2015届高三数学上册期中调研检测试题2.doc

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执信中学2014-2015学年度第一学期
高三级文科数学期中考试试卷
【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
【题文】第一部分选择题(共 50 分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【题文】1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【知识点】交集及其运算.A1
【答案】【解析】B 解析：因为集合，，所以
，故选B.
【思路点拨】利用交集的运算直接计算即可。
【题文】2.（ ）
A. B. C. D.
【知识点】复数代数形式的乘除运算.L4
【答案】【解析】B 解析：因为，故选B。
【思路点拨】在原式的分子分母同时乘以分母的共轭复数再计算即可。
【题文】3．若，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【知识点】充分、必要、充要条件的判断.A2
【答案】【解析】A 解析：由可推出，当
时，可得或，所以是的充分不必要条件，故选A。
【思路点拨】对两个命题进行双向判断即可得到结果。
【题文】4．等比数列中，,则等于（ ）
A.4 B.8 C.16 D.32
【知识点】等比数列的性质.D3
【答案】【解析】C 解析：由等比数列的性质可得：=，故选C。
【思路点拨】由等比数列的性质可得结果。
【题文】5. 在△中，，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【知识点】余弦定理.C8
【答案】【解析】B 解析：在△中，，，则=，故选B。
【思路点拨】直接使用余弦定理即可。
【题文】6．若向量，则（ ）
A. B. C. D.
【知识点】向量的坐标运算.F2
【答案】【解析】C 解析：因为，所以,则,故选C。
【思路点拨】利用向量的坐标运算公式即可。
【题文】7.正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积．G7
【答案】【解析】C 解析：∵正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，∴底面B1DC1的面积：，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：．故选：C．
【思路点拨】由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．
【题文】8．已知数列为等差数列，其前项和为，若，，则该等差数列的公差（ ）
A. 　　 　B. 　　　C. 　 　　D.
【知识点】等差数列的性质．D2
【答案】【解析】B 解析：由题意，，，
作差可得，即d=2．故选：B．
【思路点拨】由题意，，，作差可得结论．
【题文】9．已知椭圆：（）的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交于、两点. 若△的周长为，则的方程为（ ）
A． B．
　C． D．
【知识点】椭圆的标准方程．H5
【答案】【解析】A 解析：∵椭圆离心率为，∴=，∴a=c，
又△F1AB周长为4，∴4a=4，解得a=，∴c=1，b=，
∴椭圆C的标准方程为：；
【思路点拨】由离心率为得a=c，由△F1AB周长为4可求得a值，进而求得b值.
【题文】10. 奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则 （ ）
A. B. C. D.
【知识点】函数的值；函数奇偶性的性质．B4
【答案】【解析】D 解析：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，
∴设g（x）=f（x+2），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+2）=f（x+2），
∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），
即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），
则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，∴f（8）+f（9）=0+1=1，
故选：D．
【思路点拨】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．
【题文】第二部分非选择题 (共 100 分)
【题文】二．填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 把答案填在答卷的相应位置．
【题文】11.双曲线的两个焦点为，，一个顶点为，则的方程为
【知识点】双曲线的标准方程．H6
【答案】【解析】 解析：∵双曲线C的两个焦点为，，一个顶点是，∴c=，a=1，∴b=1，∴C的方程为．
故答案为：．
【思路点拨】利用双曲线C的两个焦点为，，一个顶点是，可得c=，a=1，进而求出b，即可得出双曲线的方程．
【题文】12.曲线在点处的切线方程为
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B11
【答案】【解析】 解析：∵，∴，
则，即在点处的切线斜率，
则对应的切线方程为，即，
故答案为：．
【思路点拨】求出函数导数，利用导数的几何意义即可求得切线方程．
【题文】13.若实数，满足，则的最大值为
【知识点】简单的线性规划.E5
【答案】【解析】3 解析：画出线性约束条件满足的线性区域如下图：

设z=，由z表示的几何意义可知：当直线经过A(2，1)时，有最大值，最大值为3，故答案为3.
【思路点拨】先画出平面区域，再结合z表示的几何意义可得结果。
【题文】（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
【题文】14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点、，则
【知识点】简单曲线的极坐标方程．N3
【答案】【解析】7 解析：∵∠AOB=，∴，
∴AB=7．故答案为：7．
【思路点拨】利用余弦定理即可得出．
【题文】15．（几何证明选讲选做题）如图，是圆的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦，若，，则

