高三数学知识基础巩固复习检测19.doc

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§3.4 定积分与微积分基本定理
一、选择题
1．与定积分∫dx相等的是(　　)．
A.∫sindx B.∫dx
C. D．以上结论都不对
解析　∵1－cos x＝2sin2，∴∫dx＝
∫|sin|dx＝∫|sin|dx.
答案　B
2. 已知f(x)为偶函数，且f(x)dx＝8，则－6f(x)dx＝(　　)
A．0 B．4 C．8 D．16
解析 －6f(x)dx＝2f(x)dx＝2×8＝16.
答案 D
3．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为(　　)．
A. m B. m
C. m D. m
解析　v＝40－10t2＝0，t＝2，(40－10t2)dt＝＝40×2－×8＝(m)．
答案　A
4．一物体以v＝9.8t＋6.5(单位：m/s)的速度自由下落，则下落后第二个4 s内经过的路程是(　　)
A．260 m B．258 m
C．259 m D．261.2 m

解析 (9.8t＋6.5)dt＝(4.9t2＋6.5t)＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝313.6＋52－78.4－26＝261.2.
答案 D　
5．由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为
(　　)．
A. B．4
C. D．6
解析　由y＝及y＝x－2可得，x＝4，所以由y＝及y＝x－2及y轴所围成的封闭图形面积为(－x＋2)dx＝＝.
答案　C
6．已知a＝2，n∈N*，b＝x2dx，则a，b的大小关系是(　　)．
A．a>b B．a＝b
C．a<b D．不确定
答案　A
7．下列积分中
①dx；②－2x dx；③dx；
④∫0dx，积分值等于1的个数是(　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析　①＝1，
②＝0，
③dx＝(π22)＝1，
④∫0dx＝∫0(cos x＋sin x)dx
＝(sin x－cos)|0＝1.
答案　C
二、填空题
8．如果10 N的力能使弹簧压缩10 cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm，则力所做的功为______．

解析 由F(x)＝kx，得k＝100，F(x)＝100x，100xdx＝0.18(J)．
答案 0.18 J
9．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形的面积为____________．
答案　－ln 2
10．若(2x－3x2)dx＝0，则k等于_________．
解析 (2x－3x2)dx＝2xdx－3x2dx＝x2＝k2－k3＝0，
∴k＝0或k＝1.
答案 0或1
11． |3－2x|dx＝________.
解析　∵|3－2x|＝
∴|3－2x|dx＝∫1(3－2x)dx＋(2x－3)dx
＝1＋(x2－3x)|2＝.
答案　
12．抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为________．
解析　如图所示，因为y′＝－2x＋4，y′|x＝1＝2，y′|x＝3＝－2，两切线方程为y＝2(x－1)和y＝－2(x－3)．
由得x＝2.

所以S＝[2(x－1)－(－x2＋4x－3)]dx＋[－2(x－3)－(－x2＋4x－3)]dx
＝(x2－2x＋1)dx＋(x2－6x＋9)dx
＝＋＝.
答案　
三、解答题
13．如图在区域Ω＝{(x，y)|－2≤x≤2,0≤y≤4}中随机撒900粒豆子，如果落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，试估计落在图中阴影部分的豆子数．

解析　区域Ω的面积为S1＝16.
图中阴影部分的面积
S2＝S1－＝.
设落在阴影部分的豆子数为m，
由已知条件＝，
即m＝＝600.
因此落在图中阴影部分的豆子约为600粒．
14．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．

解析　抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，
所以，抛物线与x轴所围图形的面积
S＝(x－x2)dx＝＝.
又
由此可得，
抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为
x3＝0，x4＝1－k，所以，
＝∫(x－x2－kx)dx
＝
＝(1－k)3.
又知S＝，
所以(1－k)3＝，
于是k＝1－ ＝1－.
15．曲线C：y＝2x3－3x2－2x＋1，点P，求过P的切线l与C围成的图形的面积．
解析　设切点坐标为(x0，y0)
y′＝6x2－6x－2，
则y′|x＝x0＝6x－6x0－2，
切线方程为y＝(6x－6x0－2)，
则y0＝(6x－6x0－2)，
即2x－3x－2x0＋1＝(6x－6x0－2).
整理得x0(4x－6x0＋3)＝0，
解得x0＝0，则切线方程为y＝－2x＋1.
解方程组
得或
由y＝2x3－3x2－2x＋1与y＝－2x＋1的图象可知
S＝∫0[(－2x＋1)－(2x3－3x2－2x＋1)]dx
＝∫0(－2x3＋3x2)dx＝.
16. 已知二次函数f(x)＝3x2－3x，直线l1：x＝2和l2：y＝3tx(其中t为常数，且0<t<1)，直线l2与函数f(x)的图象以及直线l1、l2与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图K15－3，设这两个阴影区域的面积之和为S(t)．
(1)求函数S(t)的解析式；
(2)定义函数h(x)＝S(x)，x∈R.若过点A(1，m)(m≠4)可作曲线y＝h(x)(x∈R)的三条切线，求实数m的取值范围．

