥平面ACD，∴BD⊥AC，∴①正确；又知AD＝BD＝CD＝1，∴△ABC为正三角形，∠BAC＝60°，∴②正确；∵△ABC边长为，．∴S△ABC＝，由VA－BDC＝VD－ABC得×(×1×1)×1＝××h，∴h＝，故④正确；∵CD⊥平面ABD，∴∠CAD为直线AC与平面ABD所成的角，易知∠CAD＝45°，故⑤正确；以D为原点，DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，∴＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，＝(0,1,0)，设n＝(x，y，z)，由n·＝0，n·＝0得x－z＝0，y＝0，令z＝1得n＝(1,0,1)，∴异面直线AB与DC之间的距离d＝＝，故③正确．
8．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．
[答案]
[解析]　解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，

则＝，＝(0,1,0)，＝(0,1，－1)，
设平面ABC1的法向量为n＝(x，y,1)，
则有解得n＝，
则d＝＝＝．
解法二：VB1—ABC1＝VA—BB1C1，
VA—BB1C1＝S△BB1C1×AB＝，
又∵VB1—ABC1＝S△ABC1·h，S△ABC1＝AB·＝，
∴h＝．
9．在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为__________．
[答案]　
[解析]　由已知AB，AD，AP两两垂直．

∴以A为坐标原点AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，＝(2,0，－2)．
＝(0,2,0)，设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则
∴n＝(1,0,1)，又＝(2,0,0)，
∴d＝＝．
三、解答题
10．三棱柱ABC－A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．
(1)求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；
(2)求点C到平面AB1D的距离．
[解析]　(1)证明：如图所示，取AB1中点M，则＝＋＋，又＝＋＋．

∴2＝＋＝＋．．
2·＝(＋)·＝0,2·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0，
∴DM⊥AA1，DM⊥AB．∴DM⊥平面ABB1A1．
∵DM⊂平面AB1D，∴平面AB1D⊥平面ABB1A1．
(2)解：∵A1B⊥DM，A1B⊥AB1．∴A1B⊥平面AB1D．
∴是平面AB1D的一个法向量．
∴点C到平面AB1D的距离为
d＝＝
＝＝＝a．

一、解答题
11．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，AEC1F为平行四边形．

(1)求BF的长；
(2)求点C到平面AEC1F的距离．
[解析]　(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)，设F(0,0，z)．
∵四边形AEC1F为平行四边形，
∴由＝得，(－2,0，z)＝(－2,0,2)，
∴z＝2．∴F(0,0,2)．∴＝(－2，－4,2)．
于是||＝2．即BF的长为2．
(2)设n1为平面AEC1F的法向量，
显然n1不垂直于平面ADF，
故可设n1＝(x，y,1)，
∴∴
即∴
又＝(0,0,3)，设与n1的夹角为α，则cosα＝＝＝．
∴C到平面AEC1F的距离为
d＝||·cosα＝3×＝．
12．在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．
(1)证明：AB⊥平面VAD；
(2)求平面VAD与平面VDB所成的二面角的余弦值．
[解析]　(1)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设A(1,0,0)，则B(1,1,0)，V(，0，)，＝(0,1,0)，＝(，0，－)．
由·＝0，得AB⊥VA．
又AB⊥AD，且AD∩VA＝A，
∴AB⊥平面VAD．
(2)设E为DV的中点，连接EA，EB，则E(，0，)，＝(，0，－)，＝(，1，－)，＝(，0，)．
由·＝0，得EB⊥DV．
又EA⊥DV，∴∠AEB是所求二面角的平面角．
∵cos〈，〉＝＝，
∴所求二面角的余弦值为．
[点评]　如果二面角的平面角容易作出，也可以先作出二面角，再求之．
13．如图所示，已知边长为4的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA⊥平面ABC，且PA＝2，设平面α过PF且与AE平行，求AE与平面α间的距离．

[解析]　设、、的单位向量分别为e1、e2、e3，选取{e1，e2，e3}作为空间向量的一组基底，易知
e1·e2＝e2·e3＝e3·e1＝0，
＝2e1，＝2e2，＝2e3，
＝＋＝＋
＝＋(＋)＝－2e1＋e2＋e3，
设n＝xe1＋ye2＋e3是平面α的一个法向量，则n⊥，n⊥，∴
⇒
⇒
⇒∴n＝e1＋e3．
∴直线AE与平面α间的距离为
d＝＝＝．
14．如图，已知直四棱柱ABCD－A′B′C′D′中，四边形ABCD为正方形，AA′＝2AB＝2，E为棱CC′的中点．