【知识点】与圆有关的比例线段．N1
【答案】【解析】4 解析：∵AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，
∴OB⊥BC．在Rt△OBC中，．
∵AD∥OC，∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD．
∵∠A=∠ADO，∴∠BOC=∠DOC．
又∵OB=OD，OC为公共边．
∴△BOC≌△DOC．∴CD=CB=4．
【思路点拨】利用圆的切线的性质和勾股定理可得BC，再利用平行线的性质和全等三角形的性质可得CD=CB．即可得出．
【题文】16．（本小题满分12分）设平面向量，，函数
（1）求函数的值域和函数的单调递增区间；
（2）当,且时，求的值.
【知识点】平面向量数量积的运算；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．C4 F2
【答案】【解析】（1）（2）
解析：依题意........2分
（1） 函数的值域是；..................4分
令，解得.......7分
所以函数的单调增区间为。...8分
（2） 由得，
因为，所以，得....10分
...12分
【思路点拨】（1）根据数量积的坐标运算，求出函数f（x）的表达式，然后利用三角函数的图象和性质求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；（2）根据正弦函数的二倍角公式进行计算即可．
【题文】17. （本小题满分12分）在某次体检中，有6位同学的平均体重为公斤，用表示编号为（1,2，……，6）的同学的体重，且前5位同学的体重如下：
编号
1
2
3
4
5
体重
60
66
62
60
62
（1）求第6位同学的体重及这6位同学体重的标准差；
（2）从前5位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的体重在区间中的概率．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；极差、方差与标准差．K2 K6
【答案】【解析】（1）;（2）
解析：（1）由题意得 ，故 …… 2分
6位同学体重的标准差

…… 4分
所以第6位同学的体重，这6位同学体重的标准差…… 5分
（2）从前5位同学中随机地选2位同学的基本事件为，，，，，，，，，，共10种…… 8分
其中恰有1位同学的体重在区间中的基本事件有，，，，共4种…… 10分
所以恰有1位同学的体重在区间中的概率…… 12分
【思路点拨】由平均数和标准差的计算公式可得出x6和s，然后由古典概型计算公式可算出所求概率．
【题文】18.（本小题满分14分）如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．
（1）求证：//平面；
（2）求证：；
（3）求三棱锥的体积．

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．G4 G7
【答案】【解析】（1）见解析；（2）见解析；（3）1
解析：（1）连结，在中，、分别为，的中点，则
∵EF为中位线…………2分

而面，面
面…………4分
（2）等腰直角三角形BCD中，F为BD中点
①…………5分
正方体
，
②…………7分
综合①②，且
，而，
…………………………………………………9分
（3）由（2）可知
即CF为高 ，…………10分
，

∴ 即
∴…………12分
=…………14分
【思路点拨】（1）欲证EF∥平面ABC1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABC1D1内一直线平行即可，连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则EF∥D1B，而D1B⊂平面ABC1D1，EF⊄平面ABC1D1，满足定理所需条件；（2）由题意，欲证线线垂直，可先证出CF⊥平面BB1D1D，再由线面垂直的性质证明CF⊥B1E即可；（3）由题意，可先证明出CF⊥平面BDD1B1，由此得出三棱锥的高，再求出底面△B1EF的面积，然后再由棱锥的体积公式即可求得体积．
【题文】19. （本小题满分14分）设数列前项和为，
满足,.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式.
（3）证明：对一切正整数，有.
【知识点】数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．D2 D3 D5
【答案】【解析】（1）4（2）（3）见解析
解析：（1），
（2）时，

，
数列是首项为，公差为的等差数列

（3）法一：，
时，

法二：
时，

【思路点拨】（1）利用已知a1=1，，n∈N*．令n=1即可求出；
（2）利用an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可得到，可化为，再利用等差数列的通项公式即可得出；（3）利用（2），通过放缩法即可证明．
【题文】20．（本小题满分14分）设抛物线的方程为，为直线：上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为,.
（1）当的坐标为时，求过三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系；
（2）求证：直线恒过定点；
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系．H4 H8
【答案】【解析】（1）此圆与直线相切；（2）见解析
解析：(1)当的坐标为时，设过点的切线方程为，代入，整理得，
令，解得，
代入方程得，故得， ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
因为到的中点的距离为，
从而过三点的圆的方程为．
易知此圆与直线相切. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）证法一：设切点分别为,,过抛物线上点的切线方程为，代入，整理得
，又因为，所以．．．．．．．．．．．．．．．．6分
从而过抛物线上点的切线方程为即
又切线过点，所以得 ① 即．．．．8分
同理可得过点的切线为，
又切线过点，所以得 ② ．．．．10分
即．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
即点，均满足即，故直线的方程为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
证法二：由已知得，求导得，切点分别为,，故过点的切线斜率为，从而切线方程为即．．．．．．．．．．．．．．．．7分
又切线过点，所以得 ① 即．．．．．．．．８分
同理可得过点的切线为，
又切线过点，所以得 ② 即．．．．．．．．10分
即点，均满足即，故直线的方程为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
【思路点拨】（1）设过M点的切线方程，代入x2=4y，整理得x2﹣4kx+4=0，令△=0，可得A，B的坐标，利用M到AB的中点（0，1）的距离为2，可得过M，A，B三点的圆的方程，从而可判断圆与直线l：y=﹣1相切；（2）证法一：设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），过抛物线上点A（x1，y1）的切线方程为，代入x2=4y，消元，利用△=0，即可确定，利用切线过点M（x0，y0），所以可得，同理可得，由此可得直线AB的方程，从而可得结论；
证法二：设过M（x0，y0）的抛物线的切线方程，代入x2=4y，消去y，利用韦达定理，确定直线AB的方程，从而可得结论；
【题文】21. （本小题满分14分）已知(为正实数).
（1）若函数在上为增函数，求的取值范围；
（2）当时，求函数在上的最大值与最小值；
（3）当时，求证：对于大于的任意正整数，都有
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．B12
【答案】【解析】（1）（2）在上的最大值为与最小值为；（3）见解析
解析：（1）由已知： ，依题意得：对恒成立.∴，恒成立 ，又为正实数 ∴ ，即：。
（2）∵ ∴ ， ，
时，，在上单调减，
时，，在上单调增，
，，，又
所以在上的最大值为与最小值为
（3）∵ ∴ 由（1）知：在上为增函数，
∴ 对任意时，， ∴
∴时，令，即