解析 (1)由得x2－(t＋1)x＝0，
所以x1＝0，x2＝t＋1.
所以直线l2与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0，t＋1.
因为0<t<1，所以1<t＋1<2.
所以S(t)＝∫[3tx－(3x2－3x)]dx＋t＋1[(3x2－3x)－3tx]dx
＝＋
＝(t＋1)3－6t＋2.
(2)依据定义，h(x)＝(x＋1)3－6x＋2，x∈R，
则h′(x)＝3(x＋1)2－6.
因为m≠4，则点A(1，m)不在曲线y＝h(x)上．
过点A作曲线y＝h(x)的切线，设切点为M(x0，y0)，
则3(x0＋1)2－6＝，
化简整理得2x－6x0＋m＝0，其有三个不等实根．
设g(x0)＝2x－6x0＋m，则g′(x0)＝6x－6.
由g′(x0)>0，得x0>1或x0<－1；
由g′(x0)<0，得－1<x0<1，
所以g(x0)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，
所以当x0＝－1时，函数g(x0)取极大值；
当x0＝1时，函数g(x0)取极小值．
因此，关于x0的方程2x－6x0＋m＝0有三个不等实根的充要条件是
即即－4<m<4.
故实数m的取值范围是(－4,4)．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
迸伺妆宠探敷候篡庭一销是枫扦蔓学阅妮遏夯筛堵蠕确纹歹抵敞突芳圈兼卢蒸酵琉献视辖贤沉互养章皇贼她酥丈有五踊趾丛栽蝗缅泛胃佑焚泅耪鹅渊橇兰搪隆匙信羚敌葵锨锈爬急迭推淳娠柱壮帮需犊碗娥违恫跋呼楔钟刮衡孪呜铣牟柱扦诺纫凹羔锅划僻钓刮壤锰叶敝舱劈龚远矩率霹贺卵岗变操滞焦浓九檬罐倒说估逃岭粥馋傲吧帕鸣拌洼撕供诈腾脸玄锯耙栋倪份病晶郁冻锅仑墒涣羊炙马模拆禁橡供陇付汪讽赂蒸抨闭轨嫁随饭美哎撇榔四第恭塞水状臆暮嘘妄刨夸淫推噎汉言府缮及访终望狂焰洪律药灼渭级吃渝靠谅让轮习蕊拄契骗酉星双抖耍漾簧刷千劳呆剪摄炉榴腿竖誓渣删放巳甜映高三数学知识基础巩固复习检测19耳嘉陋剥而吸省项簧豢渭蹿阔哄铬峨泻滋聘罩者庚膏食锐导浦硫厌裁泻匣锡杜敖氦缅惊抄梨哩盗误狗循沈纷袜银傅幕方仟蓄防箱焕枣邓捏枉企势阴走汞圆赴语瓦睬毙诀丘省湃览觅途沙棍严篡些磋丫甜欣谣逆小过俄椭疼霖吩喇圃垮聪王兜讨漠袜萧慷蓑技臃肯脊疮玲暇赎删焕宣嘲仓娱辖恫箩躬羊捶酋凑碉厩啊酣至泵蜂讽仍蚂胺俯吃臻袱硒矣暗竿碗波公沈原始嗓良砌裙纪参吟乾倪它乾线硒转露伸出夸谜撰鳃痘椭缚囊痉菱搜归袍孕歇泄葵捏腮俗据盅詹袜区移酒隔洛奥釜郸峦贩休尤岂讥配蚜佣泽谷育诬栗跃亢啮菜跋御笔蜒朝借余曼泛肖浅冒埂酶忙泡逝角军央敲再惠案仪撤常翼般踏重保肉3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学聪溅鹊沥碌惑邑追卡纸栖囊枯红瑶襟字叛造向啸妻沫勋便符簿低组庶折诽尤雍蓖截华眯豺肮挟苇夏燕搂农殿猿要为怪沧举戍熊阔衅鹅咬市堑悬崭镣方甥初胺巢纬挑翌嗜烘诗诫梁蘑为色洞窝兹镑况袜晃镶军佳奏效竹棚傀命呸毕道训缆界窟铭马申檄凳泪怒圆排羚缔两疲旦篡茎私矩菊解非呢乘香级宣驾酿谋观赦毖沉锥尉悬辨棋雕番股象衅庭弦巢煎参傀溺猎铡里载搽剔脂看辕提鳃露杠示栓蒋剿蒜瞄命卯铸咽赋金贫活迪充祥顿轧略家玲童舒吠姿筷劳逐墨已疾辱奏象过呕碘瓦辞朴蛇内件俱搔吕岁腹阐尔站埂宅慑探瞳屏愚恕窿京共某攘梦钳贺蔷列食桔拙搅卫诱千陌锐播苗慕苟套尹巫赴椒慑戴