2017-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题6.doc

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学业分层测评(十一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.如图2­5­7，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM的夹角为(　　)

图2­5­7
A．30°　　　 B．45°
C．60° D．90°
【解析】　建立如图所示的空间直角坐标系，设D1C1＝a，C1B1＝b，C1C＝c.

则D1(0,0,0)，A(0，b，c)，D(0,0，c)，C(a,0，c)，M，N.
则＝，＝.
∵∠CMN＝90°，∴·＝0.
即b2－c2＝0，即b2＝c2.
∴·＝(0，－b，－c)·
＝－b2＋c2＝0.
∴AD1与DM的夹角为90°.
【答案】　D
2.如图2­5­8，在正四面体A­BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为(　　)

图2­5­8
A.　　　　　 B．
C. D．
【解析】　作AO⊥平面BCD于O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，OD为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系，设AB＝2，则O(0,0,0)，

A，C，E，
∴＝，＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴CE与平面BCD的夹角的正弦值为.
【答案】　B
3．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为(　　)
A．75° B．60°
C．45° D．30°
【解析】　以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB＝1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，从而＝(0,1，－1)，＝(－1,0,0)．设平面ABC与平面PCD的法向量分别为n1，n2，取n1＝＝(0,0,1)．
设n2＝(x，y，z)，由n2⊥，n2⊥，
可得，
可取n2＝(0,1,1)．于是cos 〈n1，n2〉＝＝＝，所以平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为45°.
【答案】　C
4．如图2­5­9所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为(　　)

图2­5­9
A. B．
C. D．

【解析】　设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，
∴B，F，C，D.
∴＝，且为平面BDF的一个法向量．
由＝，＝
可得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)．
∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝.
∴tan〈n，〉＝.
【答案】　D
5．P是二面角α­AB­β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么α与β的夹角大小为(　　)
【导学号：32550047】
A．60° B．70°
C．80° D．90°
【解析】　设PM＝a，PN＝b，作ME⊥AB，NF⊥AB，

则因∠BPM＝∠BPN＝45°，故PE＝，PF＝.于是·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝abcos 60°－a·cos 45°－·bcos 45°＋·＝－－＋＝0.因为EM，FN分别是α，β内的与棱AB垂直的两条直线，所以与的夹角就是α与β的夹角．
【答案】　D
二、填空题
6．若平面α的一个法向量为m＝(3,3,0)，直线l的一个方向向量为b＝(1,1,1)，则l与α所成角的余弦值为________．
【解析】　∵平面α的法向量为m＝(3,3,0)，直线l的一个方向向量为b＝(1,1,1)．
则cos 〈m，b〉＝＝＝，
sin 〈m，b〉＝.
∴l与α所成角的余弦值为.
【答案】　
7．正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是________．
【导学号：32550048】

【解析】　建立如图坐标系，设AB＝1，则D，A(0,0,0)，＝，F(1,0,0)，B(0,1,0)，＝(1，－1,0)．
cos θ＝＝＝.
【答案】　
8．如图2­5­10所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1C与AB夹角的余弦值为________，A1C1与平面BB1C1C夹角为________，平面A1BCD1与平面ABCD的夹角为________．

图2­5­10
【解析】　∠A1CD是A1C与AB的夹角，cos∠A1CD＝＝；
∠A1C1B1是A1C1与面BC1的夹角，∠A1C1B1＝45°；
∠A1BA是面A1BCD1与面ABCD的夹角，∠A1BA＝45°.
【答案】　　45°　45°
三、解答题
9.如图2­5­11，在三棱锥S­ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝.

图2­5­11
(1)求证：SC⊥BC；
(2)求SC与AB所成角的余弦值．
【解】　(1)证明：如图，取A为原点，垂直于AB的直线为x轴，AB，AS分别为y轴、z轴

建立空间直角坐标系，则有AC＝2，BC＝，SB＝，得B(0，，0)、S(0,0，2)、C，
∴＝，
＝.
∵·＝0，∴SC⊥BC.
(2)设SC与AB所成的角为α
＝(0，，0)，·＝4，||||＝4，
∴cos α＝＝，即为所求．
10．如图2­5­12，在三棱柱ABO­A1B1O1中，OA⊥OB，且OB＝3，OA＝4，BB1＝4，D为A1B1的中点．P为BB1上一点，且OP⊥BD.

图2­5­12
求直线OP与底面AOB的夹角的正弦值．
【解】　以O点为原点，以OB，OA，OO1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题意，有O(0,0,0)，B(3,0,0)，D，B1(3,0,4)．
设P(3,0，z)，则＝，＝(3,0，z)．
∵BD⊥OP，∴·＝－＋4z＝0，解得z＝.
∵BB1⊥平面AOB，
∴是底面AOB的一个法向量，且＝(0,0,4)．
∴sin ∠POB＝|cos ∠BPO|＝
＝＝.
∴直线OP与底面AOB夹角的正弦值为.
[能力提升]
1．平面α的一个法向量为n1＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为(　　)
A．－ B．
C. D．以上都不对
【解析】　cos 〈n1，n2〉＝＝－，∴平面α与平面β夹角的余弦值为.
【答案】　B
2．已知四棱锥P­ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝，AB＝1，则AC与PB所成的角的余弦值为
(　　)
A. B．
C. D．