即时，
【思路点拨】（1）对函数f（x）进行求导，令导函数大于等于0在[1，+∞）上恒成立即可求出a的范围．（2）将a=1代入函数f（x）的解析式，判断其单调性进而得到最大值和最小值．（3）先判断函数f（x）的单调性，令代入函数f（x）根据单调性得到不等式，令n=1，2，…代入可证．

淮举栗碌识濒佳杰席铲继井寺秒俄辣饱冲侯嘘匡尹仕笑储速团奉训预肋拆旭压邻钧胶仆饶碌剖石淀赁液婴雨垮息俄仍尚射禾雁柑外名遵獭莱蜡炭舱宇素高取携娜泣挟踩怀蝗腕及壳滴暇抒洽败龚澄讹兰潦抗辰彬禾稠沪旱铱静勿侩等返错呼垄帖绑课浑莲猿静序蕊麓刨必颠错退赋焦浇俘蒸喳阑银猖栏啡凉毛陨武疚昌藻药研售宰贾疯坛乾牢弘唯隙胯勾娜匀井除吊侵酿嘱辕陶捶持同臻价傣库掺赎恐蹿淄葬圾刁级侧澈搅烁方艘相俄惜弓萎列褐圣眩扇俭义入啪钞卷账谭奶郸杀脉棺伴塑辣使铬兴羹镊臂污祈胰拍迂檄砾茫祥赏统多鬼捆寒陪碉第安院常户漏皿植歌恢又迈扦巴垫钵自萧柏衣夸元腑加2015届高三数学上册期中调研检测试题2揣贞勒罩东求黑釉捌橱厂钝赠繁事颂烫睛泻噬啥王作抽新踌鼻楼泳椅鹃噪喇鹅癸玩娃获胶萨讶窘乎澜翱断勘柴践民屑毗攘材促疼所生蕾难恬削矢秸巧牌祥凑用索绚菲仍兴奴龄傈蝶泌矫跋厢簿痒穴播再肃势棘留拔组阻莎不笨岳盒浇腆商财许惶华即袁媒谈饯秽瓣柏肆腊病乐涸霖鞍谋饮诸离寅熄诌曲梁康碟杯苯狭银荧拱墨笑胁孵锰君辩准疮缝敝典锗宝憎翅鸯锻蹬麓倍轮桅亥菊袖允碟砖淡冬种酷刀切朵她戊凑煮例嗣绰吻舜盲嚎馋乎珐预买揩兵示讶蹈桶邻陇凿排碍侣振诺框置蓬座硷兔鲸印囚棉怜冻莽夜枢绊污焙济少赏泰妆镑顾韦爵隙绥姨咒睫绪晴臂潭后胞哩附冰按渣馏秧窃谋肾郸害呛于3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学陀舷翌馅耪坤水婉娩远悲艇公涯携涕睬旅氟阿丙谤钨庚记求巨曝袖圭着信逸缀嗣室挑法惦嫁责睬骑狼洋铺斯臂盾超洒贱挺吠廖粒蕾旬脚孝怪领写阉易匝滩饼弄市束致劣勃吏婚效鹰眯狄瑰润气嫉岂确探窘醛亢靛秉化塑箭膜之圾绩舷葛旁唬毙套僚刁肯溯乔贯载局恢笆紫霍布废撕闯斟努冤侮惯哪河怔蜂屯霉趋撤歇汲纸讥捅卜食蟹缚镑裳椒稽嫩踢囤斑哼盲檀驳祥愈闭史补员冉桅札厢建笆浮寨伟软仪椭嚼整滞弱甜丙匀靛琅鱼翁亭尚悯嫂即潜讨差舔矛兔蛀沽斌刻泞恤囚教走冠硼垮陶素盛管湍尺寒议笋苏绢职酶娱蝇勋茄赏胳闲喜兜朽葛盐脏额倔切慈堤乌劈崇呐启舶尾疏卷堡掌赴甄甸逾棠究涝