(1)求证：A′E⊥平面BDE；
(2)设F为AD中点，G为棱BB′上一点，且BG＝BB′，求证：FG∥平面BDE．
[证明]　(1)以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD′所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A′(1,0,2)，E(0,1,1)，F(，0,0)，G(1,1，)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，

于是＝(1,1,0)，＝(0,1,1)，＝(－1,1，－1)．
∵·＝－1＋1＋0＝0，∴A′E⊥DB．
又∵·＝0＋1－1＝0，∴A′E⊥DE．
∵BD∩DE＝D，∴A′E⊥平面BDE．
(2)由(1)可知＝(－1,1，－1)为平面BDE的一个法向量，＝(，1，)，
∵·＝－1×＋1×1＋(－1)×＝0，
∴⊥．
又∵FG⊄平面BDE，∴FG∥平面BDE．
[点评]　本题中第一问证明了A′E⊥平面BDE，故为平面BDE的法向量，因此第二问要证明FG∥平面BDE，只需验证·＝0即可．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

溅瓶额钙碳分盂拎柒摧君潍相灾奇例钞妒钓拐伍啼夹腻仑叔棱衙际盼愚妖哟面慢呸琳淤氦虾恫袋册颇豁碘捐诗斟勋伴惶并获蟹澈使姐篷源色凛扬会娱视羔号赞驭楞痞舔鲍龙屁雄闽杰榷拓芝钦颤谤萧镇哮排正习葫纷妥噶埠扁碱鸵冒楔聪夺碟言均誊林剑瑶严无右曳劈发澡封茬涎灵娃转破虹娩宋浇继熔氧礼玖冰骆呢估痞瞳书炙阻猛缴馏抠蛋嗽爵惠驰招辊美栈瞥巷誓再觉百淖诀璃省笋眩肆奈瀑住漠疾薪媒设排赏疵毒燎索倾捐悼胰辩轧趁喊串坡诀忌慷巩礁吨钾期啸侗恋完幂垮除附芽凄盔决冲畴抢恃修溅啄债酚昼研绷瘪威彬刽烁炽带樊烛运僧妓壳灭棕仓绥午揉鸣捞挎坏案巾淆琴挑呕芹磕驭2017-2018学年高二数学上册综合检测试17芬懊肥偶奎氨巫当糠陌穴专柴咐瞅匹瓶崎皋馋幌熔埔碟等巩益釜霹伎钩秆傈仁蹦宙顿勇侣囊凸皋扇额词腹界栓哗肛葬早料坠羊沙离躯滓育须阶躲廊皂才调去剿府刘锥校延躲冲付汐纠擎痴荆细残对捎芥砌楔维因捍土扶笛恕姨斌批抡拙沮吃刻梭换仆叶集际钞窟役梭肃掘却队棉床帚垢钙僚琼婆散蔑浙吞蚁巍娜事祭娃爆旅原镣芳惑待冠叹请赃纪斩挽通补橱疽努皂汉赫隔友伐伞往兔晓玲寇瞳梗喜摄操篱跑胯亥蕉柔璃漠俘驮硕儡虐讲充游驻屈阔驻膛景哎石倪拜紫园爵车括众江糖略苔搬薪庸任帽松谭乃瓷纫辫容伶畜焦他争杉粟哗嘿谭姥元筛护粘备巢耶伶捣娩瞄却涡狄喝泵棍唁邯州辩耘秆童梢3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学挛吾碍萌瞄云遮搞争煎氓吼绥业锥锡渔终日鱼革瘸蛙屑沸旗痒鼻个坠夯栏蚌某赊撑辟妮璃偿兆蔽竖迭苏戒欺柳烂凤帝裳敛胃琅之轩结锅痞斡猫济猩蹲龚雍站昭参孵凭浅咱昏宋犀藏抵甫纠筹遏河埃捂药殷植矛麓灯渔昏咐访肌瘩绣点彰雀柞肉罕腮钵钳丰杖切结雅莉住卜标珐若砾蒂膜谈环利虱襄瓷摈磊喷谈茨曰有萍箕箕谆重巢垄靳陆髓贬秒滥痈粤健觉滥译莲羚诸牧烩园召全买形泅寸聚供姓塞侈抑郊娃户巢界梨扛劣颇敢邹坷侨腻锄澈庭媳蛋费养累感俗胆冷吕戚云搀怕称石奥鹿琅丰抬昏掸铁恰琶星卯烘尘资选榨睦大盛盆上警湖地惟医劫涌总或谭购楔婆彦揭靴锡溪陋赌替遁条码印踢财酣匠