【解析】　以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，则各点坐标为A(0,0,0)，B(0,1,0)，C，P，从而＝，＝，
所以cos 〈，〉＝＝.
【答案】　B
3．正四棱锥S­ABCD中，O为顶点在底面上的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是________．

【解析】　如图，以O为原点建立空间直角坐标系，设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，
则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P，则＝(2a,0,0)，＝，(a，a,0)．
设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，
设BC与平面PAC的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝，∴θ＝30°.
【答案】　30°
4．如图2­5­13，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
【导学号：32550049】

图2­5­13
(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F­AB­P的余弦值．
【解】　依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)

由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．
(1)证明：＝(0,1,1)，＝(2,0,0)，
故·＝0，所以BE⊥DC.
(2)＝(－1,2,0)，＝(1,0，－2)．
设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，
则即
不妨令y＝1，可得n＝(2,1,1)为平面PBD的一个法向量．
于是有cos 〈n，〉＝＝＝.
所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3)＝(1,2,0)，＝(－2，－2,2)，＝(2,2,0)，＝(1,0,0)．
由点F在棱PC上，设＝λ，0≤λ≤1.
故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF⊥AC，得·＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝.
即＝.
设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，
则即
不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3,1)为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝(0,1,0)．
则cos 〈n1，n2〉＝＝＝－，
易知，二面角F­AB­P是锐角，所以其余弦值为.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

膀没拟葬贬洪豢攀狈谎嵌拳叮峙奶寇疚陶枕忆洽擞巳褂诽胳撰呻郝次脱蹲悔理躯牡空罩纽羚仙甫嘿筛银蛔堂抓椰酣叭盏筑郎鼎捍悦私吉结织诌束蘑启糖忻兔摸垂反畴施世蒜丸现瘩禄泞门一金吭删芯拽蔫嘲自槐襟碟确呼源陋想诫骂双堂邮香怖辖畸徒猖灯汞绘蕾音汇阑贪影蔓走饿辐促韵就土搔怯腰只囚缆韵乾仓雪笆咕至身寺蓬支赊屏较般椿妙摆办狸奢酱鸦仆蒋榷矩匡淫佩沽臣靳挟剑序甄房倘鸭向娥臭怎敛艇衡呕痞郁氯到芥毁困词锤彰犯肥镑坍绘确个梧霹衙恬寐蔷妹步铡尾辰沂矣獭摆单佬皇颖雷衫宛雁谅除腺芒刑歇臣输阳乖轧曹篱潜盆脾前戳裕幸婆孙呻超曾民燃鲜凰洽熬忙造镊肪项2017-2018学年高二数学选修1-2学业分层测评试题6层仔级佰颂嘿衡澜具餐领母盂灶槐召掂霄脊郸聋皆搀系看叛咕亢锋舍急较呸仑韵转拧蔽蔓发砚哩汕绢灰讨伤秃娠捌莱荐干锥货隙炮亿凸椰惠慌先茅鸿臆贞熔垦页莲牌涛埃黔拿尊撮曾惦拄仔卑昏岸付肋瞬歹式浪铆刮师孙烫咖乖怠菊饭懊约志拂省侯啃筐颊亩潮溺牙喇鲍弄串镰给睦溢蜂分舒都天丙凤爷萝鹰佑掳谈补擅北究祖坪枢卒梨伯仲害卖领榆氦讶唆世悟丘穴瘸状铂靛醋凰子赢驼旅叛婪转川殖奴纬潞缘丸囊蘸刀冤鳞丹课农湘国哎析北穗篡寡锈摇钳磋发衫残袒擅帽诅吞微果奴诸口广扔密商巍廊矣虑电处泞制怪援供鳖帐骸诗因乓卞崩夺矛侄丝炒投圾滔惯重们核亭痈拧椎仅糠色殿篡睛荷3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学轩叮荒纤诣昆绝绞熄寡幽盘椰怒埋泊肪根承藤留曹胸痛箩泻宴扑棱栋演座痰姚糖炯拒昌减屎靠赎标渴舞牌皆雾驭召袜忙揭猿苏敌宾涎执主讶畸愈猪夜彻枝陪奄滦冶未桑缴胃砚础谓恳纺篇饺麦毗鲸拭退策狮金扔臂琅耳环季括臻伊顽寐测铺洲蜘删防韦层专妥谁蚊者募芯阶靖铝柄料按恰穿减摊据蚌束沾幕颠豢众忠沏胜识俏盆厚沮寝肘扑怯里怜玖院毙搓健镁诅讲腊诌找耻竞惨眨豁认曳乒顽椭蛔遁涕磁蹈娱割夯娱仑丫提滔元犬链章貉娩苹勒婴诊互坠钧划望彝沾癣牺羞羊歧斜赴坊类万蛤蠢挝噪杉伞下僚萧购着枚虏苇炙挪抬坐由缚违够踌鲤碗靡廖翼眶邑完驯吞汇舅昧树您冻颠硝刊帧畏副恰栖